Nouv. Ess., IV. cli. 17, § '■>. Erd., p. 397 b

3. Tannery, Rev. philos., 1881 ; p. 297, cf. Lu géom. gr., p. 113.

4. Ammonius, in pr. Anal. Arist., dans les Scolies de Waitz, Organon; I. I. p. 44: xaî xr,v xotaûx7;v àvaXuaiv [se. -iM\i-----z\v;i;i\ ô reuùfvcx; ôptÇô- [jl=vo; ©rçiTtvàvâXoay;... xxÀ. — Ce texte paraît peu connu des historiens

des thématiques. — Sur Geminus et ses importants travaux historico-

philosophiques surles mathématiques, voyez Tannery. La Géom. gr., ch. t, u. el m.

5. La réduction que Duhamel regarde comme la véritable analyse, qu'il voudrait substituer, au moins en grande partie, a l'analyse |des Grecs, el qui consiste à chercher si la proposition à démontrer peut se déduire

une. conséquence nécessaire de propositions admises ou d'une autre proposition qui se déduirait elle-même de proposition? admises, n'est, ce semble qu'un tâtonnement pur et simple, On essaie de faire une synthèse avec des

tout parfaitement la situation de la synthèse par rapport à l'analyse, et elle laisse même entrevoir pourquoi les modernes au moins dans tout ce qui dépasse la géométrie élémentaire i, ont supprimé la synthèse et se contentent de l'analyse. Du moment qu'il est entendu que la synthèse est purement et simplement la réciprocation de l'analyse, on peut la sousenteudre. Il suffît de n'employer jamais dans l'analyse que des propositions réciproques. Aujourd'hui nous ne faisons plus de synthèses, parce qu'il est de règle de ne procéder en analyse que par conclusions immédiatement réversibles2. Et les modernes n'ont aucune peine à obtenir des propositions réciproques, puisqu'ils procèdent algébriquement ou par égalités, " et qu'une égalité se réciproque toujours.

Mais si la défînitiou de l'analyse et de la synthèse par les géomètres grecs est bonne dans tout ce qu'elle contieut, elle pèche en ce qu'il y manque quelque chose. Sans doute, au point de vue pratique, cette défînitiou suffît. Car le plus pressé pour le mathématicien est d'avoir un bon instrument de preuve, et uue méthode qui permet. d'aller avec sécurité de l'inconnu au connu et du connu à l'inconnu est bien un tel instrument. Cependant le mathématicien aspire à trouver des démonstrations non seulement probantes mais encore vraiment rationnelles. Malgré toutes les fluctuations de la pratique, il ne pense pas que le hasard seul assigne leur qualité au connu et à l'inconnu. Il conçoit que, dans l'enseignement, et même, à tout prendre, dans la recherche, l'inconnu est aussi nécessairement le plus difficile à connaître et le connu le plus facile. En un mot, il pense que le connu c'est le simple, et l'inconnu le complexe. C'est pour cela qu'il faut, croyonsnous, ne pas se contenter de définir l'analyse : le passage de l'inconnu au connu, et la synthèse : le passage du connu à l'inconnu, mais préciser cette définition en disant' que l'analyse est le passage du complexe au simple, et la synthèse le passage du simple au complexe ; ; point de vue que nous trouvons d'ailleurs assez fortement indiqué dans un mémoire de

prémisses qu'on a cherchées d'inspiration et, si l'inspiration a- été heureuse, la synthèse réussit (V. Duhamel, op. cit., t. I. pp. 40-41).

1. Où la synthèse, non préparée par l'analyse, fait l'obscurité d'un grand nombre de manuels.

2. Taknehy, La r/eom. f/r.. p. 113 : cf. lîev. phil., loc. cit.

3. Voyez ce que nous avons dil plus haut des rapports de La logique artificielle avec la logique naturelle.

Gergonne1. Sans doute la définition de l'analyse et de la synthèse, ainsi précisée, perd en généralité; mais à la vouloir trop générale, on la réduirait à quelque chose de trop formel ou, comme aurait dit Aristote, de trop logique, de sorte que la nature intime des deux opérations définies nous échapperait.

L'analyse et la synthèse étant donc définies, nous n'avons plus, pour faire bien comprendre ce qu'elles sont, qu'à en donner un exemple. Nous l'emprunterons à l'appendice aux Eléments d'Euclide-; d'autant plus que cet exemple, qui n'étant pas de nous ne saurait être suspect, présente tous les caractères que nous avons reconnus à l'analyse et à la synthèse. Voici d'abord le théorème à démontrer : Si l'on divise une droite en moyenne et extrême raison, le carré du plus grand segment augmenté delà moitié de la droite entière est égal à cinq fois le carré de cette moitié (xniJ .

Soit, en effet, la droite AB divisée en moyenne et extrême

raison en C, soit AB le plus grand segment et soit AD = —

AB. Je dis qu'on a : CD" = 5AD".

Voici, maintenant, l'analyse :

CD2 = 5ÂD2

Or CD" = CA' + AD' + 2CA X AD (parce que CD" est le carré de la somme des deux nombres, Euclide, n, 4). Donc CÂ2 + ÂTr + 2CA xAD = 5ÂD2.

En retranchant de part et d'autre AD2.