Ibid., p. 18 et suiv

sous-multiples, dans la mesure des grandeurs, ne lui fassent jamais défaut, et que, si avant qu'elle doive les chercher dans l'échelle des infiniment petits, ils soient toujours à sa disposition et comme sous sa main. Il faut, en d'autres termes, que la série des fractions décroissanies de la grandeur soit telle qu'une grandeur, si petite qu'on la suppose, puisse trouver à l'infini des sous-multiples plus petits qu'elle pour la mesurer.

La mathématique et, en particulier, la géométrie, est sortie, on le sait, de nécessités pratiques. « Il faut mesurer », voilà, pour le géomètre, la plus impérieuse des lois. Ce qu'il réclame, ce sans quoi sa science n'existe plus, c'est la division sans fin répétée. Dans l'absolu, l'unité de mesure est une et toujours la même ; dans le relatif, il faut qu'elle varie, parce qu'elle est arbitraire, rien ne la fixant ici ou là, et, pour cela môme, elle doit pouvoir reculer toujours. La matière ne peut manquer à la science, et la matière sur laquelle s'exerce le géomètre, c'est le continu, toujours fuyant sous la forme que momentanément on liii prête, mais, conune continu, toujours présent.

On n'a point oublié, peut-être, le spectateur idéal, que, dans la première partie de cette étude, nous placions devant une ligne de lumière inconnue de lui en sa loi de formation. Maintenant, je le suppose, il est au courant de tout; il comprend pourquoi la ligne commen*ce, pourquoi elle finit ; il s'explique comment il a pu, sans diflîculté, prendre ici ou là sur cette ligne des points lumineux ; il n'en est pas moins tenu de demeurer dans sa conception première s'il se propose de la mesurer, et il a beau supposer qu'à la fin de ses divisions, peut-être, il rencontrera le point, comme il ignore où et quand il le rencontrerait, il est bien obligé, dans l'intérêt de ses calculs, de tenir la supposition pour non avenue, et de se fixer dans l'apparence qui lui fait une loi de l'indéfini.

Ainsi fait le géomètre. Il subordonne le point de vue de la doctrine au point de vue de l'utilité. Ce qu'il demande, avec la pensée dont il s'inspire, ce n'est pas que la gran deur enveloppe Une divisibilité sans bornes, c'est qu'il

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puisse [aire comme si elle renveloppait réellement ; il réclame seulement le droit de fermer les yeux sur l'indivisible qui crée ou termine le progrès où il se place, pour le prolonger autant qu'il y trouvera intérêt.

Déjà,, semble-t-il, l'autonomie a perdu un peu de son acuité première ; la grandeur, pour le mathématicien, n'est plus, comme nous le disions tout à l'heure, un in(ini (ini, ce qui est la contradiction même, mais un indéfini siib/ecii/ qui représente un obiectivement fini.

C'est sur cet obiectivement fini qu'il nous faut maintenant jeter les yeux. Pour savoir si la grandeur prise ens elle-même et en dehors de tout besoin imaginatif, doit se poser ou non comme inépuisable, interrogeons la raison pure. Sa loi dialectique nous est connue ^. Étrangère à l'intuition, elle n'affirme que ce que le principe de contradiction lui interdit de nier, et fait ainsi de l'existence ou de la non-existence de la pensée tout entière la suprême garantie de ce qu'elle affirme.

Or, quand on l'interroge sur le point qui nous intéresse, quelle est la réponse de la pensée pure ? Sans se laisser troubler par la perception d'une continuité qui ne saurait finir, elle reste, en dépit de tout, toujours d'accord avec ellemême, et c'est ce dont on s'assurera facilement si l'on veut bien se donner la peine de l'écouter.

Demeurons, pour simplifier, dans l'hypothèse de la plus simple des grandeurs, qui est la ligne. Cette ligne, bien entendu, est définie, elle est telle ou telle. Voilà l'hypothèse. S'il en est ainsi, la réponse que nous voulons obtenir n'est plus douteuse ; au regard de la raison pure, la ligne s'épuise.

Et pourquoi s'épuise-t-elle ? Pourquoi l'exhaustion, seulement commencée, s'achève-t-élle spontanément et (Tellemême ? Pour une raison déjà indiquée et décisive : à chaque étape du mouvement idéal d'où l'exhaustion doit sortir, on se rapproche e{[ectivement et de plus en plus du terme zéro, limite de ces approximations successives.