Xouv. Ess.. 1. II. eh. vi

-. Li wtD. Des défin., pp. 47-48.

anglaises contemporaines qui expliquent la notion d'espace par le mouvement senti comme mouvement, ne supposent pas ce qu'elles se flattent de conclure.

Mais si les figures se surajoutent naturellement à l'espace, à tel point que le premier élément des figures paraît appartenir au môme moment de la pensée que l'espace lui-môme, l'espace fait corps avec le formel de la figure, et dès lors ce n'est plus l'espace indéterminé qui est la matière prochaine du triangle, du cercle ou de l'ellipse. La matière de chaque figure est une détermination de l'espace qui n'est que d'un degré au-dessous de cette figure. La matière du triangle est la ligue droite ; celle du cercle est une courhe plane doutles points sont rapportés à un seul point intérieur; cellede l'ellipse est une courbe plane dont les points soiit rapportés à un système de deux points intérieurs. Il y a des familles de figures, comme il y a des familles de plantes et d'animaux, et quelquesunes d'entre elles sont si manifestes qu'on ne saurait en méconnaître l'existence. Comment ne pas voir la parenté des figures qui s'échelonnent du parallélogramme au carré, ou celle des sections coniques? Ou nous dit, il est vrai1, qu'il y aurait abusa identifier la hiérarchie des formes géométriques avec celle des formes organiques. Mais, à moins qu'où n'aille avec Kant, jusqu'à soutenir que l'essence des êtres organisés nous est à jamais inaccessible, nous ne voyons pas qu'on puisse faire consister la différence des notions mathématiques et des notions déplantes ou d'animaux en autre chose qu'en un degré de complexité, ici très bas et là très haut. Eu droit, les notions les plus complexes se construisent et s'engendrent rationnellement comme les plus simples ; et les notions mathématiques ne sont pas autre chose que des notions très simples.

La définition per generationem des choses mathématiques, c'est-à-dire des figures et même des nombres (auxquels s'appliquent en partie les considérations que nous avons développées), n'est donc pas autre chose, à la bien prendre, qu'une définition par la forme, laquelle recèle toujours une définition par la matière. Peut-être, seulement faudrait-il pour plus d'exactitude, distinguer deux sortes de définitions per generationem en ce qui concerne les figures: Quand on définit le cercle en

1. Liari), op. cit., pp. Si-SS : L'analogie signalée plus haut est réelle; mais il ne faudrait pus l'exagérer au point d'identifier la hiérarchie des formes géométriques avec celle des formes organiques.

disant que tous ses points sont à égale distance d'un point intérieur, on eu donne déjà, à vrai dire, une définition per generationem : car on énonce la condition la plus précisément déterminante du défini, celle dont l'existence eutraîne l'existence du défini. Mais ce n'est pourtant pas là ce qu'on est convenu d'appeler la définition per generationem du cercle. Celle-ci est, à proprement parler, une règle pour décrire le cercle. Le cercle, dit-on en ce seus, est la figure engeudrée par un point qui se meut en restant toujours à la même distance du centre, ou encore par l'extrémité d'une droite qui tourne autour de son autre extrémité. Toutefois, cette seconde sorte de définition a pour base la première. On introduit l'idée que le cercle doit être produit successivement, et dès lors, on remplace l'idée d'une série de points également distants du centre par l'idée d'un point qui, dans ses positions successives, reste toujours à égale distance du centre. La seconde définition n'est que la première transportée dans le devenir ; et la première définition fournit les conditions auxquelles est astreint le devenir où on la transporte. La définition per generationem telle que l'entendent les géomètres, est ainsi plus que simplement formelle : elle exprime la forme de la figure en tant que synthétiquement comprise dans une essence plus complexe, à laquelle la forme de la figure sert de matière. — Ainsi envisagée la notion de la figure est plus rapprochée, pour ainsi dire, des déterminations les plus internes de la pensée. Et c'est ce qui fait la légitimité relative de la théorie que nous discutons, et les avantages incontestables qu'on trouve à définir les figures par le mouvement. Il y a un cercle dans cette manière de procéder : mais ce cercle n'a rien de vicieux pourvu qu'on sache bien que la définition de la figure parle mouvement appartient à la phase régressive de la pensée, qui retrouve dans le mouvement ce qu'elle y a mis en le constituant par une synthèse antérieure. On comprend en outre, que l'esprit saisit mieux ce qui touche de plus près à son essence la plus intime : c'est pourquoi il n'y a rien de plus lumineux pour nous que de développer, c'est le cas de le dire, la figure enveloppée clans une détermination du mouvement. Rien ne donne le sentiment de la ligne droite comme de marcher1.

) Pour ne laisser aucun doute sur le sens de notre pensée, ajoutons les remarques suivantes : La définition aristotélicienne, avons nous dit, n'est pas moins, ou mieux, . > t bien plutôt que la défînitii n trl'c u ' . i

Mais tout ceci confirme,au lieu de l'ébranler, notre croyance à une hiérarchie dans les notions mathématiques. Si, en effet, une définition pergenerationem n'est qu'unedéfinitioo formelle; s'il est vrai que la forme enveloppe toujours une matière ; si la relation déforme à matière dans une notion u'est pas autre chose que celle du genre à l'espèce, ne faut-il pas conclure que les définitions mathématiques se font toujours, expressément ou non, per genus et differentiam comme toutes les autres définitions ? Toute défini lion mathématique assigne donc au défini son rang hiérarchique, en même temps qu'elle en exprime la nature. Les deux choses, en effet, n'en font qu'une. En droit, un genre et une différence ne sauraient se remplacer arbitrairement. On ne définit pas l'homme à volonté animal ratioiiale et rationale animal, comme Leibniz l'objectait à des logiciens qui considéraient, sans doute, les genres el les espèces d'une manière tout abstraite et superficielle'.

conçoil, une définition per gêner ationem. Mais, à la rigueur, nous devoi convenir que ni l'une, ni l'autre ne mérite ce nom. Définir per gênerationem ce serait réaliser la construction intégrale et entièremenl a prl de la notion définie. Sans doute, les aspirations de la raison et de la pensée exigent, pour être satisfaites, un tel mode de définition, qui ne se borne pas à décomposer par l'analyse des notions données, mais qui les cônstit ■•■ et les construise. Mais ce n'est nichez Kant, ni même chez Aristote, qu il faut le chercher. La définition aristotélicienne se contente, après avoir anahi compréhension d'une notion prise, en réalité, comme donnée, de là reconstituer en présentant, dans l'ordre inverse, les résultats de cette analyse. La génération ainsi effectuée n'en est une qu'au sens mu l'on pourrait aussi donner ce nom à l'opération du savant qui, par exemple, réussirait a réaliser par ce que l'on appelle la synthèse chimique, une cellule vivante. Une telle opération serait à peine à moitié a priori, la forme el les fonctions de la chose ainsi engendrée préexistant, tir» d'expérii nces antérieures, dans l'esprit du savant, et guidant pas a pas démarches Cf. Uoltroux, De la conting. des luis delà mit-, p. 9b . La dé imlinn //<•/■ generationem telle que l'entendent Kant ri ceux qui l'on -ui\i en cela, procède entièrement a posteriori. Car elle ne consiste même à reconstruire le défini préalablement décomposé en ses éléments, fille res- 3i mble à la génération des êtres vivants, par laquelle l'être qui possèdj déjà une forme achevée ci parfaite tzoieï 'izzpov olov akô. xv6pu>7ro? ■ . av6poj-ov -virj. De An., II. 4, 41b a, 2S). Et, en effet, la soi-disanl gén ration du cercle tracé sur le tableau réel ou imaginé procède d'un autre cercle déj i entièremenl constitué et parfait dans la pensée. — Pour engendrer une définition véritablement a priori, une seule méthode est possible: 11 faut, partanl du ^enre ou du simple, et y apercevan! comme une insuffisance et un vide qui l'empêche d'être pleinement intelligible et qui ne peut être comblé que par certaines différences, y adjoindre, par synthèse, ces différences. Ainsi l'espèce ne sera plu- postulée, mais construite. Mai- nous n'avons pas à nous engager dans cette voie, nous bornant a étudie) ici le analytique de la pensée.

1. Leibniz, vo,h Nutzen der Logik, Erd., p. 42o a. Cf. Nom. Ess., III, ch. m. s 10. Erd., p. 304 h.

Correctement posés, le genre — le genre prochain — et la différence — la différence propre — expriment adéquatement la nature du défini.

§ 3. — Maintenant le terrain est préparé, et nous pouvons traiter en elle-même la question de la nature du raisonnement mathématique. En effet, personne ne conteste que la définition est le principe ' de la démonstration, et que la nature de celleci dépend de la nature de celle-là.

Il y a des raisonnements mathématiques une division consacrée : les uns sont des analyses, les autres des synthèses. Tâchons de ne pas nous méprendre sur la nature de ces deux opérations.

Remarquons d'abord que les définitions sont des synthèses. Mais la synthèse que représente la définition est, surtout dans la pratique des mathématiciens telle qu'elle est, tout à fait distincte de la synthèse dont nous parlerons désormais. En effet la synthèse que représente la définition précède l'analyse : elle ne reproduit pas, elle produit, elle crée. Ce n'est pas que telle qu'on la pratique, elle soit vraiment a priori, s'il faut entendre par opération a priori une opération rationnelle et régulière. On procède un peu au hasard et, en ce sens.

1. Dans la 'doctrine que nous critiquons, on dit seulement, en ajoutant une restriction, que la définition est le principe unique de la démonstration (Liahii. Des défin., pp. 101-110), et que les axiomes ne jouent aucun rôle dans le raisonnement mathématique. Mais, si nous ne nous trompons, c'est là une erreur nouvelle qui dérive toujours de la même source : la négation d'une subordination dans les concepts mathématiques. Car. cette négation admise, on montre facilement que l'axiome, qui porte sur des quantités indéterminées, ne peut pas entrer dans la démonstration qui porte sur des quantités déterminées, Mais, s'il est vrai que l'indéterminé entre dans le déterminé comme la matière dans la forme, il n'y a plus de raison de refuser un rôle aux axiomes dans la démonstration. Les axiomes et les définitions .n'appartiennent pas à deux mondes séparés ; les uns el les autres sonl également des rapports. Seulement dans les axiomes le rappqrl esl surtout extérieur (par exemple, dans l'axiome : deux quantités égales à une troisième sont égales entré elles, l'égalité des deus premières esl prise comme ne résidant pas purement et simplement dans leur nature): tandis que, dan- la définition, le rapport est surtout immanent : car la raison de la présence et de l'unité des éléments d'une chose dans cette chose esl la forme de la chose; — On a déjà prouvé de divers côtés (Pillon, Crit. philos., 1888, t. I, pp. 177-178: Fonsegrive, Rev. philos., 1888, pp. 171-173), el pour ainsi dire par le fait, que les axiomes entrenl dans la démonstration mathématique. Quant à nous, ce que nous tenons à remarquer c'esl que si l'exclusion dont on a frappé les axiomes est Illégitime, et si cette exclusion a bien sa raison dans la négation d'une hiérarchie dans les concepts mathématiques, cette négation esl elle-même une erreur, puisque le faux ne saurait se conclure du vrai. C'esl nn argumenl de plus en faveur de notre opinion sur la nature des notions mathématiques.

empiriquement, à la création des figures géométriques. On ajoute une détermination à d'autres déjà données et l'on obtient ainsi une nouvelle figure. Mais personne n'a encore entrepris sérieusement d'introduire chaque détermination à son heure, et de créer par là chaque figure à son rang : négligence fâcheuse peut-être, puisqu'elle est la source des cercles vicieux et des autres imperfections logiques que se reprochent entre eux les auteurs d'Éléments. Cependant, malgré l'empirisme qui l'entache, la synthèse d'où résulte le concept mathématique reste une création. Au contraire, la synthèse qui va nous occuper est décidément a posteriori; c'est une reproduction. Elle succède à l'analyse qui est une partie de la donnée, n'importe comment obtenue, du concept mathématique, et elle suit pas à pas l'analyse en la prenant dans l'ordre inverse. Il est vrai qu'il y a une recherche des vérités non désignées qui suit la marche synthétique sans qu'aucune analyse antérieure lui serve de guide ; mais c'est là un pur tâtonnement, où la démonstration et l'existence d'une vérité mathématique sont obtenues du même coup par une combinaison fortuite1. Ce procédé, utile peut-être, et analogue à ce que, dans les sciences de fait, Cl. Bernard appelait une expérience pour voir, ne peut pas prétendre à exprimer la vraie nature de la synthèse des géomètres, qui est une marche régulière vers un but défini.

L'analyse et la synthèse ont été définies par les géomètres grecs de telle manière qu'il y a peut-être lieu d'ajouter quelque chose à leur définition, mais qu'il faut conserver tout ce qu'ils y ont indiqué. Cette définition, toujours la même quant au fond, nous a été transmise sous deux formes : L'une se trouve dans un appendice au XIIIe livre d'Euclide- et l'autre

i. Duhamel, Méthode dans les se. de raisonnement. t. I, p. 37 ; — G. Gergonne, Annales de matkém.,t. VII, p. 3oi'.

2. TÉ saxtv àvaXixnç xat xiecmcrôvôeais. àvàXuatç fxèv ouv icrxt Xf(ili<; xoû ÇrçxoofJtsvoo d>< ôfioÀOYOOjJiÉvou 6ià xû>v àxoXouÔwv z~!. xi àX/jôeç ôfxoXoyou- [jlevov. crûv6efft<; os Àr/j".; xoû ôfi.oXoYOU[xévot) oià twv àxoXoû6u>v -.-': xi àXr^lç ô|j.oXoYOU[jiévov. (Eiclidis, Elementa, éd. Heiberg, t. IV, p. 364). Heiberg donne les derniers mots de la définition delà synthèse tels qu'ils sont dans le tns. P flems. du Vatican découvert par Peyrard, et qui est le plus important de tous parce qu'il reproduit une recension des Eléments antérieure à celle de Théon. Voy. Heiberg, Eucl. Elemen.. préf., p. 1); les autres portent, ce qui est peut-être plus clair et, en tout cas, nous fixe sur le sens : èitî xrjv -où Çr.xoojxévou xaxaXrjÇiv ï)'xoi xaxzXv}iv. — Comme on a longtemps commis l'erreur, après la Renaissance, d'attribuer à Théon les démonstrations et de penser qu'Euclide lui-même n'avait laissé que les énoncés (Voyez Gow, Hislory of ç/reek mathematiks. Cambridge, 1884.

dans la préface du VIP livre des Collections mathématiques de Pappus. Selon l'Appendice à Euclide, l'analyse consiste à admettre comme point de départ la chose même que l'on cherche et à passer, par voie de conséquences, de ce point de départ hypothétique, à une autre chose dont la vérité était déjà acquise; la synthèse consiste à prendre pour point de départ une vérité déjà acquise et à passer de là; par voie de conséqueuces, à une vérité nouvelle qui se trouve ainsi conquise. Pappus s'exprime en des termes semblables, pour ne pas dire identiques. Il s'applique seulement à mieux faire voir la dépendance de la synthèse par rapport à l'analyse : car il dit, avec plus de précision que l'Appendice à Euclide, que la dernière conclusion de l'analyse sert de point de départ à la synthèse qui parcourt, mais au sens contraire, le même chemin que l'analyse1.

p. 200), Viète a partagé cette erreur (Isagoge in arlem analyticen-, cap., VI ; Op. mathem., éd. Schooten, p. 10) et c'est pourquoi il rapporte comme étant de Théon (Isag., déb.) une définition de l'analyse et de la synthèse qui n'est évidemment qu'une exacte traduction de celle qu'on trouve dans l'appendice des Eléments et qu'on y trouvait avanl Théon. Ghasles [Aperçu historique sur les méth. en géométrie, 1837, p. 5, n° 1) paraît croire, sur la foi de Viète, que nous aurions de Théon une définition personnelle dé l'analyse et de la synthèse et il est suivi en cela par Gow (op. cit., p. 177, n. 1). Il n'en est rien et (sauf exception du fragment de Geminus, -- voyez plus bas) nous n'avons ici que deux sources : l'appendice aux Eléments et Pappus. Maintenant de qui vient la définition insérée dans les Eléments"! La place même qu'elle occupe dans les mss. (voyez Heiberg, t. IV, p. 364, note) montre quelle n'est pas d'Euclide. Bretsghneider avait pensé qu'on était autorisé à la faire remonter jusqu'à Eudoxe et, par conséquent, bien près de Platon (Gow. op. cit., p. 177 et note \) ; mais Heiberg a fait valoir d.s raisons philologiques contre cette opinion (voyez P. Tahnéry, La géom. grecque, 1887, p. 76). Il n'est pas impossible que la définition dont il s'agit ait été rédigée par Pappus (qui avait écrit en utilisant un travail de Porphyre, un commentaire sur les Eléments, voyez T.vnsery. op. cit., p. 25): cela expliquerait tout à t'ait l'étroite analogie qu'on trouve entre le texte de cette définition et celui des Collections mathématiques et nous réduirait à une source unique (sauf réserve de Geminus).

1. Pappus, Collect. Math., VII, t. II. p. 034, Hultsch : àvâXuffiç toIvuv i<rxîv ôoèç y.-Jj xoù £7)Tou|iivou àç ô|i.oXoYOUfiivou oiàxûiv eÇtjç àxoXoûôwv bit -.: ô;j.o).o-;'/j;j.ivov (7uv6sj6i. Iv [jlev -jàp xtj àvaXuaei xà Çt(xoû[asvov oj; vgYOvà; £>ito8é|Jievoi xo ïi o5 xoùxo crofj$a(vet cry.o-ojuEÛaxai TcâÀ-v èzeivou to TtpoTjYOÛ[ievov, ea><; stv ouxioç àvarcoS {Çovxeç xaxavxTJŒOfAev el'çxi xâ>v r$t\ YVtoptÇofxévwv r, xaftv ào/ï,z eyj$vxmv. v.o.l xr,v xoiauxr,v Èoooov àvaXuîrtv y.yjs/j ;/-:•/, olov àvchraXiv Xuatv. 'Ev os xfi truVÔéasi IÇ ôiroo-xpocpî)? xo èv ~r, àvaXàrei xaxaXï)cpÔ£V EJaxaxov ôixoa-X7)<idc|jtevot yeyovo<; 150*7), /a;. bt6}i.eva xà eveT Trpo7)Y0U|jisva y.a-:à ©tSaiv xaÇavxeç y.at àXXrjXoiç IrtaKvôevxei;, etçxeXo<;

Il est donc clair que Pappus et môme 1' Ippendice à Euclide regardent la synthèse comme le complément de l'analyse et, par conséquent, admettent que les propositions de l'analyse doivent être réciproques, puisque c'est seulement par la réciprocation que l'analyse peut-être transformée en synthèse. Cependant, comme Pappus écritque si la conclusion do l'analyse est vraie la proposition à prouver est vraie aussi. Duhamel1 et même peut-être Leibniz- ne faisant pas attention que Pappus ajoute aussitôt que la démonstration eu synthèse repasse en sens contraire surles traces de l'analyse, supposent que cet auteur a regardé l'analyse comme suffisant par ellemême à la preuve, et lui objectent que cette suffisance de l'analyse n'a lieu qu'au cas où les propositions de l'analyse sont réciproques, attendu qu'on peut déduire le vrai du faux. Mais, encore une fois, Pappus admet forcément cette condition de réciprocité puisque, sans elle, la synthèse serait impossible, et qu'il n'a jamais cru qu'on put se passer de la synthèse. Aucun des anciens ne l'a cru. Pour eux la synthèse est comme on l'a dit excellemment', une partie intégrante de la méthode, et c'est ce que Geminus avait fortement exprimé dans sa définition de l'analyse : àvàluciç ègxiv i-jîoSs^swçsSpsîiç1.

La définition de l'analyse et de la synthèse telle que la donnent les géomètres grecs revient donc à ceci : l'analyse va de l'inconnu au connu, et elle est suivie de la synthèse qui n'est autre chose que l'analyse réciproquée. Cette définition est excellente dans tout ce qu'elle contient5. Elle caractérise sur-

TtooeXeovxeç iit( ti ôo///.v;ojo.r/ov. làv jisv xXtjÔsç r, ix'ewo xo ôfxoÀoyooixsvov, ilrfilz saxat xa; xo £r)TO'jp.Evov, xat / àitooeiÇiç àvxîaxpocpo; xtj àvaXoast, làv os «I/s-joe! ôpoXoYOUfj>ôvtiJ vr.-'s/jM\xi>t. t|/eùooç îcrxai xat xo

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