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LES FONCTIONS DU SYLLOGISME Zt

l'a dit, cruces et opprobria des logiciens1. Quand un système rencontre ainsi des difficultés insurmontables, c'est qu'il n'est pas cohérent. Nous tenons donc une bonne preuve que la logique scolastique est, comme nous l'avons dit, deux fois artificielle : elle n'est qu'un tissu d'expédients. Gela, d'ailleurs, ne suffirait pas à lui enlever toute utilité, mais c'est suffisant pour qu'on aspire à quelque chose de mieux.

La logique hamiltonienne se distingue de la scolastique en ce qu'elle quantifie le prédicat, non par mesure générale, mais par mesure spéciale et dans chaque cas donné. Ce n'est pas nous qui dirons que ce procédé n'est pas artificiel : il fait violence au langage et à la pensée. Cependant, si on le comprend et l'applique bien, il ne dénature pas la pensée. Sans doute, il faut maintenir que, dans toute négative normale qu'on veut convertir ou plutôt contraposer, l'attribut doit être pris universellement2. Mais, dès qu'on se place décidément dans le domaine de l'artificiel, rien n'empêche de mettre le signe quelques devant l'attribut de la proposition obtenue par la contraposition. La contraposition de 0 donnerait ainsi une proposition en E ou, plus précisément, une négative totopartielle, de telle sorte que le caractère empirique de la proposition primitive subsisterait, et que l'opération faite serait légitime. Quelques hommes ne sont pas sages, donnerait ainsi : Nul sage n'est quelques hommes (que j'ai vus). Dès lors, au point de vue purement artificiel, la logique hamiltonienne pourrait réduire bArOcO à un mode tel à peu près que cElArO. toutes les fois que la mineure de bArOcO serait une proposition normale à prédicat universel8.

1. Hamilton, lecl. on Log., t. I, p. 4!îS. — Hamilton, s'inspirant de Kant ihie falsche Spitzfihdigk. der vier syllogistischen Fig., voy. Lee. on Log.. t. I, p. 431, n. a) a essayé de construire les syllogismes des autres ligures en partant d'un syllogisme de la première figure auquel il superpose, par la transformation de quelqu'une des prémisses, un autre syllogisme. Mais bArOcO résiste assez opiniâtrement à ce procédé pour qu'Hamilton soit tombé à son sujet dans une erreur matérielle (signalée, mais peut être imparfaitement corrigée par ses éditeurs, op. cit., p. 440, n. ai et, d'autre part, bOcArdO exige qu'on traduise des négatives sous la forme d'affirmations (quelques hommes sont non-sages). Or cela peut être permis à un certain point de vue (Renouvier et Boole le font), mais alors il n'y a plus, à propriini'iil parler, de bArOcO ni de bOcArdO. Inutile d'ajouter que cette construction n'est que la réduction traditionnelle prise à. rebours, et qu'elle implique les mêmes opérations de conversion et de contraposition.

2. Comme Thompson etSpalding l'ont fait contre leur maître. Voir Liard, I.ps Log. angl., p. 51, n. 1.

3. Une particulière Dégative où le prédicat lui-même ne serait, comme

A vrai dire, la question n'est pas de savoir si la quantification hamiltonienne est possible (car elle l'est), mais bien de savoir si c'est là le meilleur artifice pour favoriser le maniement des propositions logiques. Or, en tant qu'appliquée à corriger et à compléter, en facilitant les réciprocations, la logique scolastique, la quantification bamiltonieune pallie mais ne détruit pas les vices de cette logique qui reste, malgré tout, demi-comprébensive et demi-exteusive. D'autre part, en tant qu'elle peut servir de base à une logique purement extensive, la quantification bamiltonieune aura de la valeur s'il convient de fonder la logique artificielle complète sur Textension. Mais nous nous réservons de parler d'uue telle logique à la fin de ce travail.

Pour le moment, nous avons à nous demander à quoi sert l'introduction dans la logique des propositions particulières, introduction qui est la source première du caractère artificiel de la logique traditionnelle. Assurément, si Aristote et les scolastiques ont tenu compte des propositions particulières, ce n'a pas été pour "multiplier, par jeu et curiosité pure, le nombre des modes du syllogisme : ils n'ont pas tant cultivé l'artifice pour lui-même qu'en vue d'applicatious utiles. La preuve en est que les scolastiques n'ont pas accueilli les modes bArbArl, cElAntO, cEsArO, etc., réguliers et ayant leur place marquée-, comme le veut Leibniz, si Ton se place au point de vue de la combinaison abstraite d'A, E, I, 0, mais aussi parfaitement oiseux.

Égaré par sa tbéorie de l'individuatiou, Aristote, tout en faisant bien des réserves, a cru que les sciences de la nature sont forcées d'employer dans leurs raisonnemeuts une prémisse particulière1. Le syllogisme en dArlI serait donc le type du raisonnement dans ces sciences. Mais la pbysique et l'histoire naturelle elle-même n'emploient de propositions particulières que lorsqu'elles ne sont pas scientifiques et balbutient

\r sujet, qu'une constatation empirique, serait si peu naturelle et supposerait une telle indétermination delà pensée, qu'on ne voit pas qu'on puisse la former directement, ni l'employer utilement : quelques ambitieux (que j'ai vus) ne sont pas quelques philosophes (que j'ai vus); sous-entendu : toutefois je ne sais rien des rapports de l'ambition avec l'esprit philosophique.

I. An jtost., 1, 8, 75 b, 2ti. — Aristote qui sait bien que la sensation a pour objet l'homme et non Callias, se figure que Callias est quelque cliose qu'aucun lien rationnel ne rattache à homme et qui tombe par accident sous la sensation, laquelle rencontre, il est vrai, partout où elle s'exerce, de tels accidents.

encore. Jamais le physicien ne considère, dans un fait, son caractère accidentel et contingent ou, du moins, ce qui peut passer pour tel : et il lui paraîtrait à peu près aussi ridicule de dire : toutes les eaux bouillent à 100°, que le serait pour l'arithméticien cette proposition que : tous les nombres lo égalent S X 3. A plus forte raison, jamais un physicien ne dira-t-il : quelques barres de fer se dilatent par la chaleur. Quand il emploie le signe du particulier, c'est qu'il ne sait pas au juste- sur quelle essence portent ses observations, et qu'il désigne par un caractère extérieur une essence qu'il ne saurait présentement déterminer.

Le vrai domaine des syllogismes à conclusions particulières, c'est la dialectique et la rhétorique, les topiques, en un mot. Là, en effet, comme Aristote l'a si bien vu, il y a place pour des pensées incertaines, pour des essais de pensée, et, par conséquent, pour des conclusions particulières. Encore faut-il observer que les orateurs procèdent volontiers par propositious géuérales, même alors qu'ils n'en ont pas le droit.

Le syllogisme à conclusion universelle ou, pour mieux dire, le syllogisme qui met en œuvre des notions déterminées est le seul qui ait accès dans les sciences. Quelles sont donc les sciences qui emploient ie syllogisme ? On peut répondre d'un seul mot que ce sont les mathématiques, car, à vrai dire, la déduction, dans les sciences de la nature, est toujours mathématique.

§2. — Si le raisonnement, dans les sciences mathématiques, est, en tout ou en partie, syllogistique, l'importance de ce fait est capitale pour nous. En effet, grâce à la simplicité relative des notions mathématiques, il semble possible d'en déterminer à la rigueur la compréhension avec ses divers degrés, de sorte que, le syllogisme mathématique pouvant serrer de plus près les choses sur lesquelles il porte, et en descendre les étages presque sans interruptions ni lacunes, ce syllogisme serait le moins artificiel de tous, et toucherait à la perfection de la logique naturelle. D'autre part, comme le raisonnement dans les sciences exactes a fait ses preuves, s'il était permis de le considérer comme syllogistique, nous trouverions en lui le syllogisme, non plus à l'état d'abstraction et de mort, mais bien à l'état d'organisation et de vie. Par malheur, ou a contesté que le raisonnement mathématique fût jamais syllogistique. Nous ne partageons pas cette opinion. Mais, comme elle

a pour elle des autorités considérables, nous allons être obligés de l'examiner de près. Il est vrai qu'en montrant et pour montrer que le raisonnement mathématique est, au moins à certains égards, syllogistique, nous cbercberons comment il l'est : de sorte qu'à vrai dire nous ne délaisserons pas le -•: i<m pour le •">-.'., mais continuerons au contraire d'approfondir l'essence du syllogisme, prise seulement dans une de ses applications.

Le raisonnement mathématique n'est pas un syllogisme, nous dit-on, parce que les notions mathématiques n'ont ni extension ni compréhension : d'où il suit qu'une proposition mathématique exprime égalité, mais n'exprime jamais ni subsomption. ni subordination rationnelle1.

Ce n'est pas nous qui contesterons l'absence d'extension dans les propositions mathématiques ; ou, du moins, nous reconnaîtrons volontiers deux choses : d'abord qu'il n'y a pas de particulières en mathématiques, et ensuite que les universelles qu'on y peut rencontrer ne désignent jamais une classe de choses toutes exactement semblables entre elles quant au contenu, comme feraient, dans l'opinion de ceux qui admettent l'iudividuation par la matière, les propositions : tous les hommes sont mammifères; tous les singes sont quadrumanes, etc. Si le mathématicien dit, par exemple, que toutes les sections coniques ont telle propriété, le terme universel qu'il énonce n'est universel qu'à titre de matière commune de déterminations plus complexes, ou, eu d'autres termes, ne possède qu'une universalité dérivée, dout la raison est dans le contenu de la notion. Mais ce qui résulte de là pour nous, c'est que la notion mathématique est d'autant plus apte à entrer dans le syllogisme tel que uous le comprenons. L'autre objection est seule véritablement grave. Nous y répondrons d'abord que toute proposition mathématique, et, en particulier, toute proposition géométrique, ue paraît pas exprimer une égalité : car où est, au moins à première vue, la relation d'égalité dans cette affirmation que par un point extérieur on ne peut mener que deux tangentes à un cercle, ou même dans celles-ci que toutes les puissances de o sont terminées par o, et celles de 6 par 6:? Et, d'ailleurs,

1. Liari), Des définitions géom., etc., pp. 116 sq.: Lachelier, De nat, syll., pp. 8-10.

2. Cf. Cotjbnot, Traité de l'enchaînement des idées fondant., t. I, p. 25 : L'arithmétique supérieure, celle qui étudie les propriétés des nombres en

quand il serait vrai que toute proposition mathématique exprime une égalité, il faudrait encore se demander si la raison de cette égalité ne se trouverait pas, au moins en géométrie, dans des conditions d'ordre et de position. Or tous les géomètres conviendront que si les rapports de grandeur gouvernent ceux de position, ceux-ci, à leur tour, gouvernent ceux-là.

Si l'on insistait en disant que la réciprocité, au moins très fréquente, des propositions mathématiques exclut l'idée d'une subordination rationnelle de l'attribut au sujet, nous rappellerions : 1° que les définitions les plus incontestablement qualitatives sont elles-mêmes réciproques; 2° que les propres les plus incontestablement qualitatifs se réciproquent toujours avec leur sujet : témoin le propre risij -et le sujet homme, qui servent d'exemple aux logiciens depuis Aristote. Que si d'ailleurs, les propriétés mathématiques méritent presque toujours leur nom et sont des propres, cela marque perfection ontologique et non défaut dans les concepts mathématiques, puisque c'est le signe que, dans ces concepts, chaque attribut est exactemeût adapté aux autres et comme pénétré de leur nature : unité comparable à celle de la monade de Leibniz.

Tout ceci néanmoins est extérieur. L'opinion que nous discutons suppose une théorie de la définition mathématique, et c'est là qu'est le cœur de la question. Il faut, dit-on, définir les nombres et les figures per generationem et non per genus et differentiam. H y a un substrat homogène, temps pour le nombre, espace pour la figure, que l'esprit détermine par la juxtaposition successive pour le nombre, par le mouvement pour la figure. Comme le substrat est toujours le même, que la juxtaposition successive et le mouvement varient seuls pour chaque nombre et pour chaque figure, c'est de ces deux processus seuls que la définition mathématique doit être prise; le substrat indifférent, vainement répété dans chaque définition, n'y aurait pas de rôle utile l.

Le premier inventeur de cette théorie de la définition mathématique est Kant. C'est lui qui le premier a émis cette

eu i -mêmes, ri a rien ou presque rien de commun avec l'idée de grandeur ou de quantité.

1. Voir Liaiu), fies dé fin., pp. 45-47; 59-60; tout, le chap. ni : In., Logique, p. 78; Cf. Kant. /{. pure. tr. Barni, t. II, p. '2\>:\ {le nombre est la simple synthèse delà diversité homogène) et ibid., t. I, p. 203 : Harten., t. III, pp. 181 ; 144.

double assertion que l'on ne peut, définir véritab! ment que per generationem, et que les choses mathématiques se prêtent seules à ce mode de définition1. Et, en effet, comme selon Kant savoir c'est faire, et comme, d'autre part, toute intuition qualitative est empirique, c'est-à-dire passive, tandis que les formes mômes de notre passivité, le temps et l'espace, sont des intuitions à priori, il est clair que les déterminations du temps et de l'espace sont les seules que l'esprit réalise sans avoir besoin pour cela du concours d'une chose en soi extérieure au sujet. Far conséquent, tandis que tout est discontinuité et mystère dans le domaine de la qualité, il n'y a rien de mystérieux dans les notions quantitatives, non pas même, sans doute, le passage d'une détermination à une autre : car la génération des choses mathématiques, intellectuelle d'une part, est, de l'autre, continue comme l'espace et le temps. N'y a-t-il pas d'ailleurs un cas où les mathématiciens eux-mêmes reconnaissent cette continuité des formes mathématiques, puisque leur méthode infinitésimale la suppose? Telle est, semble-t-il, la pensée de Kant. Comme si toute génération n'était pas le passage d'un terme à un autre terme différent, encore que ce passage puisse être nécessaire (mais non d'une nécessité analytique;, et encore (jue cette nécessité établisse entre les deux termes uue liaison qu'on peut appeler, si l'on veut, une continuité rationnelle.

Le besoin de cette continuité rationnelle a été senti par tous les métaphysiciens; c'est pourquoi Kant est l'auteur d'une interprétation nouvelle de cette doctrine qu'il faut définir les choses per generationem, mais nullement de cette doctrine même. Elle lui vient deWolff, peut-être par un intermédiaire2, et Wolfî lui-même déclare qu'il l'a empruntée à Tschirnhau-

1. Logik, S 1 06, anmerk. 3 :E'uie Définition ist l gène Use h venn sie einen Beqriff gibt, durch welchen Gegenstand a priori in concreto feann dargeslellt werden; dergleichen sind aile ■mathematische Definilionen. — R. pure, tr. Barni, t. II, p. 288 : Il n'y a que le concept de la quantité qui se laisse construire, c'est-à-dire représenter à priori dans l'intuition; les qualités ne se laissent représenter... que dans l'intuition empirique. Cf. Ibid., pp. 299 et 301 : il n'y a que les mathématiques qui aient des définitions (Harten., t. III, pp. 47S; 485; 486).

2. Seit dem Jahre 1765 liât Ilerr Prof. Kant seinen Vorlesungen uberdie Logik ununtt Wochen das Meier'sche Lehrbuch (George Friedrich Meier's Auszugaus der Vernunftlehre, Halle beiGebauer, 1752) als Leitfaden zum Grande gelegl (Préface de G.esche, éditeur île lu. Logique de Kant; Harten., t. VIII, p. 3).

seu l. Tschirnhauseu l'avait trouvée dans le De intellecius emendatione de Spinoza-, sous cette forme qu'une définition parfaite doit contenir la cause, c'est-à-dire l'essence du défini; et Spinoza lui-même l'avait reçue d'Aristote par ses maîtres juifs3. Or Tschirnhauseu prend pour exemple de définition celle du rire, — laquelle, dit-il, doit déterminer toutes les conditions du rire4, — preuve manifeste que pour lui la définition per generationem n'a pas lieu seulement en mathématiques. Quanta Aristote, à qui nous sommes renvoyés comme à la vraie source de la doctrine dont il s'agit, il n'est pas douteux qu'il entend bien appliquer universellement la maxime qu'on doit indiquer dans la définition la cause du défini. Voici, du reste, le résumé de sa pensée : Il y a des définitions premières qui expriment des notions simples ou pures quiddités, et elles relèvent exclusivement d'une intuition indivisible ou infaillible de l'intellect : telle est, par exemple, pour l'arithméticien, la définition de l'unité : xSiaipsTov èv -.<:> ttocô. Mais il y a d'autres définitions où le genre, parce qu'il s'est déjà antérieurement réalisé daus des notions moins complexes, se présente avec une sorte de réalité propre, et peut être isolé de l'espèce, c'est-à-dire de la combinaison du genre et de la différence. Dès lors, si l'on considère expressément l'espèce seule, ou a une définition formelle : et si l'on considère le genre seul, on a une défiuilion matérielle. Et comme la première contient dans sa compréhension la seconde, on peut pour ainsi dire, démontrer celle-ci à l'aide de celle-là prise comme moyen terme. Ainsi ou démontrera qu'une maison est un assemblage de pierres, de tuiles et de bois (ce qui est la définition matérielle de la maison» en partant de ceci qu'une maison est un abri contre le froid et le chaud (ce qui est la définition formelle de la maison). La définition formelle étant moyen terme par rapport à la matérielle, en est, par conséquent, la cause et voilà pourquoi l'on peut dire qu'une bonne définition doit contenir la cause du défini. Mais cela ne signifie

I. J.-E. Erdmann, Geschichle dër neuern Philos., 2* vol., :'« nail. Leipzi°- 1842, p. 284.

-. Tract., mi ut vin. —Cf. Erdmann, IbkL. p. 230 : l'ouvrage de Tschirnliausen, Medicina mentis, inspiré île Descartes el de Spinoza, rappelle iresque à chaque page le De Inlellectus emehdatione.

'■'< Voir par exemple Maïmonide, Guide </<■* égarés, part. I. ch. lu déb: ;

Lrad. Munk. i. l, p. ;i'J0.

i, Erdmann, op. cit., pp. i3S-i'ti. et nul;. minent p. 240. Cf. Ibid., Beien . . xcviii. v

1 h i.<i x . — Aimée philos. 1908. 3

nullement que la définition par la cause soit autre chose que la définition per genus et differentiam : ce n'est que cette défiuition bien comprise. Ainsi Wolfi était tout à fait dans l'esprit d'Aristote quand il disait que toute définition réelle1 est une définition per generationem - et personne, sans doute, jusqu'à Kant, n'a entrepris d'opposer la définition per gênera* tionem à la définition per genus et differentiam bien comprise. Mais Kant ne pouvait pas admettre qu'engendrer une chose, au moins dans la pensée, n'était qu'en poser la notion. Engendrer, selon lui, c'est réunir des morceaux d'intuition, c'est-àdire de données sensibles, et puisque nous ne disposons spontanément que d'une seule sorte d'intuition, les intuitions vides du temps et de l'espace, nous ne pourrons engendrer que des juxtapositions de parties de l'homogène. La qualité est hors de nos prises; nous ne pouvons pas construire les touts de parties hétérogènes et subordonnées. Dès lors, la défiuition per generationem est bien loin d'exprimer la causalité d'une forme par rapport à une matière qui s'y adapterait. Elle exprime l'acte tout intellectuel de créer quelque chose avec une matière entièrement indifférente. Entre les deux parties de la définition il n'y a plus de lien; la partie matérielle est d'un autre ordre que la partie formelle; la première n'a rien de commun avec les concepts, elle est sensible, la seconde relève de l'entendement. Et puisque la matière ne peut faire corps avec les déterminations que lui impose 1 entendement, on comprend qu'elle ne puisse revendiquer une place dans la notion mathématique. Descendant de lui-même ou. comme auraient dit les Alexandrins, procédant, l'esprit qui est en lui-même qualité pure, se répand où il veut et comme il veut dans l'homogène du temps et de l'egpace. Tout ce qu'il importe de savoir c'est la loi que l'esprit assigne lui-même à sa procession. — Eu somme, en tant qu'empiriste, c'est-àdire en tant que philosophe qui place la réalité dans le sensible et dans le sensible comme radicalement différent de l'intellectuel, Kant estime que le réel se constate et ne se construit pas ; mais, d'autre part, en tant qu'il regarde le temps et l'espace comme à priori quoique sensibles, Kant fait une exception pour les quanta et admet qu'ils se construisent, en maintenant, bien entendu, que la loi de la cons-

1. Leibniz, Xouv. Ess., III, ch. in, § 18, Erdm., p. 306 a, Cf. 138 a.

2. J.-E. F.uDMANX op. cit., p. 284 : Cf. ibid., Beilagen. p. exiv.

tructiou, qui est intellectuelle, ne s'assimile jamais le champ ou la matière de la construction, qui est sensible. Voilà comment le kantisme est la source de cette doctrine que les notions mathématiques sont à la fois à priori et non hiérarchiques.

Or, puisque c'est l'attribution au temps et à l'espace d'un caractère irréductiblement sensible qui empêche les notions mathématiques d'être hiérarchiques, il faut voir si cette attribution est justifiée. La grande raison de Kant pour regarder le temps et l'espace comme invinciblement étrangers à l'ordre des concepts, c'est qu'ils sont singuliers et n'ont pas d'extension ; qu'ils ont des parties qu'ils enveloppent en eux (in se), non des déterminations spéciales qui se rangent sous eux (sub se)1 ; à quoi il faut sans doute ajouter que l'espace et le temps, n'ont pas, non plus, de compréhension et ne contiennent pas de notions élémentaires. De cette façon, l'opposition entre l'espace et le temps et les concepts de l'entendement est, en effet, complète : tellement que les caractères de continuité et d'infinité, qui résultent immédiatement du caractère d'indifférence absolue que nous venons d'exposer, viennent tout de suite heurter la première exigence de l'entendement, c'est-àdire le principe de contradiction. Et puisque la contradiction a ici sa source, non dans une conception incomplète du temps et de l'espace, mais dans leur nature même adéquatement représentée, cette contradiction sera irrémédiable, et nous aboutirons à l'impasse des antinomies. Mais est-il donc vrai que l'espace et le temps n'aient rien de conceptuel ? En premier lieu, nous maintenons que l'espace et le temps ont une compréhension, c'est-à-dire qu'ils ont des éléments conceptuels. Ces éléments sont la relation et la quotité. Car l'espace et le temps sont des ensembles de relations entre des parties distinctes. Nous ne voulons pas dire que l'espace et le temps soient postérieurs aux choses. Nous reconnaissons, au contraire, que, pour celui qui s'élève progressivement dans la hiérarchie des notions, les étendues et les durées se présentent avant les déterminations plus internes qui doivent les remplir. Mais, précisément pour que ces déterminations plus internes se surajoutent naturellement au temps et à l'espace, il faut que ceux-ci soient déjà quelque chose de déterminé, quoique très pauvrement encore. Peut-être nous accu-

1. De mundi sensibilis, etc., §14 et 15 ; Ilarten., t. II, pp. 406; 409.

3f, L'ANNÉE PHILOSOPHIQUE. 1908

sera-t-on de pétition de principe en disantque nous supposons la nature intellectuelle de l'espace et du temps au lieu de la démontrer. Mais n'est-ce pas Kant, au contraire, qui commet une pétition de principe? L'espace et le temps tels qu'il les présente, ne sont, à vrai dire, qu'un moment de ces deux notions : ce que Kant nous donne sous le nom d'espace ou de temps, c'est seulement, pour parler le langage de Renouvier, l'intervalle. Mais les limites, qui sont indispensables pour constituer, avec les intervalles, les étendues et les durées concrètes nous voulons dire pourvues de toutes leurs déterminations en tant qu'elles ne sont d'ailleurs qu'étendues et durées) que deviennent-elles dans l'Esthétique transcendentale ? Kant n'en parle pas, et ne veut pas les voir. Il réduit arbitrairement l'espace et le temps à n'être plus, pour ainsi dire, que des océans d'indétermination et d'homogénéité. Et, toutefois, son entreprise n'aboutit pas. Car comment pourrait-on penser l'espace et le temps autrement que comme partes extra partes? Donc l'espace et le temps sont bien des ensembles de relations, donc ils ont bien une compréhension. — Maintenant, nous disons, en second lieu, qu'ils ont aussi une extension, c'està-dire qu'ils servent de matière à des notions plus complexes. Pour le temps, il est certain (et c'est une excellente remarque de Kant lui-même1) qu'il est le fondement de la simultanéité aussi bien que de l'antérieur et du postérieur. Mais c'est surtout en ce qui touche l'espace que nous devons insister. Puisque l'espace est un système de relations, il faut spécifier ces relations. Ce sont des relations de distances et (pour prendre tout fait le concept de l'espace dont la construction serait extrêmement difficile et ne saurait d'ailleurs être entreprise dans une discussion épisodique comme celle-ci), c'est un système de relations selon les trois directions de bas eu haut, de gauche à droite et d'arrière en avant. Or, si cela est, que va-t-il arriver2? Tenons-nous en à

l. De mundisensib., etc., llartent., t. II. p. 408, note.

i. Nous ne saurions ici, pour plusieurs raisons, entrer bien avanl dans les discussions sur la valeur de la géométrie non-Euclidienne. Bornonsnous a nie' courte remarque: Si la géométrie plane de Lobatchewsky. .m l'on suppose la somme des angles d'un triangle rectiligne moindre que deux droits (voy. Houeel, Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élém., 2« éd., p. 84), — laquelle géométrie plane n'est autre chose, comme l'a montré Bellrami (Houeel. ibid., p. 69), que la géométrie d'une surface à courbure constante, —était, dans quelque mesure que ce lût. applicable a notre espace. — mesure très faible, d'ailleurs, puisque les observations astronomiques, <ïaprès les calculs de Lobatchewsky , seraient

l'étendue plane. Qui dit système de distances, entre des points dit, en même temps, direction. Donc la notion de direction, et par conséquent de direction rectiligne, à laquelle toute autre direction se rapporte, se présente nécessairement dès que l'espace plan est donné, car, encore une fois, il n'y a pas d'espace si l'on ne détermine au moins un intervalle par deux points. La droite (non pas assurément celle que la main a tracée sur un tableau, mais celle qu'elle va suivre dans son mouvement pour tracer), premier élément des figures, nous apparaît ainsi comme étant naturelle à l'espace ; et c'est uue assez forte raison de croire que les figures le sont aussi. Elles le sont, d'ailleurs, autaut les unes que les autres, et l'esprit réalise celle-ci ou celle-là arbitrairement, sous réserve toutefois de l'ordre hiérarchique que nous allons bientôt reconnaître expressément dans les figures. Mais ce qu'il importe de retenir, c'est que les figures sont immédiatement présentes à l'espace concret, car il résulte de là que les figures ne sont pas radicalement créées par le mouvement, mais que, tout au contraire, l'idée du mouvement, comme dit Leibniz1, contient ci' lie de la figure. Et cela étant, nous ne voyons pas comment on pourrait, sans cercle vicieux2, partir du mouvement pour donner une définition de la figure, s'il s'agit, du moins, d'une définition élémentaire ou du complexe par le simple. Comment les concepts que Kant construit dans l'espace, par exemple le concept du triangle, ne contiendraient-il pas déjà l'espace, à moins qu'on ne déclare possible de concevoir un triangle inétendu ? Autant vaudrait dire que les théories

incompatibles avec l'hypothèse que la somme des angles d'un triangle rectiligne dont les côtés égaleraient à peu près la distance de la terre an soleil fût inférieure de trois dix-Wiillièmes desecoude à deux angles droits (Houeel, dans Brùnel, Notice sur HoiieL p. 31), — celui-ci ne comporterait plus de figures semblables, et, en un mot, perdrait l'homogénéité que lui attribue avec tant d'insistance Y Esthétique transcendentale . II suffirait, d'ailleurs, pour ébranler la doctrine de Kant, que la conception d'un espace tel que serait le nôtre dans l'hypothèse que nous venons île faire, fût véritabletiiiiit Légitime, c'est-à-dire compatible avec un ordre de choses aussi parfait ontologiquement que l'ordre dont nous faisons partie. Quanl aus conséquences empiristes que les partisans de la géométrie générale prétendent tirer du l'ait que chaque sorte d'espace aurait son caractère propre, - sa courbure (voir par exemple, Hoùel, Essai, etc., pp. 67, 69, 70, etc.), — elles ne nous paraissenl pas correctes. L'opération rationnelle requise pour constituerun espace et, par exemple, le nôtre (que cette opération, du reste, soit ou ne soit pas présentement possible pour nous), serait seulemenl plus compliquée.