APPLICATION A LA SCIENCE DES VUES QUI PRÉCÈDENT

On peut dire qu'il ne reste rien de la seconde antinomie si Tespace est autre chose que ce vague continu, pure forme subjective, où tout est confondu et comme plongé dans l'indéterminationi. Or, sur ce point, quel doute, maintenant, serait possible ? L'espace vrai, l'espace, tel que nos sens nous le font connaître, n'esit pleinement lui-même que si, devenu mesurable, il se laisse pénétrer par la détermination des formes et des ligures, et une telle pénétration n'est possible que par le mouvement du point qui les dessine. Le point est donc indispensable au continu. Indivisible, il tranche nettement sur ce qui se divise sans fin ; fixe, il porte partout, grâce aux tracés qu'il engendre, la mesure et la limite. Ainsi sortent, pour ainsi dire, du néant, des schémas toujours précis, des images toujours définies. Ce qui est circonscrit, en ces images, c'est, on n'en saurait douter, ce qui reste de l'indéterminé primitif, ce que l'esprit, dans le continu fondamental, essaie progressivement de refouler et de réduire ; ce qui circonscrit, au contraire, ce qui délimite, c'est le mouvement, ou, si Ton veut, la ligne, qu'on peut considérer comme un point mobile. Peu à peu, en cette lutte, l'indivis recule ; il cède la place à la pensée pour qui toute construction idéale est un progrès, et par là se fonde et se développe la science. Le mouvement qui dessine sur le fond uniforme de- l'espace les multiples conceptions du

géomètre, n'est-ce pas, dans la sphère de l'abstrait, quelque chose d'analogue à l'expansion de la vie traçant audessus de la matière primitive et malgré les obstacles qu'elle lui crée, le cadre varié de ses idées spécifiques et de ses types ?

Union étroite du continu et du discontinu, pénétration réciproque du déterminé et du déterminant, de ce qui est ombre et de ce qui est lumière, voilà le dogme profond, le dogme essentiel de la science du géomètre, et il est aisé d'établir qu'il ne saurait s'en passer.

Veut-on, par exemple, que le continu lui manque? C'est la matière même du calcul qui va lui manquer, et, avec elle, le champ, nécessaire à l'imagination, d'une divisibilité sans fin. Suppose-t-on, au contraire, que c'est le discontinu qui lui fait, défaut ? Plus rien maintenant n'apparaîtra sur la table rase et dans l'effacement absolu du continu pur.

Il faut donc que la conception sur laquelle se fonde la géométrie demeure entière, et une telle exigence se double ici de la nécessité où nous sommes d'attacher dans l'espace, au continu ou au point, ce qui, dans la nature, est composé ou élémentaire ; mais que va-t-il arriver si nous suivons cette voie, la seule pourtant qui se montre ouverte devant nous ? Brusquement, ainsi que nous le constations dans une' précédente étude, nous nous trouvons face à face avec la- plus flagrante des. contradictions. En son sens absolu, en effet, et prise au pied de la lettre, la conception dont le géomètre s'inspire et à laquelle il n'est pas libre de se soustraire, paraît en évidente opposition avec les lois élémentaires de la logique ; admise sans restriction, elle serait mortelle à la pensée dont elle contredit formellement le principe le plus solidement fondé et le plus sûr.

Le point et le continu en mathématiques.

Point et continu, là est l'antinomie profonde, l'antinomie déjà visible à travers celle de Kant, et à laquelle, dans la

science, sont suspendues toutes les autres, s'il est vrai que la physique s'oriente vers le défini, et la mathématique, au contraire, vers Tinfini. Point et continu sont, par définition, incompatibles. ; et cependant, en cette science semi-concrète, semi-abstraite, qu'est la géométrie, ils sont aussi indispensables l'un à l'autre qu'à la trame le fil et la navette qui la tissent. Comment expliquer une nécessité aussi irrationnelle ? Nous l'avons dit, le géomètre ne peut faire un pas sans affirmer ou supposer l'indivisible ; partout il le trouve, partout il croit pouvoir le placer ; c'est un fait indéniable et dont la certitude est absolue ; mais comment trouver le point dans le continu où il n'est pas, comment le placer dans le continu où il ne peut être ? Faut-il donc croire que la science dont nous examinons les titres est constituée de telle sorte que toute affirmation particulière y soit viciée par la contradiction fondamentale qu'elle renferme?

Esquissons, avant de pénétrer plus avant dans le problème, les traits caractéristiques des termes qui constituent l'antinomie.

L'indivisible, absolu ou relatif *, est absolument ou relativement un, inétendu, indivisible ; le continu, au contraire, est essentiellement multiple ; il est donc réfractaire à l'unité, et il en résulte que la division, dès qu'on l'y a introduite, renaît en lui comme d'elle-même, et se répète sans fin, dans une étendue divisée et fractionnée, mais jamais nulle.

Le point, on s'en rend aisément compte, est d'origine rationnelle ; le continu, au contraire, d'origine imaginative ou intuitive. Ce qui est continu, en effet, se voit et se repré sente ; le point ne se représente ni ne se voit. Il est moins perçu que conçu, et pour parler plus exactement, moins conçu encore que posé, selon la loi dialectique de la raison pure, connue condition indispensable de toute continuité perçue ou conçue^.

1. L'indivisible absolu est pour nous le point; l'indivisible relatif, la ligne ou la surface.

2. Voir, sur cette loi dialectique, notre mémoire Pour la Rais07i pure (F. Alcan, 1901), p. 27 et suiv.

Nouô estimons et nous nous proposons d'établir ultérieurement

Le point,en effet, est ce sans quoi le continu ne présenterait pas même aux yeux une image. Supprimez le point, et le continu, dépouillé de tout ce qui lui donne une apparence d'être, n'a plus ni origine, ni terme, ni cadre, ni forme, ni détermination quelle qu'elle soit.

Comme tout ce qui est conclusion dans la sphère de la pensée pure, le point est donc requis i, en quelque sorte, d'avoir à rendre saisissable, sous forme de phénomène, ce qui n'est autre encore que la matière confuse de l'intuition et d'y tracer les divisions nécessaires à la science ; mais comment agira-t-il sur cette matière, s'il y a entre elljB et lui incompatibilité radicale ? Comment même pourra-t-il, en vue de la déterminer et de l'informer, s'insérer en un continu qui n'existe comme tel que parce qu'il exclut formellement et absolument le point ? On nous fera observer, peut-être, que ce que nous déclarons impossible a la certitude d'un fait et se produit à chaque instant dans les spéculations du géomètre. Raison de plus pour que nous cherchions à pénétrer plus avant dans les principes de sa science, en vue de concilier, s'il se peut, l'expérience et la pensée pure, le fait qui se pose de lui-même, et l'impossibilité absolue où il paraît de se poser.

Là est toute l'antinomie mathématique, et, en généralisant, toute l'antinomie du discontinu et du continu, dans le temps et dans le mouvement comme dans l'espace.

Demeurons dans l'espace, et, sur ce terrain, serrons, d'aussi près que possible, le problème.

Soit une droite sur laquelle je prends un point. Peut-on

que la croyance, dont le fondement est si controversé, repose toujours sur une affirmation de raison pure, affirmation simple, primordiale, et devenue instinctive par l'hérédité. La croyance, quand on y regarde de près, est donc rationnellement aussi fondée que possible, et les arguments d'entendement, comme ceux du déterminisme, par exemple, n'arrivent pas à l'entamer profondément dans la foi commune ; mais il est clair, d'autre part, qu'il faut alors renoncer a priori à rendre la croyance intuitive, et c'est cette impossibilité qui crée le doute et multiplie les objections chez les « imaginatifs ».

1. Voir sur les réquisits, bibliothèque du Congrès, Philosoi^iie générale, notre étude sur la première antinomie. Armand Colin, 1.901, p. 172 et suiv.

dire que ce point préexistait dans le continu linéaire à l'acte qui Ta posé ? Nullement, et cela par la définition même du continu. Ce qui n'a pas de parties ne peut entrer dans la composition de ce qui en a essentiellement et toujours.

Il faut dire alors que c'est un acte de la pensée qui crée, comme du dehors, le point dans le continu. Mais ne voit-on pas qu'un tel acte serait souverainement déraisonnable ? Comment, dans le tissu du continu qu'elle affirme, la pensée, par le plus étonnant oubli du principe de contradiction, ferait-elle entrer un élément qui est la négation même du continu ^ ?

Peut-être essaiera-t-on d'expliquer l'étrange coexistence du continu et du point, en se fondant sur une distinction familière au péripatétisme, et en soutenant que le point, sans être réellement et en acte dans le continu qui le cache, s'y trouve virtuellement et en puissance ? Il importe de préciser le sens de cette distinction. Veut-on dire que le point est à l'étal d'obscure possibilité derrière le continu qui le masque, sans le cacher tout à fait ? Nous sommes loin de nous refuser à cette hypothèse ; mais si on l'accepte, on nous donne à l'avance gain de cause, car notre opinion, maintes fois émise, est qu'il ne faut voir, dans le continu mathématique, qu'un substitut imaginatif du discontinu rationnel. Si, au contraire, on prétend exclure du continu indéterminé et indéfini tout souvenir de ce qu'il y a de déterminé et de fini dans la grandeur, le mot de puissance ne nous paraît plus avoir aucun sens. Comment le point seraitil en puissance dans un milieu où l'on peut prouver qu'il est impossible, et où trouverait-il une raison d'être dans une multiplicité irréductible et diffuse qui est sa négation même ?

Et maintenant, au cas où le continu serait autre chose qu'une convention utile au calcul, que penser des deux

1. n faut bien le reconnaître, la seconde antinomie serait insoluble, si Kant avait opposé à l'espace toujours divisible, non pas rélément qui est dynamique, mais le point qui est abstrait. L élément, en effet, échappe à l'infinie divisibilité par la loi qui veut qu au réel fini réponde une forme d'étendue réelle et finie ; mais le point ne saurait, faute de réalité physique, lui échapper, et avec lui la contradiction reparaît dans toute sa force.

points extrêmes qui marquent, sur la droite que nous venons de tracer, l'un le commencement, Tautre la fin du continu linéaire? Aucun d'eux ne pénètre, à proprement parler, ce continu; tous deux le limitent, et, en le limitant, le déterminent. Mais cette détermination même, imaginai!vement toute naturelle, est rationnellement inacceptable. Le continu ne peut ni commencer ni finir, parce que commen cernent et fin sont absolus, et qu'ils impliquent unité et indivisibilité. La ligne ne devrait donc, pour rester fidèle à sa définition, ni commencer tout d'un coup, ni finir tout d'un coup, mais seulement chercher à commencer et essayer de finir.

Comment, d'ailleurs, concevoir ces points extrêmes ? Quel peut être leur sens, quelle leur raison d'être, leur fonction propre ? Faut-il les placer hors de la grandeur linéaire ? Ils ne sauraient, en ce cas, que lui être extérieurs ou contigus, ce qui est absurde. Veut-on, au contraire, qu'ils appartiennent à la ligne ? Ils vont alors lui emprunter sa continuité et devenir, par cette pénétration inexplicable, autres qu'euxmêmes. Il ne reste à faire qu'une supposition : celle où les points extrêmes appartiendraient, à la fois et de quelque façon mal définie, au dedans et au dehors de la grandeur. Mais comment se rallier à cette dernière hypothèse ? Dirat-on que ces points représentent la commune limite du dedans et du dehors ; soit, mais l'idée même de limite est exclue par la continuité essentielle, et si la limite manque, où trouver une placé aux points dont on parle ?

On conclura de ce qui précède que, si le continu esl autre chose qu'une fiction commode, le point, quelle que soit la fonction qu'on lui prête ou la place qu'on lui destine, ne saurait avoir accès sur la ligne. En vain le géomètre s'imagine-t-il l'y trouver ou l'y créer partout à sa guise ; la raison s'inscrit en faux contre une telle prétention. Elle entend exclure de la li^ne tout ce qui est hétérogène à la ligne, qu'il s'agisse de la diviser ou de la clore.

Supposons, pourtant, qu'il faille se contenter, pour le point, de cette existence de fait qui suffit à la science, la logique refoulée prendra sa revanche et les impossibilités

78 LA RAISON PLRE ET LES ANTlNIMaES.

reparaîtront. Que faut~il penser, par exemple^ des deux segments de lignes qu'unit et sépare à la fois le poiût <jU*on vient de poser ? Ce sont des grandeurs continues, et, en tant que continues, indéterminées dans leur progrès et toujours en. voie de devenir ; or qui parviendra jamais à comprendre ce que peut bien signifier le contact du défini avec l'indéfinissable, du déterminé avec ce qui change, de l'immobile avec ce qui fuit ? Une telle juxtaposition n'a pas de sens, et l'esprit la rejette d'abord, à moins qu'on ne lui permette de concevoir sous le continu insaisissable quelque obscure raison de stabilité. En dehors de cette hypothèse, qui, plus tard, se précisera, je défie qu'on parvienne à trouver au point une place assignable ; oscillant toujours entre deux grandeurs mobiles, il ne se laissera jamais fixer.

Et, d'autre part, dans le continu absolument pris, il est impossible de mettre le point en mouvement. Le continu, où il semble que le mouvement doive glisser facile et sans heurt, fait obstacle au mouvement comme sm repos.

Comment, en effet, dans le divisible essentiel, se déplacerait l'essentiel indivisible? Le. point ne peut entamer par son mouvement aucune portion de cette étendue où l'on croit le voir évoluer; c'est qu'il lui est au fond étranger et, en réalité, toujours extérieur.

Le point, dans l'hypothèse de la continuité absolue, a tout ce qu'il faut assurément, pour faire un point de départ ; mais, comme s'il fallait qu'en une telle hypothèse toute issue nous fût fermée pour sortir de l'antinomie, c'est un point de départ d'où rationnellement tout départ est impossible ; et rien de plus évident, puisque, pour avancer, il faudrait que le point pût entamer le continu qui lui est hétérogène. Au contraire, du point de vue de la réalité métaphysique, et dès que le continu, rejeté au second plan, n'apparaît plus qu'à titre de phénomène, et comme un voile qui cache' des parties distinctes, il n'en est plus, il n'en saurait plus être ainsi. Le point, maintenant, est, en même temps que le commencement, le principe, en même temps que l'origine, l'élément, et pour former des touts, rien ne l'empêche plus de se répéter. C'est, dans ces conditions, un

point de départ réel, un point de départ d'où Ton peut partir.

Mais nous ne voulons pas même effleurer une théorie qui ne se comprendra bien que plus. tard. Ne préjugeons donc rien, et, pour sauver la science, supposons l'impossible ; imaginons un point aussi souple qu'on le voudra, un point tel qu'il soit partout adéquat aux parties successives de la longueur sur laquelle l'imagination du géomètre le voit glisser. Ce sera emcore peine perdue, et nous n'échapperons pas davantage à la contradiction qui nous poursuit. Oui, en ce cas, à peine concevable, en ce cas où il semble que toute intelligibilité rationnelle soit sacrifiée, puisque le point, déjà déformé pour se mouvoir, devrait, pour commencer et pour terminer la ligne, revenir à sa nature primitive, en ce cas, dis-je, malgré le témoignage des yeux, malgré les affirmations positives de la science, aucune avance effective ne sera possible pour le point. Entendons-nous. Le point, dans cette hypothèse, avancera encore, si l'on veut, mais à une condition, c'est qu'il n'avance jamais assez pour qu'apparaisse la trace d'un intervalle quelconque, si petit qu'il soit, entre son départ et son arrivée. Il se développe alors une série d'avances. fictives et inutiles qui ne peuvent se condenser, si l'on ose dire, en une avance fixé.

Et la raison en est bien simple. Dans l'absolu de la continuité, on ne peut franchir un intervalle, et, par suite, passer d'un point à un autre, sans avoir épuisé toutes les parties du continu qui apparaissent possibles entre ces deux points. Or les parties d'un continu quelconque sont en nombre inépuisable ; rien, en effet, ne les détermine du dehors; elles se multiplient donc spontanément, et naissent, en quelque sorte, les unes des autres, sans raison d'arrêt et sans fin. Comment, dans cette conception, les parcourir toutes ? Comment avancer effectivement? Qu'on ne l'oublie pas, une avance effective, une avance arrêtée et fixe, en ce mobile; progrès qui constitue lé continti, ce serait l'épuisement d'un inépuisable, l'achèvement d'un infini.

Ainsi se pose à nouveau devaUt nous le problème ardu et presque inextricable de l'infini, esquissé déjà dans .la

80 LA RAISON PURE ET LES ANTINOxMlES.

première antinomie kantienne. Il s'agissait alors de l'infini de grandeur ; nous nous trouvons maintenant en face de l'infini de petitesse ; or, sans parler de l'opposition du but à atteindre, notable est la différence qu'engendre la conception des deux infinis. Sans doute, en notre poursuite de l'une et de l'autre, nous obéissons au même mouvement, entraînés de terme en terme vers de perpétuels au-delà ; et cependant nous ne saurions confondre deux ordres de problèmes aussi dissemblables que ceux qu'Arislote, déjà, avait si soigneusement distingués, et que l'auteur de la Critique a étudiés en deux antinomies différentes. Ici, la grandeur croît et se déploie toujours sans jamais trouver de borne à son expansion ; là, elle atteint le terme même au delà duquel toute décroissance est impossible. Du point de vue de l'infiniment grand, l'horizon est toujours libre, et, bien que par un curieux effet d'optique, il nous semble parfois qu'une grandeur, comme l'espace, par exemple, soit déjà réalisée au delà de toute borne imaginable, alors qu'elle n'est créée, au delà du concept actuel, que par le pouvoir que se sent l'esprit de la recréer encore et toujours, nous ne sommes point, en ce cas, absolument dupes, et, dès que nous avons été éclairés par l'analyse, nous renonçons sans peine à l'illusion naïve d'une sorte de {irmament enveloppant de son infinité actuelle la possibilité indéfinie de tous les progrès. Au contraire, s'il s'agit de l'infini de petitesse, loin de pouvoir évoluer librement, nous comprenons qu'un obstacle est posé qui nous arrête ; il est présent, il est sous nos yeux, le terme nécessaire au delà duquel on ne recule pas, et tandis que, tout à l'heure, la limite paraissait nous devancer, mobile et fuyante, comme par étapes, elle est, cette fois, certaine et fixe, donnée a priori et pour toujours. C'est entre un état de la grandeur et sa suppression totale que se déploie alors le progrès qui doit conduire d'un terme àl'autre ; on ne saurait donc y voir un progrès indéfini, toujours et nécessairement variable ; et s'il est vrai, d'une part, que, partout où la grandeur est déterminée et arrêtée, elle est nécessairement finie ou infinie, et que, d'autre part, on ne puisse regarder comme finie une grandeur qui, par hypo-

thèse, décroît sans fin, il faut qu'elle soit, dans toute la rigueur du terme, infinie. De fait, elle répond exactement à la définition de Tinimi ; elle est inépuisable, puisqu'on veut qu'elle puisse décroître toujours ; épuisée, puisque existe, faisant corps avec elle, le terme qui la limite et la supprime. En bref, tant que nous sommes restés sur le terrain de la première antinomie, nous n'avons rencontré l'infini proprement dit, l'infini actuel, que sous la forme d'une conception vague, flottante, insaisissable ; maintenant, au contraire, ce même infini est posé à titre de fait, et ce n'est nullement un fait isolé, une sorte d'accident dialectique dont on ait le droit de s'étonner et dont on cherche l'explication ; c'est le fait habituel, le fait de tous les instants, le fait que nous avons sous les yeux à chaque déplacement de chaque mobile, à chaque épuisement de chaque grandeur.

Quel défi à la raison !

Je suppose une droite de longueur définie, une droite dont les extrémités se trouvent déterminées par la distance même qui les sépare. On peut soutenir, que dis-je ? il faut affirmer qu'entre ces deux extrémités s'interpose un infini actuel, et il est aisé d'en donner la preuve. D'un côté, en effet, la divisibilité d'une telle longueur ne s'épuise pas, et il est certain que le nojnbre de ses divisions possibles est indéfini ; de l'autre, il suffit à un mobile, s'il part de son point d'origine, d'atteindre sur cette ligne un point quelconque, pour que ce nombre existe et soit donné. Voilà bien un indéfini qui se termine, un inépuisable qui s'est épuisé.

Que, dans la spéculation mathématique, une contradiction aussi étonnante soit due à l'incompatibilité du point et du continu, de l'indivisible par essence et de l'essentiellement divisible, nul doute, et nous croyons qu'on en sera convaincu si l'on a bien voulu nous suivre dans les analyses précédentes ; mais comment concevoir que la spéculation mathématique ne puisse se passer de cette incompatibilité, qu'elle la recherche, et que même elle ne s'estime solidement fondée que sur l'union étroite, la pénétration intime

EVELLIN. t)

de deux facteurs hétérogènes, créés tout exprès, semble-t-il, pour se nier et s*entre-détruire ?

Là est le problème. Pour le résoudre, pénétrons plus avant encore dans l'étude de ses données. Voyons à quoi nous engage et quelles conséquences porte avec elle la donnée de l'infini rigoureux ; nous nous demanderons ensuite si l'affirmation du géomètre qui paraît d'abord accepter cette notion avec toute l'extension qu'on peut lui donner, n'est pas, même à son insu, accompagnée de tempéraments et de réserves qui sauvent la science de l'antinomie. Là est tout le plan de ce travail ; voici les deux propositions qui le résument :

1® L* infini, en ce qu'il a d'absolu, ou, pour le désigner (Vun mot, Vinépuisable, porte partout la contradiction et se détruit lui-même. Il est purement imaginatif.

2** On ne Vulilise dans la science que grâce à l'intervention, inaperçue mais certaine, du (ini qui représente à la {ois le rationnel et le réel.

Si ces propositions sont prouvées, ce n'est plus seulement, comme dans une précédente étude, V existence de l'espace physique qui sera établie, mais sa nécessité absolue ; nous serons tenus de le poser, pour que puisse se poser à son tour un espace idéal ou géométrique qui lui devra et ne devra qu'à lui ses traits essentiels i.

L'Infini pur.

Que l'infini fixe et achevé multiplie les contradictions autour de la contradiction fondamentale qui constitue son essence, c'est ce qu'il sera tout d'abord aisé de faire voir.

Dans un tel infini, dirons-nous en premier lieu, toutes les

1. Nous ne saurions trop faire observer qu'ici, comme partout ailleurs dans cette étude, l'espace que nous appelons physique ou réel, n'est nullement une réalité en soi, mais une conception de Vesprit qui se pose, dans le concret, comme le décalque exact du réel-

A plus forte raison l'espace géométrique, plus éloigné encore de la réalité, n'est-il qu'une idée.

grandeurs sont égales, parce qu'un point ne peut y être qu'à rinfini d un autre point. Si Ton contestait cette conclusion, il faudrait admettre que Tinfîni actuel n'est qu'une somme de grandeurs finies, ce qui est inadmissible, car une grandeur infinie fixe doit dépasser, de toute l'infinité qu'elle enveloppe, une somme ou juxtaposition quelconque de grandeurs finies.

Il suit de là que, dans l'infini, les parties dont l'ensemble constitue la grandeur totale, sont et ne peuvent être qu'infinies.

Mais quel doit être le mode de leur infinité ? On peut d'abord supposer qu'en chaque grandeur partielle les parties constitutives se répètent et se multiplient à l'infini, sans que pour cela s'accroisse au dehors et se développe nécessairement dans l'espace la grandeur où elles se condensent. Cette première forme d'infinités est une infinité qu'on pourrait appeler interne.

Un exemple prêtera plus de clarté à cette conception. Soit deux points a et b séparés l'un de l'autre par un intervalle déterminé et fini. Cet intervalle, limité du dehors, est contenu, par ses extrémités mêmes, en sa mesure précise ; il n'en est pas moins, vu du dedans, infini, parce que le nombre des divisions qu'on peut y tracer et des parties qu'on peut y prendre est inépuisable. En vain en tenterais-je l'exhaustion. J'en prends la moitié, puis le quart, puis le huitième, etc., et la suite se prolongera de la sorte tant qu'il y aura des nombres entiers pour doubler les dénominateurs successifs, c'est-à-dire toujours. Je n'arriverai donc jamais, dans cette voie du moins, au terme des divisions possibles, et il me faut reconnaître, tout de suite, que le point qui répondrait à l'épuisement total des parties de la ligne, ne se rencontrera jamais sur mon chemin.

Prenons maintenant sur la ligne a 6 un point a' à égale distance de a et de b ; a' est, pour les yeux, moitié plus près de b que le point a, et pourtant, dans l'infini sans restriction, dans l'infini absolu actuel, il en est séparé par une pluralité inépuisable de termes. Ce n'est donc pas du point de vue sensible, et à n'envisager la grandeur que du dehors.

r 84 LA RAISON PURE ET LES ANTINOMIES.

[ qu'on peut affirmer que a' b est plus petit que a b, La même

infinité réelle sépare du terme 6 à la fois a et a\ et si Ton se maintient fermement dans cette hypothèse, si Ton ne songe qu'aux étapes à franchir pour atteindre le but commun, il est impossible d'admettre que l'épuisement se fasse plus tôt du point a* que du point a, parce que le nombre des étapes dans les deux cas est le même, parce que, de

'.^ part et d'autre, il faut, pour arriver, avoir épuisé l'infini, et

que l'infini, quand il est absolu, est unique, excluant de son essence, ou plutôt y enveloppant d'avance et comme a priori, tout ce qui est addition ou soustraction.

Ce qui pourrait faire hésiter sur la légitimité d'une conclusion aussi paradoxale, c'est l'habitude contractée, en mathématiques, de distinguer entre des infinis différents et de les subordonner les uns aux autres ; mais il faut bien prendre garde que, dans la science, nombre d'afiîrmations n'ont . qu'une portée restreinte et ne représentent que des conventions. A ne îparler que de l'infini, ce terme, nous avons plus d'une fois essayé de l'établir, n'y est jamais pris en sonc sens métaphysique et absolu. Relatif, il qualifie la grandeur variable, et n'est, on le verra, que le substitut mental d*un progrès (ini, lorsque ce progrès, inconnu de nous en ses moments, nous apparaît indéterminé. On ne saurait nier, en tout cas, que l'infini du géomètre soit toujours étroitement lié au fini, et il est, dès lors, tout naturel que la multiplicité, qui est la caractéristique du fini, se retrouve, et en quelque sorte se reflète, dans l'infini qui l'exprime ; mais l'hypothèse où nous sommes exclut d'infini à infini toute variété et toute différence. L'infini, en sa forme absolue, est ou n'est pas ; il ne saurait se modifier, et nul mouvement ne pénétrera jamais, pour la dilater, sa rigidité essentielle ; c'est qu'il est d'abord tout ce qu'il peut être et possède tout ce qu'il peut posséder.

Pour donner à notre pensée quelque chose de plus concret et de plus clair, nous dirons que l'infini +10 + 20 + 30, plus un nombre fini quelconque, est toujours l'infini et rien que l'infini, parce que ce que l'on croit y ajouter est déjà implicitement contenu dans une grandeur qu'on a posée

DEUXIÈME ANTLXOMIE. 85

sans bornes et où se trouvent épuisées toutes les possibilités d'addition. Au regard de Tinfini vrai, de l'infini absolu, 10, 20, 30, un nombre fini quelconque, ne sont rien, ou plutôt ne sont que des redites, et par conséquent ne comptent pas.

On peut faire observer également que l'infini — 10 — 20 — 30, moins un nombre fini quelconque, est toujours et invariablement l'infini, parce que ce qu'on croit en avoir détaché, ou s'y trouve remplacé immédiatement, ou en dépit de tout y demeure. L'infini, en vertu de son essence môme, comble toute lacune, répare toute perte, ou, pour être plus exact, se refuse à toute soustraction, la soustraction n'étant alors qu'une opération illusoire et toute verbale.

Il importe d'y insister : si, après addition ou soustraction du fini, l'infini augmentait ou diminuait, c'est que le fini additionné ou soustrait ferait partie intégrante du tout infini ; or c'est ce qu'on ne saurait admettre, à moins d*admettre en même temps et contre toute raison que l'infini est composé de finis.

Ce qui complique tout et ce qui nous trompe, dans Tordre de problèmes qui nous occupe, c'est que nous sommes invinciblement entraînés à porter dans l'infini les habitudes d'esprit que nous avons contractées jour à jour et qiie nous exerçons à chaque instant dans le fini. Là où le tout est borné, nous le savons, pour l'avoir maintes fois remarqué et compris, l'opération qui le diminue ou l'accroît est effective ; mais il importe de ne pas oublier que le caractère effectif de l'opération, au lieu de dépendre, ainsi qu'on l'imagine souvent, du tout comme tel, dépend seulement de la borne que le tout implique, et que, par conséquent, l'affir-" mation usuelle n'a plus aucune valeur lorsqu'il s'agit de ce qui n'a plus aucune borne. ,

Une telle conclusion paraîtra étrange ; elle est, en effet, plus que paradoxale, et nous n'hésitons jiuUement à la déclarer absurde; maïs l'hypothèse sur laquelle elle se fonde n'est-elie pas abèurde elle-même ? Quelles conséquences ra-; tionnelles peut bien engendrer la supposition irrationnelle d'un inachevable qui s'achève, d'un infini qui se termine ?

Nous tenons précisément à faire ressortir ce qu'enferme

d*illogique l'hypothèse d'un infini absolument pris et actuel, et nous avons à cœur de signaler les conséquences qu'il engendre, pour bien montrer que, dans la science, qui est harmonie et méthode, un tel infini n'a, en fait, et ne saurait avoir, en droit, aucun accès.

La première proposition qu'il nous mettrait en demeure d'écarter est d'une importance telle qu'on ne conçoit plus du tout comment le géomètre, sans elle, pourrait faire un pas. Il lui faudrait, en effet, déclarer a priori malgré les faits, malgré l'évidence de ses conceptions, que les grandeurs, en leur constitution interne, sont toutes égales. Où serait, dans l'hypothèse où nous nous plaçons, la raison de leur inégalité ? Toutes inépuisables, elles ne pourraient, comme telles, ni diminuer ni grandir ; elles devraient toutes se poser telles que les fait leur définition ou disparaître.

Si, maintenant, nous passons des parties au tout qui les enveloppe, nous nous apercevons tout de suite que le tout n'est ni plus ni moins épuisable que les parties ; il leur est donc adéquat. Ainsi pénètre de plus en plus dans la science une mortelle uniformité ; et la raison en est bien simple : le fini est divers, il admet toutes les possibilités de variation ; l'infini est un et immuable.

Il est clair qu'avec l'infini toute tentative d'exhaustion d'une quantité devient irrationnelle. Je cherche, par exemple, à épuiser une ligne, m'imaginant peut-être, que, de fraction en fraction, je m'achemine ainsi vers une limite qui est hors de ma portée, sans doute, mais où doit s'annuler toute longueur. Pure illusion ! En cette série, le huitième vaut le quart ; le quart, la moitié ; la moitié l'unité entière.

On peut donc dire que chacun des termes qu'on y rencontre est à la fois double et moitié de lui-même, le quart équivalant, par exemple, à la moitié et au huitième, la moitié, au quart et à l'unité.

En fait, nous l'avons vu, le rapport d'enveloppant à enveloppé n'a plus de sens dans l'hypothèse de l'infini. Dirat-on qu'on peut lui donner quelque apparence d'intelligibilité en décidant que les portions de l'inépuisable seront inépuisables elles-mêmes? Ce serait se payer de mots. On ne

conçoit point d'inépuisables, vraiment tels, qu'on puisse supposer plus grands ou plus petits les uns que les autres. Se dilateraient-ils, en quelque sorte, ou se condenseraientils selon les cas ? Qu'est-ce, au fait, que prendre la moitié d'un inépuisable î N'est-ce pas en épuiser la moitié, et si la moitié s'épuise, comment le tout ne s'épuiserait-il pas, en dépit de sa propre définition ? Mais je veux bien supposer, pour un moment, qu'une telle opération soit possible. Par quel procédé prendre sur une ligne la moitié d'un progrès qui n'a ni origine, ni terme ? Où trouver, en cette recherche, les points d'où il soit possible de partir pour fixer l'exacte moitié qu'on veut atteindre ? La vérité est qu'on suppose toujours, lorsqu'on croit pouvoir partager Tinépui sable, qu'on a affaire, non à l'infinité vraie, mais seulement à l'infinité mathématique. Celle-ci, pour des raisons qui^ nous avons déjà indiquées^ et que nous exposerons tout à l'heure, se prête sans difiîculté aux opérations du géomètre ; l'autre, toute d'une pièce, ne se laisse pas même entamer.

Si, maintenant, nous considérons qu'en cet étrange do maine où toutes les parties s'équivalent, où se fondent peu à peu et s'évanouissent, sous le regard, toutes les distinctions de formes et de figures, règne une loi d'infinité qui met tout point hors de la portée de tout autre point, n'avonsnous pas le droit de dire que l'infini pur, que la continuité absolue est aussi réfractaire à la science que le chaos à la visible harmonie des choses ? Le monde d'Épicure est un monde d'unités flottantes et dispersées ; encore leur arrivet-il, grâce à une sorte de vouloir fondamental, de se rapprocher pour s'unir. En un monde modelé sur la conception inféconde que nous venons d'analyser, il n'existerait plus que des abstractions indiscernables, et toutefois, on ne sait comment, isolées, puisque entre elles, sous forme d'inépuisables intervalles, l'infini, partout, formerait barrière. Si la vie est liée à la variété et aux libres mouvements qui l'engendrent, le monde dont la grandeur, ainsi comprise, nous donnerait le spectacle, serait un monde éteint, un monde mort.

Plus on étudie de près le problème qui nous occupe, plus on s'aperçoit que Tinfini actuel, qui se détruit lui-même en se posant, porte partout, si Ton s'obstine à le poser, la contradiction et la négation. C'est, pourrait-on dire, le grand égalisateur, le grand niveleur. Avec lui plus rien n'apparaît de déterminé et de précis ; et comment s'en étonner ? Tout principe de détermination, point, ligne, surface, est rigoureusement exclu de son sein ; sans doute, il semble laisser subsister encore je ne sais quelle pluralité vague et insaisissable de parties indéterminées, mais ce n'est, quand on essaie de s'en rendre compte, qu'une apparence illusoire. La pluralité, quand il s'agit de l'inépuisable, prend de plus en plus, faute d'un dessin intérieur suffisamment net, la forme d'une vaste unité indistincte qui se détache peu à peu des semblants de parties auxquelles elle avait paru adhérer, et nous présente, une fois encore, le fantôme de ce continu où la raison, ne trouvant rien à quoi- se prendre, vient échouer.

C'est ainsi que, par un progrès nécessaire, de Vinlinité interne, où pullulent et se multiplient les parties du moindre tout divisible, nous passons à Vinliniié d'expansion qu'on pourrait appeler externe parce qu'elle se déploie progressivement dans l'espace sans rien rencontrer qui limite son mouvement. Et, qu'on veuille bien y prendre garde, cette seconde forme d'infinité est plus étroitement liée qu'on ne l'imagine à la première ; elle en est l'achèvement et la définitive expression. On. peut se demander, en effet, si la conception d'une infinité de parties, dans une grandeur à qui l'on suppose des bornes, est autre chose qu'un mirage de la pensée. N'est-il pas étrange, en vérité, qu'à des inépuisables égaux répondent des grandeurs finies à la fois et différentes ? et l'inépuisable vrai, l'inépuisable dont tous les autres ne sont que d'infinitésimales réductions ou do fuiîitifs points de vue, ne doit-il pas dépasser toute grandeur fixée, et no scra-tr-il pas dès lors Yillimilé ?

Mais, pour le moment, peu importe. Illimité ou non, si, sous le nom de continu, l'inépuisable est conforme aux précédentes analyses, s'il conduit aux conséquences que nous

venons d'énuniérer, il n'a nul droit de pénétrer dans la science, encore moins faut-il espérer Ty faire coexister avec le point. L'indétermination absolue exclut l'absolu déterminé ; le divisible par essence, l'indivisible essentiel.

Oue se produit-il cependant ? Les termes qui, logiquement, devraient s'exclure, en réalité, se pénètrent. Il faut, dans ces conditions, ou renoncer au principe de contradiction, ou essayer, à la lumière des faits et avec l'aide de la science elle-même, une interprétation qui, en fixant le sens des idées antinomiques, fasse apparaître, s'il se peut, sous le contraste, l'union, sous l'opposition superficielle, un lien secret et profond de parenté.

L'Infini mathématique et les notions d'élément et de limite.

Nous tenons « les deux bouts de la chaîne » : le point d'un côté, le continu de l'autre. Il faut combler l'intervalle, et si la raison n'est pas décidément antinomique, il sera comblé.

Mais l'intervalle paraît immense, infranchissable, et, ce qu'il y a de plus inquiétant dans le cas actuel, c'est que le but poursuivi ne semble pas pouvoir être atteint par le rapprochement simultané des deux extrêmes. L'un d'eux, en effet, le point, de quelque côté qu'on l'envisage, paraît immuable. Il faudrait donc, pour que la réconciliation se fît entre ces deux conceptions opposées, aller non du point au continu, mais du continu au point.

En vérité, plus le problème se précise, plus il s'aggrave. Comment imaginer que le continu se rapproche du point : comment admettre surtout qu'il puisse le rejoindre ? Jamais l'antinomie n'a paru à ce point troublante.

Assurons-nous, avant tout, que le point ne se prête à aucune variété de sens, à aucune différence d'aspects cl, par conséquent, de conceptions. 05 [lépo; oOSév, dit de lui riuclide lorsqu'il veut le définir. La définition est négative,

mais comment définir autrement ce qui est la négation même du phénomène, par essence étendu et divisible ? Le point est donc l'individu mathématique, l'atome idéal. Peutil être amplifié ou réduit? Non. Il faut qu'il soit ce qu'il est ou ne soit pas. Le point sensible du physicien, qui n'en est qu'unie approximation, est au fond multiple ; il admet donc des parties, et ce qui admet des parties, loin de pouvoir servir d'unité de mesure, a besoin d'être mesuré luimême. Au contraire, le point du géomètre est le seul qui puisse fournir une origine fixe ou un terme définitif àJa grandeur. Seul, par conséquent, il peut entrer, avec ce qu'il a d'arrêté et de précis, dans la science exacte, où il s'oppose à ce qui est progrès indéfini et devenir, comme le repos absolu au mouvement.

Si, maintenant, du point nous passons au continu, nous nous apercevons, au premier regard, que le continu est aussi souple en son indétermination que le point, en sa précision, est rigide. Qui dit continuité dit confusion. Confuse aussi est l'idée qu'on se fait du continu, et pour cela même, variés sont les points de vue auxquels on s'est placé pour le définir.

S'il en est ainsi, le but de notre recherche apparaît nettement, et l'on se rendra aisément compte de la méthode que nous entendons suivre pour l'atteindre. Il s'agit, parmi les diverses significations du mot continu, d'en trouver une qui permette de le rapprocher du point, ou au moins de la grandeur, s'il en existe, que crée la répétition du point. Au cas où cette signification existerait, il est clair que le problème serait résolu et l'antinomie écartée. Mais l'entreprise est délicate, et il importe, en un tel travail, de ne rien livrer au Hasard. Le plus sûr sera donc pour nous de demander à la mathématique elle-même de nous guider dans l'examen que nous allons faire. Le problème l'intéresse, bien qu'elle se préoccupe, d'ordinaire, plutôt des applications que des principes, et il nous intéresse à notre tour, parce que, nous le savons d'avance, la science du géomètre nous montrera jusqu'à quel point, malgré d'apparentes discordances, elle demeure, en ses conceptions les plus hautes, étroitement

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liée à rélernelle logique. Nous avons beaucoup à apprendre d'elle, et nous profiterons largement de ses données ; en revanche, et bien que nous ayons, dans cet examen, le sentiment profond de ce qui nous manque, nous espérons qu'elle ne nous refusera pas le droit d'interpréter quelques-uns de ses théorèmes en vue de rendre plus sensible aux yeux l'harmonie intérieure qu'elle enveloppe. Peut-être ne s'est-elle pas tou jours rendu compte d'affirmations à ce point implicites qu'il faut un sérieux effort d'analyse pour les dégager ; mais qu'importe ? Il suifit à notre but, que nous puissions regarder conune acquis ce que supposent partout et toujours ses conceptions usuelles. C'est donc, à la lumière même des propositions mathématiques les mieux établies el les plus fermement maintenues, que nous allons tenter de résoudre l'antinomie du continu et du point, et il nous semble que, sur ce terrain, les décisions de la science doivent être la garantie la plus sûre de la théorie ; ce qu'elle aura jugé sera bien jugé.

Quelle idée se fait du continu le géomètre ? S'il est pour lui le pur inépuisable, il faut qu'il accepte les conséquences qu'implique son inexhaustibilité. La première, c'est qu'il esl impropre au mouvement et que nul mobile n'y pénétrera jamais. Or non seulement le géomètre se refuse à cette conséquence, mais il fait du continu le véhicule même du mouvement. Comment justifier une affirmation si inattendue ? Faut^il croire que le géomètre regarde au fond comme illusoire l'idée d'inépuisables toujours renaissants, ou supposer qu'il est loin d'y voir, pour le mobile, un obstacle absolu, un obstacle qui le condamne au repos ? Mais, s'il en était ainsi, pourquoi regarderait-il comme un principe intangible la divisibilité sans fin de la grandeur spatiale? Pourquoi n'avouerait-il pas tout de suite que cette grandein*. l)uisqu'elle s'épuise, est finie ? Sans doute, le fait de l'épuisement du continu par le mouvement défie toute négation et s'impose, mais le géomètre, quand il s'observe et analyse la situation que lui fait la logique, se trouve, d'autre pari. aux prises avec une nécessité non moins inéluctable, à ce qu'il semble, celle de ne jamais sortir du relatif et d'y évo-

luer indéfiniment. Le voilà donic condamné à deux affirmations contraires. L'une est-elle aussi absolue que l'autre ? Nous ne voulons pas encore le savoir. N'anticipons pas sur des conclusions que le développement de la théorie précisera.

On nous fera observer, peut-être, que le mouvement est étranger au pur continu de la ligne, et que c'est du continu seul qu'il s'agit dans l'analyse que nous voulons faire. Soit, mais de ce que le mouvement vient s'ajouter comme du dehors à la continuité géométrique, il n'en résulte nullement qu'il l'altère, ou en masque la loi fondamentale. Au contraire, il en marque plus nettement le dessin et le rend sensible aux yeux. On ne saurait trop le redire : en cette rencontre de grandeurs distinctes, c'est la ligne qu'il faut regarder comme antérieure au mouvement, non le. mouvement comme antérieur à la ligne. Comment croire, en effet, que la ligne subisse une loi étrangère à la sienne propre ? Comment admettre qu'elle dépend du mouvement ? N'est-elle pas idéalement avant que le mouvement soit, puisque le mouvement, en définitive, ne se définit que par elle ? On dit parfois, avec un semblant de raison, que le point en mouvement crée la ligne ; c'est ne pas réfléchir assez que la ligne qu'on veut tracer ainsi dans l'espace préexiste au mouvement qu'on imagine et que ce mouvement ne fera que la recouvrir. Disons donc que, loin de modifier en rien le continu de la ligne, le mouvement, encore qu'adventice, est tenu d'en exprimer l'essence et de se modeler sur sa nature. Le mouvement, par exemple, se développe ; c'est que la ligne qui déjà le sous-tend dans la pensée, lui laisse le champ libre ; il s'épuise ; c'est que la ligne s'est épuisée comme lui.

L'épuisement de la grandeur par le mouvement est un fait certain, indéniable, et ce fait pourrait nous suffire ; mais demeurons dans la mathématique pure, et essayons de savoir du géomètre si le continu, tel qu'il le conçoit, est réellement et au sens rigoureux du terme, inépuisable.

Il lui suffira, pour répondre, de faire appel à la méthode d'exhaustion, depuis longtemps familière au savant, puis-

qu'elle date, à le bien prendre, d'Archimède. Cette méthode, avec ses deux idées capitales de variable et de limite, permet de pénétrer au centre même de la conception, que le mathématicien se fait de sa science.

En vue d'en rendre sensibles les traits essentiels, nous aurons recours à im schème imparfait, mais très simple, et accessible par là même aux esprits les plus étrangers à cet ordre délicat de spéculations.

Soit une ligne donnée et par conséquent déterminée, car une ligne indéterminée ne saurait être donnée. Je me propose, s'il se peut, d'épuiser son contenu par voie de dichotomie ; j'en prends donc d'abord la moitié, puis la moitié de la moitié, et ainsi de suite.

Or, cet essai d'analyse des parties possibles dans la ligne donne lieu, de la part du géomètre, à deux affirmations importantes :

La première, c'est que la longueur de la ligne ainsi divisée et constamment décroissante tend vers zéro ;

La seconde, c'est que zéro est la limite de la grandeur décroissante de la ligne.

Examinons, l'une après l'autre, ces deux affirmations ; voyons ce qu'elles signifient et ce qu'elles impliquent.

a) Si la longueur décroissante de la ligne tend vers zéro, c'est qu'à chaque étape elle s'en rapproche, et, pour qu'elle s'en rapproche, il suffit, l'avance se produisant réellement, que zéro soit fixe. Il est manifeste, au contraire, que si zéro reculait à mesure que la ligne décroissante tend à l'atteindre, il n'y aurait plus d'avance effective, et que l'intervalle qui séparerait la grandeur variable de sa limite demeurerait irréductible et toujours le même.

Zéro est donc fixe, et il doit l'être, puisqu'on affirme qu'il y a rapprochement ; mais, qu'on veuille bien y réfléchir, il ne saurait l'être dans V inépuisable pur. Un terme, dès qu'il est situé à l'infini, doit être regardé, non seulement comme quelque chose qui recule toujours, mais encore comme quelque chose qui a dépassé, pour rendre plus inutile en quelque sorte toute avance quelle qu'elle puisse être, la somme de tous les reculs imaginables. On regardera cette

conception comme inintelligible ; pourtant, dans l'infini pur, elle est nécessaire.

Ce qu'il importe de remarquer, c'est que le géomètre écarte implicitement l'idée d'un zéro limite situé à Yin(inL de la variable, puisqu'il regarde coimue positive et elfeciive la tendance vers zéro.

Et, de ce fait qu'il y a approximation constante, il doit conclure qu'une portion de l'intervalle primitif, portion de plus en plus grande, à mesure qu'on avance, se trouve à chaque instant épuisée.

Cet intervalle n'est donc pas inépuisable ; mais peut-on prouver directement qu'il s'épuise ? Nous le croyons et nous allons faire appel, pour établir, à l'idée de limite, une des plus fécondes et des plus suggestives que la science ait conçues.

b) Qu'est-ce pour le mathématicien que la limite ? Cest le terme dont une quantité variable peut su{(isamment se rapprocher pour que la diflérence entre la variable et la limite soit et demeure plus petite que toute quantité donnée, sans jamais toutefois s'annuler absolument. Ainsi, dans l'exemple que nous avons pris, la variable serait la ligne décroissante, et zéro la limite de sa décroissance, parce que, entre cette limite et les minuscules bâtonnets qui, bien qu'à peine visibles, sont encore des lignes, s'interpose un infini que n'épuisera jamais la division. Au fond, qu'y a-t-il dans cette conception de la limite ? Une première idée, qui est celle-ci : quelque restreinte qu'on l'imagine, une portion d'étendue ne s'épuise point. La variable approche toujours du but, parce que toujours elle en peut approcher, et elle en peut toujours approcher parce que le divisible ne lui fera jamais défaut.

Ainsi, pour le géomètre, la moindre fraction d'espace est inexhaustible ; il peut, sans doute, la prendre d'un coup tout entière ; elle lui est alors donnée en son intégralité ; mais il tenterait inutilement de la résoudre ; l'opération serait sans fin.

Jamais la variable n'atteindra la limite. Voilà, semble-t-il, le mot décisif sur ce sujet.

Cest donc que Vespace ne s'épuise pas.

Mais voici surgir une idée toute différente. Que fait le mathématicien lorsqu'il passe à la limite ?

Quelque chose d'analogue à ce qui s'est produit tout à l'heure, lorsque le mouvement, appelé à résoudre le problème, épuisait presque d'un coup la prétendue inexhaustibilité du contimi. Passer à la limite, c'est, lorsque la donnée du problème le comporte, couper court aux divisions qui s'appellent et se répètent sans fin, abandonner à ellemême la quantité décroissante, et, dès qu'a été aperçu le but où elle tend, s'y porter d'emblée et comme d'un bond. Dans le schème que nous avons proposé, om laissera toujours décroître les lignes infinitésimales, et l'on se fixera, sans transition, au terme même de cette décroissance qu'on déclarait pourtant n'avoir pas de terme.

C'est donc, cette fois, que Vespace s'épuise. La contradiction est évidente, elle est absolue. Quoi ! l'intervalle qui sépare et séparera toujours la variable de la limite est un continu qu'aucune division ne peut résoudre, et sur la seule indication du sens dans lequel se produit le mouvement de la variable, je me transporterais, comme d'un coup d'aile, par delà tous les termes de ce mouvement ! Rieni n'est plus étrange et plus troublant pour la raison. Qui pourrait croire, en vérité, que la science, et la science exacte par excellence, se fonde tout entière sur une conception aussi irrationnelle que celle d'inépuisables qui s'épuisent, d'infmis qui s'affirment à la fois comme infinis et comme finis ?

De la consultation que nous venons de demander à la science, il semble qu'aucune solution encore ne se dégage ; on pourrait croire même, au point où nous en sommes^ que nous avons fait un pas de plus, le dernier en profondeur, dans la nuit de l'antinomie ; et, cependant, c'est de cette situation que va jaillir la lumière. Nous n'avons qu'une issue, mais elle est positive, elle est sûre, et va sauver, on le verra, le principe de contradiction.

On l'a déjà pressenti, sans doute, après ce que nous en avons dit si souvent : ce n'est pas du même point de vue que le géomètre affirme ou nie l'exhaustibilité de l'espace.

Ici, comme partout et toujours, la pensée spéculative se dédouble, et nous voilà ramenés à Tunique, à Téternelle antinomie^, à Tantinomie qui explique toutes les autres, dès qu'on a une fois reconnu qu'elle résulte de l'opposition nécessaire de deux fonctions de l'esprit, et qui les résout toutes dès qu'on s'est décidé, dans l'élude des plus hauts problèmes, à donner le dernier mot à celle de ces deux fonctions qui seule a le droit de décider en dernier ressort.

. Rappelons que la pensée que nous avons appelée imaginaiive ou sensible est orientée vers le relatif de la science, tandis que la pensée pure que nous lui avons oppposée se donne pour objet l'absolu des solutions métaphysiques. La première se meut dans le phénomène^, toujours visible ; la seconde, dans l'invisible réalité que sa dialectique pose comme la condition essentielle du phénomène 3. Celle-là explique le fait par le fait, et, pour cela même, ne peut que se jeter en un progrès vague et sans fin ; <îelle-ci, au contraire, en un monde déterminé et précis, fait tout dépendre d'éléments finis en nombre, premières et dernières unités, qu'elle place à l'origine et au terme de toute grandeur.

Or, que se passe-til, lorsque, dans l'antinomie mathématique, se produit l'affirmation du progrès sans fin ? Mise en face de la grandeur, la pensée sensible l'aperçoit du dehors, une et pour ainsi dire toute d'une pièce en sa continuité visible ; la réalité des parties élémentaires qui la constituent lui échappe, et cependant la multiplicité latente qu'elle enveloppe ne saurait, encore que confuse, faire pour elle le moindre doute. La pensée sensible va donc pouvoir diviser ; elle pourra, par cela même, calculer, car, pour calculer, il lui suffît de disposer de sous-multiples, et la division fournira à ses calculs autant de sous-multiples qu'elle en peut vouloir.

On le voit, ce qui importe surtout à l'imagination, ce qui est pour elle d'intérêt majeur, d'intérêt vital, c'est que les