Pour la Raison vure, p. 24 et

refusons de nous laisser porter par le continu. D'ailleurs, il nous faut opter, dans le cas présent, entre deux alternatives : ou chercher la limite au delà d'un progrès qui, par hypothèse, ne finit pas ; ou la demander à un changement radical de point de vue, et, laissant de côté la question de savoir s'il est un moment de la série décroissante à laquelle elle puisse répondre, la poser comme nécessaire et affirmer son existence comme objective, sans plus de souci d'im progrès qui n'est après tout que dans l'esprit.

C'est sans hésiter, on le pense bien, le second parti que nous prendrons.

L'idée de limite, à la vérité, ne se laisse pas toujours aisément saisir ; il semble qu'elle ait donné lieu à quelques scrupules chez les mathématiciens orientés de préférence vers le phénomène et portés, par cela même, à rejeter au second plan le rôle de la réalité dans la construction de l'espace. Leibniz, par exemple, en sa conception des différences qui séparent la limite de la quantité qui s'en rapproche, est visiblement moins soucieux du but que du chemin, moins préoccupé du terme à atteindre que des approximations indéfinies que lui fournissent les infiniment petits décroissants, et où pourra librement se développer le calcul. Mais alors, il lui faut se résoudre aux « à peu près », oser dire que les erreurs commises sont inappréciables et peuvent être entièrement négligées dans les résultats, faire enfin de l'analyse infinitésimale, que l'on sait être absolument rigoureuse, une méthode analogue à celle qu'on emploie et dont on se contente dans les sciences physiques ^.

1. Ea comparaison des grains de sable laisse grandement à désirer, au point de vue même de la doctrine de Leibniz. Ils constituent, en effet, une quantité finie dont on pourrait toujours déterminer le rapport à une autre quantité finie si grande qu'on l'imagine, tandis que rinflniment petit ou « incomparable », comme l'appelle Leibniz, varie arbitrairement entre une grandeur donnée et zéro, zéro exclus. L'erreur, dans la doctrine de ce philosophe, est donc arbitraire, au lieu que dans la comparaison qu'il emploie, elle est déterminée et toujours la même. Mais une erreur arbitraire n'est point une erreur nulle, surtout si l'on pose en principe qu'elle ne peut, de diminution en diminution, atteindre la limite inférieure qui est zéro. — On ne peut, dites-vous, lui assigner de terme ; c'est précisément parce que vous ne pouvez lui eissigner de terme que l'erreur subsiste ; c'est

Telle est cependani la couceplion qui s'impose à quiconque ne veut voir dans l'espace que ce qu'il enferme do subjectif. Descartes el \ew1on, parmi tant d'autres, oui nettement compris qu'il fallait sortir de ce point de vue, regarder du côté de l'objet, et, pour purger le calcul de toute erreur, passer à la limite *.

parce que l'approximation est lnd<^nîe que c'est toujours une approximation et rien dé plus. Dans la méthode des limites, je sais ou du moins je presseub que ce qui est pour moi indéfini est fini en soi ; or, un inta^-alle fini, alors même qu'il me serait inconnu, peut toujours être épuisé. Id au contraire, nulle arrière-pensée; sortir de la quantité, c'est sortir de rii>iK)tlièse, et la limite ne peut plus ♦>tre, si elle existe, qu au terme d'une sârie inachevable. Dans une parc^ donnée, il est clair que Tassimilation de l'incomparable à sa limite, assimilation pourtant nécessaire, si Ton tient À préserver une formule de toute erreur, réalise le nombre infini.

1. On sait sur quel principe Descartes voulut fonder son calcul des indéterminées. Le géomètre ptiUosophe établit qu'une quantité arbitraire, en relation avec une quantité fixe d'une part et zéro de l'autre, devient fixe elle-même et atteint sa limite. C'est sans doute que nous la somnettons À une double exigence de la pensée ; nous la juxtaposons À d'autres quantités qui lui imposent la nécessité d'èice fixe, et nous la supposons d'autre part aussi petite qu'on le veut. Or une quantité À la fois fixe et aussi petite qu'on le veut ne peut être que zéro.

Cest au fond la même pensée qu'exprime Newton dans le fameux lemme qu'il a placé en tête de ses Principes mathématiques :

« Les quantités et aussi les raisons des quantités qui, en un temps fini, tendent constanunent vers l'égalité, et de cette façon s'en approdient de plus près que ne le marquerait une différence donnée, deviennent en dernier lieu égales. »

Et voici conunent il le démontre : « Si vo\is niez la proposition, supposez que leur dernière différence soit d; elles ne peuvent donc approcher de l'égalité de plus près que la différence d; ce qui est contre l'hypothèse. •

Une différence, en effet, peut être moindre que toute différence donnée sans être égale à zéro, lorsque la quantité que l'on considère est soumise à un progrès purement indéfini; mais dès qu'on admet, à terme fixe, en un temps donné par exemple, un repos absolu, la suppression de toute différence devient nécessaire. Si, d'une part, la quantité ne peut fuir, et que, de l'autre, l'intervalle qui la sépare d'un certain terme soit moindre que tout intervalle proposé, n*en doutons pas, le terme est atteint, l'intervalle a dispaïu.

Leibniz a paru s'étonner que les propositions vraies dans le fini, pussent réussir à l'infini ; c'est qu'il a mis la limite à perte de vue de la grandeur; mais la grandeur, dès qu'on la considère en ellemême et en dehors du progrès subje( tif de la pensée, est finie, et la limite, alors, n'est plus que le terme où elle s'achève, terme qui, en définitive, lui appartient.

Où l'on peut dire que s'opposent vivement el d'une façon dramatique les deux points de vue opposés du sujet et de l'objet, de la pensée sensible et de la pensée pure, c'est dans le paradoxe célèbre qu'a livré aux disputes des philosophes la dialectique du subtil penseur d'Élée. Qui ne con naît ses deux coureurs, leur vitesse inégale et l'impossibilité prétendue de leur rencontre ? Ils se mettent en marche. On peut en conclure déjà que ce n'est pas dans l'iniini proprement dit qu'ils se meuvent, car un tel infini est inépui sable, et, dans l'inépuisable, on n'avance pas. Zenon ne songe, en fait, et il ne peut songer qu'à rinflni du géomètre, à cet infini qu'on entame et où l'on pénètre, parce que, infini seulement en apparence et pour le calcul, il recouvre un fini que doit épuiser et qu'épuise un nombre certain d'étapes. Ces étapes, cependant, se multiplient, et nous voyons en imagination nos coureurs se rapprocher peu à peu d'un terme que l'esprit anticipe, que la mathématique connaît et où nous savons que se produira la rencontre.

A ce moment intervient le géomètre d'Élée. « La rencontre a lieu; soit, nul n'en doute, puisque c'est un fait; mais avant qu'elle ait lieu, il faut que vous m'accordiez un nombre infini d'étapes. Je ne puis demander moins. Sans doute, dans la conception commune, chaque étape est un progrès, mais un nombre fini de progrès ne saurait nous conduire au but ; entre le but et le dernier progrès, il apparaîtra toujours une différence, et, pour la combler, il faudrait avoir jeté dans ce gouffre de l'infini, que rien de fini ne comble, un nombre sans fin de fractions d'espaces toujours plus petites et néanmoins toujours renaissantes. »

La contradiction est flagrante ; je la résumé d'un moi « Le nombre infini est impossible, c'est vrai ; mais il existe, puisque existe la rencontre qui le suppose. »

N'est-ce pas sous cette forme que nous est apparue, au début de celte étude, l'antinomie que nous axons appelée mathématique, et ne nous sommes-nous pas sentis un moment découragés devant une grandeur assez irrationnelle pour se révéler finie à la fois et infinie ? Depuis, nous avons fait un grand pas. Les deux faces opposées de celle

grandeur, qui nous paraissait unique, ont été expliquées par la différence de deux points de vue, et il nous a paru qu'en mathématiques comme ailleurs, la pensée pure avait d'autres exigences que la pensée Imaginative, Tob/ef, d'autres exigences que le six/ef. Nous avons compris que l'infini était l'apparence superficielle, le voile jeté par le continu sur une multiplicité distincte au dedans, confuse au dehors, et prête, pour cela môme, à toutes les opérations du géomètre, sans cran d'arrêt ni limite ; nous croyons que le fini, au contraire, est le propre de la grandeur objectivement conçue, la condition de son progrès, la raison de tout ce qu'elle offre de varié en ses tracés et en ses formes ; nous avons enfin touché du doigt cette vérité nettement conçue par le génie des Descartes, des Newton, des Carnot, que, là où l'approximation est réelle et le but fixe, l'exhaustion est non seulement possible, mais nécessaire par l'annulation de tout ce qui est infiniment petit dans les différences.

Eh bien ! nous pouvons revenir maintenant sans crainte à l'épineux problème que nous propose Zenon. « Vous affirmez, dirons-nous, la nécessité d'un nombre sans fin d'étapes avant la rencontre. Nécessité, oui ; mais pour qui ? Pour la pensée pure, ou pour la pensée imaginative ? Celleci, incapable de se priver de l'intuition de la ligne, exige qu'à chaque étape reparaisse, toujours amoindrie, mais toujours perceptible, la longueur utile à ses approximations et à ses calculs ; mais une telle exigence n'est que relative ; elle appartient au sujet qui réalise ce qu'il imagine ; la grandeur, au contraire, en ce qu'elle a d'objectif, loin de subir cette loi de répétition indéfinie, l'exclut. Quelle qu'elle soit, ligne, triangle polygone, cercle, elle est déterminée et finie ; il suffit, pour s'en convaincre, d'ouvrir les yeux, et il est clair, d'ailleurs, que ce n'est qu'à cette condition qu'elle est mesurable.

Si donc tendent vers un même but deux mobilejs à distance finie l'un de l'autre, avec des vitesses telles que celui qui précède se meuve plus lentement que celui qui suit, il faudra, pourvu que les deux mobiles se rapprochent e{{ectivement et constamment de ce but, que leur rencontre se

produise en un point déterminé de l'espace aussi bien qu'en un instant donné de la durée, car un intervalle d'espace ou de durée ne se conçoit que limité et fini.

— Quoi 1 rétendue ne serait pas infiniment divisible ! — Elle l'est, mais pour nous seulement, lorsque nous la considérons du dehors. Elle ne l'est plus lorsque la pensée pure la pose telle qu'elle doit être en sa réalité objective, et indépendamment de la continuité fictive que nous y mettons.

Le paralogisme — car il faut bien reconnaître qu'il y en a un dans l'argumentation de Zenon ^ — vient de ce que le subtil dialecticien fait d'une loi subjective de la pensée la loi objective de l'espace ; il prend au sérieux et regarde comme réellement inépuisable un infini qui n'est que mathématique et qui s'épuise.

Si, pourtant, il faut le suivre sur ce terrain, si c'est objectivement et en dehors de la pensée Imaginative que chaque portion d'espace est grosse d'une infinité de portions d'espace renaissant d'elles-mêmes et se multipliant à l'infini, comment les deux mobiles "de Zenon ont-ils pu sortir de leur repos et faire le premier pas en avant ? Ce pas, ils l'ont fait ; tout est dit. C'est que les infinis qu'il faut franchir ne sont que fictifs, ou que, même réels, ils n'empêchent pas le passage.

Pourquoi donc oublier, au moment où va aboutir la tendance manifeste des deux mobiles, et lorsque le point de rencontre est imminent, le fait capital de l'exhaustibilité des infinis, qu'on a regardé comme rationnel à chaque étape de chaque progrès ? Il plaît à Zenon, lorsqu'il va toucher le but, d'analyser une différence infiniment petite qui, seule, on ne sait pourquoi, se refuserait à l'épuisement. Comment n'a-l-il pas analysé les portions de ligne antérieurement parcourues, et pourquoi les a-t-il laissées s'épuiser, sans protestation, un nombre infini de fois ?

1. Nous n'avions pas suffisamment fait entendre, dans le livre : Infini et Quantité, que Zenon doit admettre le terme de l'intervalle qu'il analyse, s'il admet qu'un nombre infini d'intervalles semblables ont été déjà épuisées.

Au fait Zenon est acculé à la thèse de la négation du mouvement, et il Ta bien vu.

Certes, le fond de la pensée de Zenon ne saurait nous échapper. Dans l'infini, nul mouvement. Mais si, contrairement à la loi la plus sûre de la raison, le mouvement y pa raît possible, c'est que le prétendu infini est au fond fini, et dans ime telle hypothèse, la rencontre, refusée par Zenon, est aussi intelligible que nécessaire.

Le progrès toujours possible ou impossible toujours ; voilà donc le dilemme qui domine tout le problème.

Gomment les notions d'élément et de limite, venues du réel, fondent l'intelligibilité de l'espace mathématique.

11 importe de dégager les conclusions contenues dans les faits décisifs que nous venons de mettre en lumière. Nous n'avons rien voulu devoir, en cette étude, qu'à la Mathématique elle-même, et c'est pour cela, répétons-le, que nous avons tenu à nous inspirer de ses principes constitutifs et de ses lois essentielles. Demandons-nous maintenant quel parti l'on peut tirer de ces principes et de ces lois. Voyons s'ils nous permettent d'aller jusqu'au bout dans la voie que nous nous sommes tracée, et s'ils ne suffisent pas à écarter une antinomie dont la solution se laisse déjà de mieux en mieux apercevoir.

On a pu le remarquer : à mesure que nous pénétrions plus avant dans le problème des oppositions mathématiques, les termes en apparence contradictoires tendaient à se.justi fier et à s'expliquer. Un progrès réel vers la solution a été fait lorsque nous avons pu nous convaincre que cet Inlini fini, si effrayant tout d'abord par la contradiction qui semble former son essence, se dédouble sous le regard : inliw pour rimaginalion, fini pour la raison.

Nous savons, à présent, que l'infinité mathématique n'est que subjective ; elle n'existe que dans la grandeur vue du dehors.

Or le caractère propre de cette infinité est riiudétermination.

La grandeur indéterminée est infinie encore, mais d'une infinité déjà moins rigide que l'infinité absolue et actuelle, que l'infinité telle que le métaphysicien la conçoit.

C'est un progrès ; poursuivons :

Parfois la grandeur, vue du côté de son indétermination, se déploie seule ; c'est le cas de Vindélini pur i ; alors elle

1. Pascal a pris souvent, semble-t-il, pour un infini achevé et actuel, ce que nous appelons ici indéfini pur^ Si un espace peut être infiniment prolongé, dit-il, il s'ensuit qu'il peut être infiniment diminué; et, pour le faire comprendre, il use de ce schème connu du vaisseau sur lequel un point, perçu au travers d'un verre, semblera monter toujours, à mesure que le vaisseau s'éloigne, sans jamais rencontrer le rayon horizontal.

C'est au même point de vue que s'est placé Kant, c'est la même démonstration qu'il a voulu donner dans sa thèse inaugurale. Soit,

dit-il en substance, une ligne e/, qu'on puisse prolonger à l'infini, et une autre ligne ab perpendiculaire à la première. Qu'on trace maintenant la Ugne cd parallèle à a&, et qu'on prenne sur la ligne ef des points quelconques : g, h^ i^ k, et, ainsi de suite, sans fin. Personne ne refusera d'admettre qu'entre le point c et les points pris sur la ligne e/, il soit possible de mener autant de droites que l'on voudra. Menons donc la Ugne cg qui rencontrera la perpendiculaire ab en un point o, puis d'autres droites e/i, ci, ck, qui rencontreront la même perpendiculaire en it, en a: et en 2/. Il est clair que, si Ion continue, les intersections nouvelles se rapprocheront de plus en plus du point a, sans jamais l'atteindre, puisqu'il faudrait, pour que ce point fût atteint, que la Ugne indéfinie ef fût épuisée, ce qui est impossible.

II faut donc admettre, conclut Kant, que la Ugne oa est infiniment divisible, et, en généralisant, que l'espace est réellement et absolument divisible à l'infini.

Nous ne pouvons présenter ici, au sujet de cette démonstration, que quelques observations très courtes. En premier lieu, la distance oa qui est finie, prise en elle-même et considérée seule, est-elle épuisable? Personne n'en doutera. Il faut, pour qu'on croie le con-

se donne libre carrière ; nul obstacle sur sa route, nulle limite pour la contenir.

Le plus souvent, au contraire, elle n*est que la forme sensible du déterminé auquel elle s'ajuste. Dans la ligne, par exemple, cette forme, toujours divisible, recouvre une grandeur objective que le mouvement épuise, qui commence et qui finit.

Nous sommes ramenés ainsi à la lutte du discontinu et du continu, dans la science. Comment les concilier ? Comment de leur contradiction apparente faire sortir l'harmonie ? Voilà le problème.

On n'a pas oublié la nécessité qui s'impose à nous, si nous voulons atteindre le but. Le rapprochement qui doit réconcilier entre eux les termes extrêmes ne peut se faire que par le progrès de l'un d'eux, le continu, s'acheminant

traire, se trouver en face d'une convention comme celle que propose Kant; mais, est-il besoin de le faire remarquer? une telle convention n'a rien d'objectif, elle n'est que mentale. Nous sommes dupes, quand nous l'acceptons, d'une illusion de l'esprit diviseur qui croit découvrir hors de lui ce qu'il crée lui-même, et objective en une grandeur son propre pouvoir d'évolution. Oui ou non, la longueur oa est-elle plus riche en parties et plus apte aux divisions, après la convention qu'auparavant? On n'oserait l'aflirmer, et si on l'affirme, on affirme implicitement que le changement survenu est dû à une pure conception de la pensée, puisque rien ne s'est inséré, entre les deux états de la longueur, que cette conception même. Ce qui paraît merveilleux, dans l'hypothèse de l'infini, c'est ce fait qu'une longueur apparente de quelques millimètres peut se diviser et par suite se développer sans fin. Il y a là encore un malentendu. Une longueur, en ce qu'elle a d'objectif, reste toujours ce qu'elle est; c'est nous qui y faisons entrer notre pouvoir de répétition ; encore n'est-ce pas à elle-même que nous l'imposons, mais au continu qui la remplace pour notre pensée, et qui, par son indétermination, se prête à tout. Le vrai, c'est qu'il n'existe qu'une forme d'espace relativement objective : l'espace physique. L'espace géométrique, qui implique le continu, crée déjà, mais sous la réserve de la limite qui le rattache au réel, des divisions et des subdivisions factices. Si la limite disparaît ou est impossible, nous faisons un pas de plus dans l'abstrait, et nous rencontrons l'indéfini pur. La forme d'espace créée alors est si subjective que nous proposerions de l'appeler espace mental. C'est l'espace tel que l'a conçu Kant, lorsqu'il en a fait un a priori dans la pensée sensible. C'est aussi celui que se représente le plus volontiers le génie Imaginatif de Pascal. On peut s'acheminer ainsi, d'étape en étape, et en s'éloignant de plus en plus de l'objet, jusqu'à l'espace algébrique.

de lui-même vers le discontinu et le point» Nulle autre solution n'est possible, parce que — nous Tavons fait observer — le point est ce qu'il est et ne saurait se modifier sans disparaître.

Or les faits, étudiés de près, justifient la conception que nous nous sommes faite a priori de la méthode. Le continu, dès qu'il entre dans la science, se rapproche de plus en plus de son contraire ; il s'en fait le substitut, et l'on dirait qu'il veut jeter un pont entre le discontinu et lui.

Suivons, en ses principales phases, ce mouvement si digne de toute l'attention du philosophe.

On observera tout d'abord que le continu scientifique se laisse entamer. On peut en prendre une moitié, un quart, un huitième, une partie quelconque, et cela de façon effective. Le continu pur, au contraire, est, nous le savons, rigoureusement inépuisable ; il ne se laisse ni pénétrer ni mesurer réellement et effectivement.

Le fait que le continu scientifique se fragmente et que la division le multiplie est du plus haut intérêt. Voilà donc des parties qui se dessinent de plus en plus nombreuses sur un fond tout à l'heure indivis et uniforme, et qui peu à peu l'envahissent. Ce ne sont point assurément les parties élémentaires, les parties constitutives de la trame où elles apparaissent, puisqu'elles ne dépendent que de la pensée imaginative qui les crée à son gré et sans fin ; mais elles imitent, en leur grandeur relative, ce qu'il y a de déterminé et d'essentiel dans l'absolu des unités qui coexistent pour former l'étendue réelle.

Non seulement on entame et on divise le continu scientifique, mais on l'épuîse. C'est donc que ce continu, bien différent en cela du continu pur, est fini. Il l'est, non point en lui-même, car son essence le fait, au contraire, inexhaustible, mais par accident seulement, et pour cette seule raison que, dans la science, il devient le substitut du déterminé qui est fini.

Et, si Ton eût doute, il suffira de rappeler que le continu scientifique se borne de lui-même en passant spontanément à la limite.

Ainsi voyons-nous s'éliminer, de leur propre mouvement, les infiniment petits du calcul différentiel, et s'effacer devant le fini objectif de la grandeur toutes les approximations de la pensée subjective,

La subordinaiioa du continu infini au fini discontinu est un fait capital dans la. philosophie des mathématiques. Seul, il explique que toute grandaur y paraisse achevée, toute forme déterminée et circonscrite. Partout où apparaît le tracé net d'une figure, il est impossible de ne pas sa dire que le vague contenu interne qu'elle présente a subi la loi du fini ; une coupure s'est produite, son progrès s'est trouvé nié et arrêté court.

Même opposition dans le mouvement, et aussi même victoire du discontinu sur le continu, du fini sur l'infini. Si Achille rencontre la tortue, c'est que, malgré l'apparence, l'espace ne se divise pas à l'infini. Seul se divise sans fin l'espace de l'imagination ; l'espace objectif, l'espace où se produit le mouvement est fini et doit s'épuiser.

On le voit, le continu scientifique est devenu pénétrable, partant divisible ; épuisable, partant fini. Il semble maintenant si près du discontinu réel qu'il recouvre, qu'on dirait qu'il va coïncider avec lui, et cependant une différence subsiste, si caractéristique qu'au cas où nous ne pourrions la faire disparaître, l'antinomie entre le discontinu et le continu resterait entière.

Cette différence, la voici : le continu, sans doute, a pu se prêter aux opérations mathématiques ; il a été fragmenté, divisé, multiplié ; il n'a pas été atteint dans le fond de son essence, et il reste lui-même un en sa multiplicité indistincte et uniforme, avec ce trait distinctif de la pénétration réciproque des parties que reproduisent ses moindres tronçons lorsqu'on les détache du tout.

Comment donc rapprocher une telle grandeur de la grandeur déterminée et discontinue, de la grandeur où les parties sont distinctes et ont même, semble-t-il, quelque chose d'individuel ?

Nous voilà, dans le problème, au moment critique, au point culminant, pourrait-on dire. S'il est possible de con-

cilier continu et discontinu, Tantinomie mathématique est levée, mais comment concilier deux termes qui, bien que rapprochés, paraissent encora et malgré tout, incompatibles ?

A cette question, il n'est d'autre réponse que celle de la raison pure.

Plus d'une fois, nous avons saisi sur le vif son mode d'argumentation : « Que faut-il affirmer dans l'absolu, pour que le donné s'explique sans blesser le principe de contradiction ? »

Ici, nul doute : ce que postule la raison, c'est Yespace l'éeL Son sort est lié à celui de la science. Vous voulez vous en passer, vous êtes libre ; mais la science, atteinte en ses principes, n'échappera pas à la contradiction! ; elle présentera, à son origine, le spectacle de conceptions qui se détruisent ; elle sera fondée, en définitive, sur la déraison.

C'est là une conséquence que personne n'acceptera.

Or une seule hypothèse nous y soustrait, celle qui tient en cette formule :

Le continu n'est qu'un accidenl.

Vous posez cette proposition ; tout prend un sens et se coordonne dans le problème ; vous la supprimez, toute solution vous est interdite.

Expliquons-nous :

C'est parce que le continu, emprunté à la perception, n'est que l'image lointaine du réel, que ses parties se pénètrent pour la vue et qu'il apparaît indistinct ; c'est parce qu'il apparaît indistinct, qu'on le juge indéterminé; et c'est parce qu'on le juge indéterminé qu'on le croit et qu'on l'affirme infini.

Mais tout cela est œuvre d'imagination. Pour la raison, l'infini, dans le continu, recouvre le fini ; l'indéterminé, le déterminé ; l'indistinct, le précis et le défini.

Est-il donc une distinction plufe justifiée et pliis sûre, en métaphysique et dans la sci^ice même, que celle de Vêire et dii paraître, de la r^aW^ et du phénomène? . Le plus étrange en tout ceci,: et .le plus inexplicable, serait qu'une multiplicité réelle, ime multiplicité faite d'élé-

112 LA RAISON PURE ÈT LES AiNTLNOMIES.

ments absolus, partant invisibles, n'apparût pas confuse à la vision ; mais la conlusion, comme telle, n'est certes pas un élément à retenir dans l'analyse, et Ton ne saurait la faire entrer en ligne de compte lorsqu'on ne cherche, sous l'apparence, que les éléments objectifs. Il ne reste donc, la conlusion éliminée, que la multiplicité en rapport avec l'unité.

Or l'un et le multiple, loin de se nier absolument l'un l'autre, s'expliquent l'un par l'autre, et si l'antinomie, après analyse de ses termes, se produit encore, ce n'est plus qu'un semblant d'antinomie. L'œil, en effet, peut bien croire, et même il croira toujours que, dans le progrès d'une grandeur qui augmente ou diminue, l'unité introduit la contradiction ; mais la raison pure qui, dans l'absolu, a seule le droit de se faire entendre, résout sans hésitation ce progrès apparent en unités réelles, en unités absolues, parentes de l'unité qu'on leur opposait, et aptes à construire avec elle Vcspace réel.

L'espace réel, voilà l'hypothèse à laquelle, dans cet examen critique, il faut revenir toujours, l'hypothèse d'où dépend la solution de l'antinomie en même temps que le maintien des principes rationnels et le salut de la pensée. Elle serait simplement possible qu'il faudrait la regarder comme nécessaire, puisque sans elle la science ne se construit pas ; mais elle est bien plus que possible, elle s'impose par toutes les considérations que nous avons fait valoir.

Avec elle s'expliquent deux idées fondamentales en géométrie : celle de limite et celle d'élément. L'une et l'autre ne sont qu'en apparence hétérogènes à la grandeur. La liniite est le terme, non d'un continu donné, mais de la portion définie de grandeur réelle que recouvre exactement ce continu ; et, de même, l'élément est absolument distinct du progrès que le géomètre a sous les yeux ; il le contredit, il le nie ; mais il ne nie pas le progrès sous-jacent au progrès sensible, puisque ce progrès est fait d'éléments.

Pris en son ensemble, vu en son immensité, l'espace réel est un espace ponctuel C'est, répétons-le, le décalque, pour la pensée, du système des coexistences actuelles ou possibles ;

mais comme chaque être est unité, la trace ^ de chaque être est unité à son tour. Ainsi répondent aux éléments réels, dans le champ de l'indéfini, les points ^ qui peuplent ou plutôt qui constituent l'espace.

Ces points créés par la réalité, sont réels à leur tour en ce sens qu'ils créent, pour la réalité, des systèmes de groupements possibles et exaclement définis.

Sur le vaste réseau ainsi formé, la continuité, nous le savons, jette un voile, elle prête à la grandeur spatiale un aspect uniforme qui permettra plus tard à l'imagination de se jouer à sa surface en tracés de toute sorte, mais sous ces tracés arbitraires, apparaît partout et toujours la possibilité fondamentale du point ; ce fait, auquel nous avons attaché tant d*importance dans la première partie de celte étude, est, en effet, révélateur. Il prouve que ce qu'il y a de réel par delà l'espace imaginatif, c'est l'espace de la pensée pure, et qu'en cet espace, l'élément essentiel, l'élément constitutif de la grandeur, c'est l'indivisible, partout présent, comme sont partout présentes, en chaque composé naturel, les vives et indivisibles énergies qui l'expliquent.

Conclusion.'

Et maintenant, à la lumière de la distinction établie entre les deux formes de l'espace, il est aisé de montrer comment se résolvent les objections de détail qu'ont de tout temps suscitées les spéculations du géomètre, et que nous avons esquissées nous-mêmes au début de ce travail. Quelques rapides indications suffiront à notre but ; elles ne seront pas inutiles, d'ailleurs, à la justification de la théorie.

Un mot d'abord sur le point : On se souvient de Tim-

1. L'espace, soit réel, soit géométrique, est bien plutôt trace ou décalque que réceptacle, car il ne peut exister de lui-même et être posé avant les choses. C'est, au fond, le souvenir d'un ordre conçu ou perçu.

2. Même remarque. Il ne s'agit ici évidemment que de la conception de points possibles.

possibilité où Ton est de le situer intelligiblement. — Il ne peut, dit-on, avoir accès dans le continu. — Pourquoi pas ? répondrons-nous. Le continu, maintenant, recouvre le réel et le réel est ponctuel. Le point, dans le continu, rencontrera donc partout des points.

— En fait, objecte ra-t-on, les points ainsi conçus n'apparaissent nulle part. — Soit, mais ils se rencontrent partout à l'état d'obscure possibilité, et cela sufBt. Le point est parce qu'il peut être, parce qu'il doit étrCy parce que, sans lui, rien ne s'expliquerait dans la grandeur. Et ce qu'on affirme, c'est qu'une telle possibilité, une telle nécessité est partout.

— Comment donc concevoir sur une ligne les points extrêmes ? — Ce sont deux indivisibles séparés l'un de l'autre par d'autres indivisibles. Ils ne sont hétérogènes qu'à la ligne continue, non à la ligne discontinue et ponctuelle.

— Le contigu, alors, serait la raison d'être du continu? — Rien de plus vraisemblable. Qu'est-ce donc que le continu sinon une multiplicité de contigus confusément aperçue ? La pénétration des parties telles que l'exige le continu, sinon une multiplicité de contigus confusément aperçue ? La pénétration des parties telles que l'exige le condétermine et qui la fixe.

On objecte que la contiguïté est inintelligible. — Dans une science que pénètre l'indéterminé et où entre l'infini, c'est possible, mais dans des sciences plus voisines du réel, comme la mécanique ou la physique, la contiguïté au contraire s'impose, et si l'on soutient^ que les corps seuls se touchent, que leurs éléments indivisibles ne se touchent pas, il est trop facile de faire voir que, tout au contraire, il n'y a, dans les corps, que les parties extrêmes, et, par suite,

1. Voir Pascal, De Vesprit géométrique. « Deux indivisibles, dit Pascal, s'ils sont unis, se touchent chacun en une partie; et ainsi les parties par où ils se touchent ne sont pas séparées... Donc, ils ne sont pas une étendue. »

Laissons de côté ce qu'il y a d'étrange dans l'hypothèse d'une partie d'indivisible. « Les indivisibles ne sont pas une étendue », soit, mais ce qui, vu confusément et de loin, le deviendra pour la perception.

DEUXIÈME ANl'INOMIE. 115

les éléments qui aient chance de se rencontrer, et d*agir sans intermédiaire les uns sur les autres.

La plupart des objections qu'on adresse à la conception de l'espace réel viennent de la pensée imaginative. On voudrait que le point devînt sensible et que les éléments prissent des dimensions comme la grandeur ; on voudrait qu'il fût possible de présenter aux yeux des séries d'indivisibles, comme si la représentation qu'on réclame ne devait pas précisément leur faire perdre leur qualité d'indivisibles. La pensée pure se refuse à tout essai de cette sorte ; elle ni'a. elle ne peut rien avoir à nous montrer, elle affirme seulement, au delà de ce qu'on montre et de ce qu'on voit, des absolus qu'on ne peut ni voir ni montrer.

Et maintenant, fixons en quelques mots les grands traits de cette étude. L'apparente contradiction qu'y a signalée le grand critique résulte tout entière d'une affirmation à la fois très plausible et très, risquée : « L'espace est à l'infini composé d'espaces. » Certes, s'il en est ainsi, la place de l'élément réel n'est nulle part.

A cette affirmation nous n'opposons rien de moins qu'un fait. Dans l'espace, la place de l'élément réel est partout, parce que, dans l'espace, le point est partout possible. Nous l'avons constaté : partout, absolu ou relatif, l'indivisible est indispensable au géomètre ; sans lui, plus de tracés, plus de cadres ; le contenant fait défaut au contenu ; il ne reste plus, pour répondre à l'idée d'espace, qu'une infinité vague et flottante sur laquelle l'esprit n'a plus de prise.

Ce qui ranime cette idée ainsi éteinte, c'est une sorte de transfusion en son contenu de ce qui appartient à la réalité vive. Deux notions la pénètrent et s'y révèlent : celle d*élément et de limiie, avec Yunité qui les explique.

Ainsi est créé l'espace géométrique ; mais, s'il existe, si, par le calcul, il s'ajuste aux choses, le fait seul de son existence atteste l'existence d'une autre forme d'espace, celle-là même qui lui a prêté ses éléments essentiels.

L'espace réel est donc le support et la raison d'être de

l'espace géométrique. Seul il le fonde, seul aussi, il le sauve de la contradiction qui s'introduirait dans son concept, si les éléments de sa dualité originelle n'étaient pas soigneusement distingués et démêlés.

Or cette dualité est l'œuvre évidente de l'entendement Imaginatif et de la raison.

Kant ne l'a pas aperçue. C'est que sa dialectique n'a pas pénétré au cœur du problème ; c'est que, dans l'argument incomplet qu'il nous propose, il oublie de se demander, d'abord, si l'espace géométrique est le seul espace, ensuite, si, dans ce cas même, il n'implique pas, en même temps que l'infini, le fini, en même temps que le continu, l'indivisible.

Dans la série des conceptions spatiales qui vont s'échelonnant de l'objet au sujet, de l'espace physique à l'espace algébrique, l'espace de la seconde antinomie est sans doute fermé à l'élément ; c'est qu'il est moins que physique, moins que géométrique ; il appartient déjà presque tout entier au sujet qui, dans la voie de ses généralisations ultérieures, pourra aller, on le sait, jusqu'à lui substituer des formules ou à multiplier ses dimensions.