PD* = 2,7555 OA* = 25 AO X OP
3(3,0855 X i it= 1,0*710 X OP ou4 = 4, 18876
ce qui fait 1 5 1 23.
On calcule aussi dans la stéréométrie les surfaces des solides ou corps. Les surfaces des cubes ou dés, des parallélipipèdes et en général des prismes, sont faciles à trouver. Les prismes et les parallélipipèdes ont pourleurs bases des polygones, comme triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones, etc.; leurs côtés sont des parallélogrammes, dont la superficie est le produit du côté de la figure ou polygone de base multiplié avec la hauteur du solide. Autant il y a de côtés dans le polygone de base, autant de parallélogrammes forment les surfaces du solide ou polyèdre. Voilà aussi pourquoi la superficie des côtés réunis d’un prisme rectangulaire au parallélipipède, est le produit du périmètre ou contour du polygone de base multiplié par la hauteur du solide.
On trouve donc la surface d’un cylindre en multipliant sa circonférence avec sa hauteur; le produit est la superficie ou surface demandée. Elfe est un parallélogramme aussi long que la circonférence ou périphérie, dont la hauteur est égale à celle du cylindre.
La surface convexe d’un cône est égale à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté. Cette surface représente un secteur du cercle, ou partie de cercle comprise entre un arc et deux rayons, menés aux extrémités de cet arc.
Supposons un cône dont la base a 10 mètres de diamètre et qui a6 mètres de hauteur. Nous aurons 10 X 3,1415 = 31,415 X 6 — 188, 490 divisés par 2 = 94n,24, surface demandée.
La surface latérale d’un tronc de cône est égale à son côté multiplié par la demi-somme des circonférences de ses bases.
Soit un cône tronqué ayant à sa base un cercle de 10 mètres de diamètre, et ayant pour sa face supérieure un cercle de 3,n33 de diamètre et 4"’ de hauteur. La circonférence de la base sera 3,14159 multiplié par 10, ce qui fait 31,4159 dont la moitié est 15,7079. La circonférence du cercle supérieur
ET PRELIMINAIRES
est 3,n33 multipliés par 3,14139, ce qui fait 10,4614947 dont la moitié est 3,230747, qui additionnés à 13,7079 produisent 20,938647, qu’il faut multiplier par 4, ce qui fait 83m754588, qui est la surface demandée.
Pour calculer le volume de la sphère, il est nécessaire de connaître auparavant sa surface.
La surface ou superficie de la sphère est égale à quatre fois la superficie du cercle né d’une section faite au point de centre de la sphère, ou bien cette surface équivaut à celle d’un cercle qui aurait pour rayon le diamètre de cette sphère.
Supposons une sphère ou boule d’un diamètre de 100 mètres. 11 faut multiplier ces 100 mètres par 100 pour avoir le carré du diamètre, soit 10,000, qu’il faut multiplier par 3,14139, circonférence du grand cercle, ce qui fait 31415, qui est la superficie demandée.
Quand on connaît la superficie de la sphère, il est facile d’en calculer le volume. Qu’on se représente la sphère comme un polygone régulier formé d’une infinité de côtés; qu'on se représente encore la superficie de la sphère divisée en surfaces planes rectilignes , surfaces qui seraient les bases d’une infinité de pyramides, dont les sommets se réunissent tous ensemble au point de centre de la sphère : alors le volume de toutes ces pyramides réunies sera le volume de la sphère. La hauteur de ces pyramides est le rayon de la boule.
Si, d’après ce que nous venons de dire, on a trouvé le volume d’une des pyramides en multipliant la superficie de sa base par le tiers de sa hauteur, on aura le volume de la sphère si l’on multiplie sa superficie (c’est-à-dire la somme des surfaces de base d’une infinité de pyramides qui forment le volume de la sphère) avec le rayon de la sphère et en en divisant le produit par 3.
Supposons une sphère de 100 mètres de diamètre, multipliez-les par 100 pour en avoir le carré (10,000) et multipliez ce carré par 3,141 pour avoir la circonférence qui sera 31,410m, qu’il faut multiplier par 50 (moitié du diamètre), ce qui fera 1,570,500, qu’il faut diviser par3, ce qui produit 523,500 mètres cubes, faisant le volume demandé.
Une des propriétés remarquables du cône, de la sphère et
CONNAISSANCES AUXILIAIRES
du cylindre, lorsque ces trois corps n’ont pas seulement un diamètre commun, mais encore une hauteur égale, c’est que ces corps par rapport à leur volume, ou cube, sont entre eux comme 1 est à 2 est à 3; c’est-à-dire : qu'un cône dont le diamètre est égal à sa hauteur, qu’une sphère dont le diamètre est égal à la hauteur et au diamètre du cône, et un cylindre, dont le diamètre et la hauteur sont égaux à ceux du cône et de la sphère, ont entre eux le rapport qui existe entre 1, 2, 3.
Que le diamètre commun des trois solides soit 10. Le cube, ou volume du cône, sera :
25 X 3,141 X 10 divisé par 3 = 261,75 — I
cHiiide la sphère 100 X 3,141 X 5 divisé par 3 — 523,5 deux lois 2fil,7i — 2 relui du cylindre 25 X 3,141 X 10 785, 251rois fois 261,75 — 3
Trouver la «uperfleie d'un triangle rrrtnnglr.
Multipliez la longueur de la base ab (ftg. 21) avec la hauteur ac et divisez-en le produit par 2. Le résultat sera la superficie demandée. Soit la hase ab de 23 mètres de longeur et la hauteur ac 23. 23 multipliés par 23 font 375, qui divisés par 2 donnent 287,50, la superficie demandée.
Trouver la superficie d'un triangle quelconque.
Soit un triangle abc (ftg. 22). D’un angle quelconque du triangle abc abaissez une perpendiculaire sur le côté opposé de l’angle, soit co de notre figure. Multipliez la longueur de la base ab par la hauteur oc et prenez-en la moitié, qui sera la superficie demandée.
Soit la hase ab de 18,50 de longueur, multipliez-la par la hauteur oc de 8,95, ce qui donnera 16501,5750, qui divisés par 2 donnent 82m,7875 qui est la superficie du triangle abc.
Fig. 22.
ET PRÉLIMINAIRES
Tronter la superficie d'an carre.
Multipliez la base par la hauteur. Que ab (fig- 23) ait 25m de longueur, ad en aura également 23 ; 23 fois 2a
rfj f font 623. La longueur et la hauteur d’un mur
étant données, on veut savoir la quantité de mortier de chaux qu’il faut pour crépir ce , mur.
W 'I Ce mur a 10 mètres de longueur sur 12 de
. hauteur, sa superficie sera donc de 120 mètres.
Si pour crépir 143 mètres il faut 0m25 cubes de mortier de chaux, il en faudra 0m20 cubes pour crépir 120 mètres superficiels.
Il s’agit de calculer 143 : 120 :: 23 : x
Trouver la superficie d'un parallélogramme.
Soit abcd {fig. 24) ce parallélogramme.
Tirez la perpendiculaire /a, de la ligne cd vers l’angle a, multipliez ab par /'a, ^ et le produit sera la superficie demandée. Supposons que ab ait 12 mètres de longueur et fa 5 mètres de hauteur, 3 fois 12 font 60, la superficie demandée.
Fia. 21.
Trouver la superficie d’un trapèze.
Fig. 26.
Multipliez la hauteur du trapèze par la demi-somme des bases parallèles. Que la hauteur po ( fig . 25) soit 8 mètres, la base ab 8 mètres et la ligne crflO mètres ; on dira 8etl0font 18, dontla moitié est9, qui multipliés avec la hauteur 8 font 72 mètres.
CONNAISSANCES AUXILIAIRES
Construire un rectangle d'une auperflcle voulue et dont un côté est donné.
Ce rectangle doit avoir une superficie de 32 mètres et un de ses côtés aura 8 mètres. Qu’on se figure savoir déjà la hauteur cherchée d’un rectangle, et nommons-la x. La superficie du rectangle à construire sera r = 8 X x, d’où il suit que x est égal
à - ; mais comme r est égal à 32, x sera égal à — ou 4. La hau-
, teur du rectangle sera donc de 4 mètres.
Trouver In superficie d'un secteur.
Le secteur est la partie du cercle comprise entre un arc et deux rayons ca, cb, menés aux extrémités de cet arc (fig. 26). L’aire ou la superficie du secteur est égale à la longueur de son arc multipliée par la moitié du rayon. Supposons que l’angle c a 90 degrés, en d’autres termes qu’il est un angle droit, par conséquent il donnera à l’arc ab le quart de la circonférence. Si nous supposons ensuite que les deux rayons ca, cb ont 3 mètres de longueur chacun , en les doublant nous aurons pour diamètre du cercle 10 mètres, qui multipliés par 3,141392 donnent 31,14159, dont le quart est 7,8339. L’arc a donc 7“,8539 de longueur, qui multipliés par la moitié du rayon, ou 2"‘50, donnent 19”, 634750 de superficie.
Autre exemple. Si l’arc a 6n,50 et le rayon 7ro26, on aura à multiplier G^GO par la moitié du rayon ou 3m63, produit 23m,5950.
Il est donc facile de mesurer la superficie d’un arc elliptique, en calculant les divers secteurs dont il est formé. Supposons qu’on a un arc abfg {fig. 27), qui
ET PRÉLIMINAIRES
avec la ligne de base ag forme la superficie abfga. On veut calculer la surface de cette figure, construite par une ligne droite et ayant un arc, formé de trois portions de cercle. On calculera d’abord la superficie du secteur acb : on y ajoutera la superficie du secteur egf, car ces deux secteurs sont égaux. On calculera la superficie du secteur dbf , dont il faudra soustraire la superficie du triangle dce ; ce qui restera sera additionné à la superficie des deux secteurs abc , egf , et le produit sera la superficie de la figure abfga.
Supposons, par exemple, quelerayon acait2'n50delongueur, l’arc ab 2m55, la superficie du secteur acb sera 3m,t875; le secteur ejg a également 3m,187o, et les deux ensemble 6™, 3750. Le rayon du grand secteur dbf a 4™80 , l’arc bf a 5m00; sa superficie sera de 12 mètres, dont il faut retrancher la superficie du triangle dce, qui est équilatéral : sa superficie sera de (2m50, un de ses côtés, multiplié avec la moitié de sa hauteur, qui est de 2m12 supposons ) 2m65 qu’il faut ôter de la superficie entière du secteur dbf, qui est 12m. Il restera 9m35, qui ajoutés aux 6m3750 trouvés plus haut produiront 15m, 725, ou la superficie demandée de la figure agfb.
Comme il est d’usage de tracer les voûtes et les arcs de grandeur naturelle sur une superficie plane quelconque, tracé qu’on nomme vulgairement une épure ’, c’est sur cette épure qu’on peut prendre, d’une manière exacte, les dimensions des voûtes et des arcs, pour en calculer la superficie ou le cube. On doit faire cette opération conjointement avec l’entrepreneur, et les calculs faits lui en laisser un double, lui faire signer une copie, qu’on garde afin de vérifier les appréciations faites par lui plus tard dans le mémoire qu’il présentera.
Cette manière de procéder abrégera le métré et la vérification des mémoires.
Trouver la «uperflrie ou aire «l'un serment «le cercle.
Calculez d’abord la superficie dus ecteur,et retranchez-en l’aire du triangle construit sur la corde du segment. Soit à chercher la surface du segment aebd ( fig . 28). Trouvez d’abord celle du secteur aebc , ôtez-en la superficie du triangle acb, et ce qui
CONNAISSANCES AUXILIAIRES
Fig. 28.
reste sera la superficie du segment aebd.
11 faut savoir calculer la superficie d’un segment , car dans la construction le segment couronne fréquemment les portes cl les fenêtres et encore d’autres parties du bâtiment.
Trouver la superficie d'un toit conique.
Un toit conique peut être regardé comme étant un cône. Le développement de la superficie d’un cône produit un secteur : nous avons indiqué la manière de trouver sa superficie. La surface latérale d’un cône ou d’un toit conique est égale à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté. Soit la circonférence de la base d’un cône 8 mètres, la hauteur de son côté oblique 10, il faut multiplier les 8 mètres para, et 40 mètres formeront la superficie demandée.
On trouve de la môme manière la superficie d’un toit pyramidal ou à pans triangulaires. On calcule d’abord la superficie d’un des triangles qui le composent, qu’on multiplie ensuite par autant de côtés qu’il y en a dans la pyramide.
Trouver le volume ou le cube d'un parallélipipède.
Mesurez la longueur et la largeur de sa base, que vous multiplierez l’un par l’autre. Vous aurez alors la superficie de sa base, qu'il faut multiplier par sa hauteur. Le produit sera le volume ou cube du parallélipipède.
Soit un parallélipipède de 3 mètres de longueur et 4 mètres de largeur : la superficie de sa base sera de 12 mètres. Maintenant qu’il ait 6 mètres d’élévation; multipliez 12 mètres par 6, et 72 mètres sera son volume ou cube.
Trouver en mètres cubes le volume d'uh mur donné pour connaître la quantité de briques qui doivent y entrer.
Supposons un mur de 5m50 de longueur sur 4“75 de hauteur et de deux briques ou 0œ22 d’épaisseur : on aura pour le
ET PRÉLIMINAIRES
cube 5m50 multipliés par 4m75 multipliés par 0m22, ce qui produit 5m747 cubes. La brique aura , supposons, 0”22 de longueur sur 0m10 de largeur et 5 d’épaisseur. Calculez d’abord le cube d’une brique et voyez ensuite combien de fois ce cube est contenu dans le cube trouvé du mur. 22 X 10 = 220 X o — Il centimètres cubes. Ces 11 centim. sont contenus 3,224 fois dans 3m747 cubes.
Quand on a le cube d’un mur (en mètres) il est inutile d’indiquer combien de mètres cubes de moellons il faut pour l’élever. Le volume de moellon est identique au cube du mur donné.
Trouver le volume ou eube d'un prisme triangulaire.
Supposons que ce prisme soit le comble d’une maison comble à deux rampants et terminé aux extrémités par deux pignons verticaux. Les pignons ont 8 mètres de hauteur verticale, leur base a 10 mètres de largeur et la longueur du comble est de 20 mètres. Calculez d’abord la superficie d’un pignon, c’est-à-dire multipliez sa base par la moitié de sa hauteur : 10 X 4 ce qui produit 40, qu’il faut multiplier par la longueur, 20, ce qui donnera 800 mètres; ou bien multipliez la hauteur par la laigeur et le produit par la longueur ; vous aurez 8 X 10 = 80 X 20 = 1,600, dont il faut prendre la moitié, qui est de 800.
Le§ mesures d'un magasin à grain étant données, trouver la quantité de blé qu'il peut contenir.
Le plan du magasin forme un rectangle de 20 mètres de longueur sur 8m50 de largeur, la hauteur des murs est de 6 mètres et enfin la hauteur des pignons est de 3 mètres. Dans le magasin se trouve une aire à battre le grain qui a 2IIi50 de largeur et autant de longueur et 3 mètres de hauteur, qu’il faudra défalquer du cube total.
Multipliez d’abord la largeur par la longueur, 8m50 X 20™, ce qui produit 170o,00, qu’il faut multiplier par la hauteur de 6 mètres. Yousaurez 1020 mètres, dont il faut déduire le cube
CONNAISSANCES AUXILIAIRES
occupé par l’aire à battre. Pour calculer ce cube, multipliez 2™50 par 2”50 et le produit par 3 mètres, ce qui vous donnera 1 8m75 à déduire de 1,020, reste 1,001”25.
Maintenant nous avons à mesurer le cube du comble, 8™50 de largeur par la moitié de sa hauteur, i“50, ce qui produit 12”75, qu’il faut multiplier avec 20 mètres, longueur du magasin; on aura 255 mètres cubes, qui ajoutés à l,001m23, trouvés pour la partie parailélipipédique du bas, feront 1,256“25.
Nous savons que mille litres sont contenus dans un mètre cube. Le magasin en question pourra donc contenir 123 hectolitres 62 de grain battu.
Si l’on voulait se rendre compte combien de bottes de foin ou de paille le magasin pourrait contenir, il faut mesurer le cube d’une botte et voir combien de fois ce cube est contenu dans le cube du magasin.
Itae quantité de bottes non bnttuesde train étant donnée, trouver le cube qu'il faut pour la placer.
Six mille bottes de blé , dont une moitié à battre avant l’hiver et l’autre au printemps, doivent être conservées dans une grange à élever. La largeur du bâtiment n’est que de 10 mètres et ne peut être étendue : sa longueur est arbitraire. La grange doit contenir en outre une aire à battre de 10 mètres de longueur sur S de largeur.
Calculez d’abord le cube des bottes ou gerbes à conserver et ajoutez-y le cube de l’aire demandée.
Supposons que 1,500 geibes d’hiver produisent un cube de 16 X 120 = 1 .920 mètres et 1 ,500 gerbes de printemps 16 X 100 = 1,6 00 mètres cubes. Si l’on veut donner 5 mètres d’élévation aux murs de la grange à bâtir, le cube qu’absorbera l’aire sera de 10“ X 5 X 5 — 250 mètres. Pour résoudre le problème donné, la grange de 10 mètres de largeur aux murs de 5 mètres dè hauteur devra avoir un cube de 3,770 mètres. La provision d’hiver absorbe 1,920 mètres, celle du printemps 1,600 et l’aire 250 mètres; donc un espace de 1,920 -f- 1,600 -h 250 = 3,770”.
Supposons maintenant que le bâtiment doit être couvert d’un
ET PRÉLIMINAIRES
toit à deux rampants et à pignons, admettons que le cube de ce comble soit la moitié du cube de la totalité de la grange; le
cube du toit ou comble sera t/3 du cube total — — = 1256,66,
et le cube du corps de la grange sera de 2513” 34 cubes.
Nous exprimerons la longueur encore inconnue du bâtiment par x; mais nous admettons un moment qu’elle est connue; la largeur est égale à 10. Le produit de la base (10“* multipliés par x) multiplié par la hauteur (5 mètres) sera le cube demandé. 10 multipliés par x multiplié par 5 produisent 50 X x, ce qui est égal au cube de la partie parallélipipédique de la grange. De là on a : x est égal à a divisé par 50, et qui est
égal à— — — - — et produit 50™ 26. La longueur de la grange sera
OU
donc de 50“ 26.
Si la longueur et la largeur du comble prismatique sont données par la longueur et la largeur de la grange parallélipipédique, on connaît également le cube du prisme triangulaire du toit. Pour trouver la hauteur du comble, que nous nommerons y, on dira 10 multipliés par y, divisé par 2 et multipliés par 5,026, ce qui fait 1256,66.
628,33 Xy = 1256,66.
et enfin
Une grange de 10 mètres de largeur, sur 5 mètres de hauteur, devant contenir un cube de 3,770™, devra avoir 50™ 26 de longueur, avec pignons de 2 mètres d’élévation, ce qui était demandé.
Comme dans les calculs précédents, il n’a point été tenu compte des épaisseurs de murs , il faut considérer les dimensions données comme étant celles dans-œuvre de la grange.
CONNAISSANCES AUXILIAIRES
Trotnrcr le* dimension* d'une grange destinée à conserver une quantité de grain donnée.
La grange doit offrir trois planchers ou aires, y compris le plancher du grenier; elle doit avoir 15 mètres de largeur et pouvoir conserver 550,000 hectolitres de blé. Combien laut-il que le bâtiment demandé ait de longueur?
On pourrait à la vérité considérer le blé comme des couches , comme des cônes ou des pyramides tronqués ; mais ce calcul entraînerait à de trop longues opérations. Il est doue préférable de se rendre compte de la superficie inférieure et supérieure du cône ou de la pyramide, d’en prendre une moyenne proportionnelle, de la multiplier par la hauteur et d’arriver ainsi au volume du cône tronqué.
On sait que le volume d’un hectolitre est la dixième partie d’un mètre cube. Nous avons donc 550,000 hectolitres divisés par tO — 55,000, ou 55,000 mètres cubes. Le grain étendu sur le plancher ne devra pas dépasser 0m45 d’épaisseur ou de hauteur. De là il s’en suit que la moyenne superficie géométrique formée par le blé sera = 45 X x — 55,000 : d’où l’on aura par conséquent 55000
(ce qui produit 1,222); x est donc = 1,222. Mais si
x == 1,222 mètres superficiels, la moyenne superficie du cône
tronqué de chaque étage sera = -L— 7 = 407,33. Nous avons
dit que la largeur de la grange serait de 15 mètres, dont il faut déduire encore un mètre pour l’épaisseur des murs, et au pourtour intérieur de ces murs on demande un passage libre d’un mètre de largeur. Il faut donc déduire 2 mètres pour passages et un mètre pour l’épaisseur des deux murs, eu tout 3 mètres. 11 reste donc seulement 12 mètres pour étendre le grain. C’est cette mesure qui va donner la longueur de chaque couche de blé et la longueur totale du bâtiment demandé. Car
12 x x = 407,33, d’où il suit qu’on aura par inversion iüZH
= 3,394. Chaque étendue de grain de 12m 00 de largeur sera donc de 33m94 en longueur, et la longueur totale du bâtiment,
ET PRELIMINAIRES
y compris les passages et l’épaisseur des murs, sera de 33m 94 -+- 2m -4- 1™, c’est-à-dire 36m =94.
Mais la superficie inférieure du grain étendu est plus considérable que la moyenne, et, de plus, legrain en tombant forme un angle de 45 degrés; ab est la diagonale du carré cbrla (fiy. 29).
Comme ca a 45 centimètres de hauteur, be sera égal à 45 divisé par 2, ce qui fera 0m 225. La surface du cône tronqué admise, augmente de deux fois 33m 94 multipliés par 0m 225, ou 15m 273 dans la longueur et de deux fois 12 multiplié par 0m 225 ou 5m 40'J superficiels.
11 faut ajouter 15” 273 plus 5m 400 superficiels à la longueur du cône tronqué, parce qu’on ne doit pas se départir de la largeur donnée au bâtiment. Mais 12 niulti-
plié para: = 20m 673, d’où on a -7^— = lr
ri.
36m94 plus lm72 = 38m66, qui sera la longueur demandée.
Trouver le cube d'un mur pluii large au pied qu'au sommet, ou mur en talus.
La fig. 30 est la coupe verticale du mur; elle forme un tra-
, , , „ . fab-+- cd\
pèze dont la superficie sera = I ■ ■ 1 X db,
et si la longueur du mur est l, son cube sera =
ab t cd\^ ^ ^ 1 gj ('épaisseur supérieure
ab du mur est de 2 mètres, l’épaisseur inférieure cd de 4 mètres et sa hauteur db de 10 mètres , et la longueur de 20 mètres, le cube de ce mur en talus = / 2 -t- 4\ 60 X 20 1200
Fig. 30.
600 mètres cubes.
Vrouter le cube d'un contrefort.
Que le contrefort soit appuyé contre un mur vertical. O11 peut considérer le contrefort abc ( fuj . 31) comme étant la moitié d’un
3(i CONNAISSANCES AUXILIAIRES
>• parallélipipède : supposons qu’il ait à sa base 4 mè-
1 très superficiels et 5 mètres d’élévation. Son cube
| js Sera “ > ~~ == ^ métres cubes. Car un parallé-
rlg 31 lipipède ayant à sa base 4 mètres de superficie et 5 mètres d’élévation aurait 20 mètres cubes, double du calcul que nous avons trouvé.
Trouver le cube de terre enlevé d’an fossé.
La coupe verticale en travers du fossé forme un trapèze , abcd. {Jig.'A'i) Le fond du fossé a 0,50 de largeur, le haut du vide 0,75, la profondeur verticale ef, 0,80 et la longueur du mètres; le cube de ce fossé sera
ef multiplié par la longueur ou
0,80 x 15 = 7” 50 cubes. Si la
main-d’œuvre est de 55 centimes par mètre, ce fossé coûtera à creuser 4 fr. 12 cent.
Trouver le cube d’nn pilier on poteau octogone.
La superficie horizontale de la base d’un corps octogone forme un polygone qui peut se décomposer en plusieurs triangles. La somme de la superficie de ces triangles multipliée par la hauteur du pilier au poteau donne le cube demandé. Ce corps est un prisme octogonal et son cube est le produit de sa base multipliée par sa hauteur.
Trouver le cube ou volume de la margelle d’un puits.
Fig. 33.
Mesurez d’abord avec un ruban métrique la circonférence (/ îg . 33) intérieure, puis la circonférence extérieure. Additionnez les deux résultats ensemble et prenez-en la moitié. Multipliez cette circonférence moyenne par l’épaisseur de
ET PRÉLIMINAIRES. 37
la margelle , et enfin le produit par sa hauteur. Ce dernier produit est le cube demandé.
Supposons la circonférence extérieure de 8“ 30, la circonférence intérieure de 6™ 15. Ces deux mesures additionnées font 14™ 63, dont la moitié est 7™32. L’épaisseur de la margelle est de 33 centimètres et sa hauteur 92 centimètres. Nous aurons donc : 7™ 32 X0™ 33 X 0™92.
Le volume ou cube demandé sera de 2™35.
Il est aisé à comprendre que cette règle s’applique également au métré d’une tourelle circulaire quelle que soit son élévation.
Trouver le cube du bois en grume.
La forme du bois en grume est celle d’un cylindre ou d’un tronc de cône plus ou moins réguliers. On mesure la circonférence de l’arbre en deux ou trois endroits de la longueur, aux deux extrémités seulement par exemple, ou aux deux extrémités et au milieu, et on prend la moyenne. Cette moyenne donne la circonférence d’un cercle dont il faut multiplier la surface avec la longueur de l’arbre. Supposez que la circonférence d’une extrémité soit 1™17 et celle de l’autre 69 centimètres. — 1™ 17 -|- 0,69 = i™86 : la moyenne de 1™ 86 est 0™93. De la circonférence on déduit la surface du cercle. Ici le tiers de la circonférence est 0™31. Ces31 centimètres sont le diamètre moyen de l’arbre en question. Nous savons que la superficie d’un cercle est égale au produit de sa circonférence
ARCHlTtCrUHE. 3
CONNAISSANCES AUXILIAIRES
par la moitié du rayon. Nous avons ici pour rayon la moitié de 31 centimètres, soit 0m155 (135 millimètres) avec lesquels il faut multiplier la circonférence trouvée, c’est-à-dire 0'n93 , ce qui produit 0m 14413. C’est cette superficie du cercle qu’il faut multiplier par la longueur totale de l’arbre. Disons que cette longueur sera de 5m40. Il faut donc multiplier 14115 millimètres par 5m 40.
Le volume demandé est de 0 mètre cube 77 centimètres cubes ou 778 millimètres cubes. Maintenant si l’on mesurait aux deux extrémités et au milieu de l’arbre, il faudrait additionner les trois circonférences ensemble, prendre du produit le tiers, qui sera la circonférence moyenne; calculer ensuite avec cette circonférence le cercle qu’elle donne et multiplier la surface de ce cercle par la longueur de l’arbre.
Supposons que le gros bout de l’arbre donne une circonférence de lm38, le bout mince une de 0“ 96 et vers le milieu une de lm20. Ces trois mesures font ensemble 3” 54 dont il faut prendre le tiers comme moyenne, soit lm18. La moitié de 1“ 18 est 0œ59. Ces 59 centimètres serontle rayon dont la moitié multipliée par la circonférence (lm 18) nous donnera la superficie du cercle, qu’il faudra multiplier par la longueur de l’arbre.
Ces 0m 34810 multipliés par la longueur de l’arbre, que nous supposons être de 4” 85, produisent l,n6882 cubes, qui est le volume demandé.
ET PRÉLIMINAIRES
Trouver la superficie d’an cercle donné.
Pour trouver cette superficie, prenez la longueur du rayon et calculez-en le carré , multipliez-en le produit par le nombre 3,141. Que le rayon ait 7” 50 de longueur, multipliez-le par 7™50pouren avoir le carré, qui est de 56,2500, que vous multipliez encore par 3,141 ; vous trouverez 176,n 68125.
Vous pouvez aussi multiplier la circonférence par la moitié du rayon. Si le diamètre est de 15™, multipliez-le par 3,141. Vous aurez alors 47™ 113. Multipliez ces 47™115 par 3,75, moitié du rayon, et vous aurez également 176™68125.
Trouver la superficie d'un cercle, sa circonférence seule pouvant être connue.
Multipliez la circonférence par elle-même pour en avoir le carré, multipliez ce carré par 4 X 3,141 X 3,141 divisé par 4 X 9,865881 = 39,463524, et multipliez ensuite le quotient par 3,141.
Que la circonférence donnée soit 1™, on aura---'* * * 3,141
= ■ , ou 0,079 mètre. Si la circonférence est égale
à 1, le diamètre sera égal ou 0ra3183, et le rayon
0,1591 et la surface du cercle, le carré du rayon multiplié par la circonférence ou le carré de 1591 (= 2531281) multiplié par 3,141, ce qui produit 0,0795..., cequi correspond parfaitement au résultat précédent.
Le rapport d’une circonférence à son diamètre est toujours le même quelle que soit la circonférence que l’on considère; ce rapport est un nombre constant.
Dn calcul décimal.
Comme nous ne supposons pas que tous nos lecteurs soient parfaitement au courant du calcul décimal, nous allons nous
CONNAISSANCES AUXILIAIRES
occuper un moment de l’essence ou de la nature ainsi que de l’emploi des fractions décimales.
Une fraction dont le dénominateur (nombre inférieur d’une fraction, qui marque de combien de parties l’entier est divisé; dans 5, 3 est le dénominateur) est 10, 100, 1000, et en général toute fraction produit de plusieurs dixaines, est appelée fraction décimale. Si le numérateur (chiffre supérieur d’une fraction, comme dans §, 2 est le numérateur) de la fraction est compris entre 1 et 9 ou s’il est seulement formé d’un seul chiffre, on a une fraction décimale simple, comme par exemple fo>r!m> ïuüû etc. Une fraction décimale est composée si le numérateur consiste en plusieurs chiffres, comme par exemple
Toute fraction décimale composée peut être réduite en plusieurs petites et en autant de fractions décimales qu’il y a de chiffres contenus dans son numérateur.
Supposons qu’il nous est donné la fraction Prenez d’abord l’unité de la plus haute puissance, elle est 2000 comme numérateur, et conservez le dénominateur : on aura prenez la puissance suivante qui sera le 4, qui indiquera les centaines; conservez encore le môme dénominateur, et on aura une fraction de , Si l’on prend le 8, on aura uT", et pour le 3 on aura la fraction de 1omô-
Maintenant si l’on additionnait toutes ces fractions séparées on obtiendrait la grande fraction primitive (i304<>Tm'>) •’ car 2000 plus 400 plus 80 plus 3 font 2483. Le dénominateur commun 10,000, placé sous le numérateur, donne la fraction par-
faitement identique à la première énoncée.
Si l’on examine ensuite plus en détail les fractions -^75, Æ, ïwüü, tuuûü O01 forment la grande fraction de^,,, on trouvera que ces fractions peuvent être considérablement simplifiées. Car si l’on divise successivement chacune de ces fractions par soh dénominateur, ou, ce qui revient au même, si l’on supprime dans le numérateur et dans le dénominateur ce qui a de l’identité, on aura -fc, ,^55, qui ensemble for-
ment la fraction de ^J}^.
Le grand, l’immense avantage des fractions décimales, c’est qu’on les pose et les écrit sans dénominateur et qu’on les traite cl calcule comme des nombres entiers.
ET PRÉLIMINAIRES
Qu’on se rappelle bien que les fractions décimales sont les parties d’un tout divisé soit en dixièmes, soit en centièmes, soit en millièmes, soit en dix-millièmes, etc., etc.
Si l’on écrit un nombre quelconque, 444444 par exemple, chacun de ces chiffres est décimal de celui qui le précède immédiatement par la gauche, ce qui veut dire qu’il en représente la dixième partie. Si les chiffres sont différents comme par exemple 82647, chacun exprime des unités dix fois plus petites que celles du chiffre précédent. Ainsi l’avant-dernier dans ce nombre 4 signifie quatre unités dont chacune est dix fois plus petite que celle du nombre précédent 6. Les unités de 4 sont aussi cent fois plus petites que celles du nombre 2 qui est de deux places en avant du 4. Elles sont mille fois plus petites que celles du chiffre 8 et dix fois plus grandes que celles du chiffre 7 qui le suit.
Dans le système décimal on écrit les unités entières sur la même ligne que la fraction. Aiusi pour écrire 4 unités et ■$,, on écrit 4, 3 : pour écrire 67 y^, on écrit 67,06 en séparant les chiffres entiers des chiffres formant la fraction, au moyen d’un point ou d’une virgule, ainsi que nous venons de l’indiquer. Cinquante-sept unités vingt-cinq centièmes s’écrivent 57.25 ou 57,25.
Lorsqu’il s’agit de mesures, de poids, de distances ou de monnaies, celte séparation des unités de la fraction se fait par une lettre initiale placée au-dessus du point ou de la virgule ; par exemple 360 mètres 52 centimètres s’écrivent ainsi : 360m.52 (ou 360™, 52).
Si la quantité exprimée ne contient point d’unités et rien que des décimales, elles s’écrivent après un zéro qui désigne la place des entiers, et le point ou la virgule qui fait la séparation comme à l’ordinaire. Ainsi 0.19 au 0,19 signifie dix-neuf centièmes; O”.! 9 ou O^.IO, signifie 0 mètres, dix-neuf centimètres.
S’il n’y a pas de dixaine dans les fractions à exprimer, comme dans sept centièmes, alors on mettrait 0.07 (0m07, 0,r07). Huit millièmes s’écrivent 0,008.
Un ou des zéros ajoutés à la droite des décimales n’en changent nullement la valeur; ainsi 0.6, 0,60, 0.600 sont absolu-
CONNAISSANCES AUXILIAIRES
ment la môme chose. On comprendra que 60 centièmes équivalent à G dixièmes ou à 600 millièmes.
Il y a toujours un point ou une virgule à loute fraction décimale; ainsi que nous l’avons déjà fait remarquer, ce point ou celte virgule sépare les nombres entiers de la fraction. Si dans le nombre donné il n’y a pas de nombres entiers, s’il ne contient que des fractions, à la place des nombres entiers on met un zéro et à sa droite on met un point ou une virgule ; ainsi 0,564 veut dire qu’il n’y a pas de nombres entiers, mais seulement 5 dixièmes, 6 centièmes, 4 millièmes. Ainsi encore 0m564 veut dire 564 millimètres.
Addition des décimales.
Placez les nombres selon leur valeur respective les uns sous les autres, en sorte que tous les points décimaux, les unités et décimales du môme ordre, soient sur une seule et môme ligne verticale ; alors additionnez comme s’il n’y avait que des nombres entiers. Cherchez la ligne horizontale qui contient le plus grand nombre de décimales : dans le produit, comptez l’équivalent du nombre trouvé en partant du premier chiffre de droite, et placez un point ou une virgule. Le nombre à la droite de la virgule sera la fraction décimale et le nombre de gauche indiquera les nombres entiers.
Il s’agit de trouver le total ou la somme de 25,074 -f- 1,8254 + 125 -4- ,0567876 4- 1776,111.
Ce qui fait 1928 entiers et
Sonstraction des décimales.
La soustraction des décimales ou des nombres suivis de décimales se fait comme si les nombres ne contenaient que des
ET PRÉLIMINAIRES
entiers. II faut faire attention de placer les nombres les uns sous les autres, de façon à ce que les unités et décimales du même ordre et par conséquent les points décimaux soient dans la même ligne verticale.
Quand la soustraction est faite, on place dans le résultat la virgule ou point décimal sous la colonne des virgules ou des points décimaux.
Exemple 64,512 18,25 46,262
Si le nombre dont on veut soustraire ne contient que des dixièmes, et que celui à soustraire porte des centièmes, on écrit dans le premier nombre un zéro à côté de dixièmes, ce qui. n’en altère nullement la valeur, et ensuite la soustraction se fait comme dans les autres cas.
Exemple 8,60 0,45 8,15
Étant donné 6,4 on doit en soustraire 3,6822. Au premier abord, l’opération semblera impossible. Mais elle se fait cependant, puisque le nombre entier de la somme dont on veut soustraire est plus fort ou plus considérable que celle à soustraire.
Ajoutez au nombre 6,4 autant de zéros qu’il en faut pour avoir autant de décimales qu’il y en a dans le nombre 3,6822, et opérez comme si vous aviez des nombres entiers.
Exemple 6,4000 3,6822 2,7178
Multiplication «les décimales.
Traitez encore dans la multiplication les décimales comme des nombres entiers. Placez les facteurs l’un sous l’autre, et multipliez comme s’il n’y avait point de décimales. Mettez ensuite dans le produit un point ou une virgule à la suite, de droite à
('.ON N A ISSA \CES A UX 1U Al RES
gauche, d’autant de décimales qu’il y en a dans les deux sommes multipliées. Si dans le résultat de la multiplication vous n’avez pas autant de chiffres qu’il y en a dans les sommes multipliées, suppléez-y au moyen de zéros.
Exemple : multipliez 0, 02534 par 0,03256.
Dans le produit vous n’avez que sept décimales, tandis que dans les deux facteurs vous en avez dix. Ajoutez donc à la gauche de la somme trois zéros pour former dix décimales avec les sept que vous a données la produit de la multiplication et écrivez : 0,0008250740
Division de* décimales.
Opérez comme avec des nombres entiers et dans le quotient ou résultat, marquez en comptant de droite à gauche, autant de décimales qu’il y en a dans le dividende excédant ceux du diviseur. Si vous ne trouvez pas dans le résultat assez de chiffres ainsi que l’indique la règle, ajoutez-y autant de zéros à la gauche qu’il en est requis.
Exemple, divisez 12,678945 par ,5.
Si après la division il restait un nombre quelconque ou plus de décimales dans le diviseur qu’il y en a dans le dividende, ajoutez des zéros au dividende; le quotient peut être étendu à toute valeur nécessaire.
Supposons qu’on veuille savoir combien on peut faire de mètres d’ouvrage à 4fr- 30 le mètre pour trois mille francs. Il s’agit de diviser 3,000 par 4,30.
ET PRÉLIMINAIRES. 45
Transformez d’abord ces nombres ainsi qu’il suit : 3000 francs en 300000 centimes et 430. Voici ensuite l’opération :
On trouve donc 697 pour quotient; mais il reste 290, nombre qui, élantplus petit que 430, ne peut plus donner qu’une fraction .
Il faut donc continuer l’opération de la division et ajouter encore des zéros à 290; ajoutons-en deux, et divisons par 430.
Par cette nouvelle division on obtient au quotient deux nouveaux chiffres formant 67 ; séparez-les des précédents par la virgule décimale.
La réponse à la question proposée sera 697 mètres 67 centimètres.
S’il était nécessaire de pousser la division jusqu’aux millièmes, on ajouterait un troisième zéro, et l’on continuerait à diviser 1900 par 430, etc.
Comme on est souvent encore obligé de se servir de fractions ordinaires et de sous-espèces d’anciennes mesures et d’anciens pôids, utiles dans la construction, nous allons indiquer la manière d’opérer la conversion de ces fractions de mesures et de poids en décimales.
Supposons 5/6 à convertir en décimales ; cette fraction indique la division de 5 par 6. Or, comme elle ne peut pas se faire
CONNAISSANCES AOXILIArRES
en nombre entier, on ajoute à 5 et à sa droite autant de zéros qu’on veut avoir de décimales. Par exemple pour avoir des centièmes on ajoute deux zéros au S, et l’on fait la division ainsi qu’il suit :
2ÎT
Le quotient ou la valeur de la fraction 5/6 est 83 centièmes, exprimés ainsi 0,83. S’agit-il de convertir § en millièmes, on ajoutera trois zéros au 2, et l’on fera la division comme précédemment.
Le quotient ou la valeur de la fraction 2/3 est 666 millièmes, exprimés ainsi 0,666. Veut-on convertir six onces en décimales, on dira six onces ou six seizièmes de livre sont la même chose. Posez le 6, ajoutez y trois zéros si vous voulez avoir des millièmes de livre, divisez ensuite par 46 et le quotient sera le résultat demandé.
Six onces sont donc égales à 375 millièmes de livre, exprimés ainsi 0,375.
le
ET PRÉLIMINAIRES
Conversion (les anciens poids et mesures en nouveaux.
Pour s’aider en construction, on se sert toujours d’ouvrages antérieurs à l’introduction du système décimal en France, Nous croyons donc utile de donner ici la manière de convertir les anciens poids et mesures en nouveaux.
La proportion légale de la toise ancienne au mètre est que
1 toise vaut 1“ 94904
C’est-à-dire que la longueur de la toise équivaut à un mètre 94904 cent millièmes.
L’ancien pied représente 0m32484, c’est-à-dire $$$& d’un mètre.
L’ancien pouce, la 12e partie du pied, équivaut à 0m02707, ou vôVikmî d’un mètre.
L’ancienne ligne, la 12e partie du pouce, équivaut à 2,256 millimètres.
Maintenant si l’on trouve une mesure ancienne quelconque qu'on désire convertir en mètres, soit par exemple 6 toises 2 pieds 4 pouces, multipliez 1 “94904 par 6; multipliez ensuite 32484 par 2 ; multipliez enfin 02702 par 4.
Vous aurez d’abord 1,94904 X 6 = 11,69424 j
Ensuite 32484 X 2 = ,64968 j •
Enfin 2702 X 4 = ,10808 J
Additionnez ces trois! sommes, et le résultat, 12°'45200, vous donnera la réduction demandée.
C’est-à-dire que 6 toises 2 pieds et 4 pouces sont égales à 12 mètres 45200 cent-millièmes de mètre.
La 100e partie du pied ancien est égale à de mètre, exprimés ainsi, 0m324.
Le mètre est au pied comme 466,56 sont à 144.
L’ancienne livre valait 0 kil. 48951 L’ancienne once. . . . 30,59
L’ancien gros. .... 3,83
Opérez pour la conversion des poids comme vous l’avez fait pour celle des mesures. Supposez que vous vouliez savoir
CONNAISSANCES AUXILIAIRES
combien a livres 6 onces et 6 gros font en kilogrammes et en grammes; multipliez 48931 par 5, 30,59 par 6 et 3,83 par 6, additionnez le résultat de ces trois multiplications, et vous trouverez que a livres 6 onces et 6 gros sont 2 kil. 65407.
La 100' partie de la livre ancienne est égale à de kilogramme, exprimés ainsi : 0 kil. 489.
Nous allons donner quelques exemples de calculs qui se présentent continuellement dans la construction, et surtout dans le métré des ouvrages terminés.
Il y a des ouvrages qui se payent au mètre courant, comme par exemple les murs de clôture. On convient d’avance combien ces murs auront de hauteur et d’épaisseur, s’ils seronthourdés en mortier de chaux ou en plâtre, etc. , avec ou sans chaînes, et l’on dit tel mur sera payé, supposons 17 francs le mètre courant : cela veut dire qu’on n’en métrera que l’indéfinie longueur, sans s’occuper de la hauteur ni de l’épaisseur. Supposons qu’un mur de clôture étant terminé, sa longueur soit de 18 mètres 65 centimètres. Il faut multiplier le nombre de mètres et de centimètres par le prix commun, et faire cette multiplication en ne tenant aucun compte des décimales, mais en les regardant comme des nombres entiers.
Voici l’opération : 18,65
On voit qu’il y a une virgule après le nombre 317 : cette virgule est pour séparer les francs des centimes. Il y a dans le multiplicande deux décimales, un 6 et un 5. Ce sont ces deux décimales qu’il faut séparer, de droite à gauche, dans la somme trouvée de 31705. Ces 18m 63 de mur, payés à raison de 17fr, reviendront donc à 317 francs cinq centimes.
Autres exemples : 36 mètres courants 5 centimètres 5 millimètres à 15 francs feront 548 fr. 25 cent.
11 mètres 80 centimètres à 19 francs feront 224 fr. 20 cent.
Si l’on est convenu avec un entrepreneur de payer le cube
ET PRÉLIMINAIRES
de maçonnerie de telle ou telle nature un prix de tant, il faut mesurer les trois dimensions de la maçonnerie, c’est-à-dire sa longueur, son épaisseur et sa hauteur, multiplier par ellesmêmes ces trois dimensions : alors on en aura le solide ou cube qu’on multipliera par le prix. Supposons un mur de 8 mètres 50 de longueur, sur 0”48 d’épaisseur et 3 mètres 22 de hauteur; nous aurons 8,50 X 0,48 X 3,22 = i3m cubes 1376. Chaque mètre sera payé supposons 31 francs 25 centimes. Multipliez 13,1376 par 31 francs 25, ou 31,25, et vous trouverez 410 francs 55.
