CHAPITRE III

Du mètre et de la mesure.

Le mètre est l’unité fondamentale des poids et mesures en France. Le mètre est une longueur qui est la dix millionième partie du quart du méridien terrestre, ou la quarante millionième du plus grand cercle de la terre, dirigé du nord au sud. Un centimètre est la centième partie de la longueur du mètre ; le pied de l’homme a environ 25 centimètres : on peut donc se faire à peu près l’idée de l’étendue du mètre, en le comparant à quatre fois la longueur du pied humain.

Quand on dit telle ligne a 10 mètres de longueur, on a une idée de la longueur de cette ligne, parce qu’on connaît l’étendue de l’unité employée pour désigner cette mesure. Pour tracer une ligne de 10'" il faudra placer dix fois à la suite les unes des autres l’unité ou la mesure qu’on figurera à côté.

La mesure est similaire à ce qui doit être mesuré. C’est ce qui se comprend déjà par l’idée de ce que l’on nomme mesure. Elle est l’unité, une partie de ce qui doit être mesuré. Voilà aussi pourquoi des lignes ne peuvent être mesurées que par des lignes. Il est d’usage de nommer la mesure destinée à mesurer des lignes, mesure linéaire, mesure de longueur.

On divise de telle sorte la mesure de longueur en millimètres, centimètres et décimètres, que chaque fois la plus grande' mesure soit un multiple déterminé et invariable de la plus petite, parce qu’il faudrait trop de détail pour se rendre compte d’une distance d’une certaine longueur au moyen des plus petites dimensions, par exemple, de millimètres et de centimètres. Pour les mesures décimales ou division par 10, la mesure se multiplie par 10; 10 millimètres font un centimètre, dix fois dix centimètres font un mètre, dix mètres font un décamètre, cent mètres font un hectomètre , mille mètres font un kilomètre et enfin dix mille mètres font un myriamètre.

Une surface ne peut pas être mesurée au moyen d’une ligne, car la surface est dissimilaire de la ligne. Pour mesurer une

ET PRÉLIMINAIRES. U

surface, il faut de toute nécessité se servir d’une unité ou mesure d’étendue identique, c’est-à-dire une surface.

Il en est de même quant à la mesure des corps ou solides. Ce n’est qu’avec des corps qu’on peut mesurer des corps, une unité d’égale nature ou similaire.

Il ne s’en suit cependant pas que pour mesurer on doive se servir de véritables surfaces, de véritables corps. Ce moyen présenterait dans l’exécution de grandes et nombreuses difficultés.Les lignes ne peuvent être et ne sont mesurées qu’au moyen de lignes, car la ligne est la plus simple de toutes les étendues. Toutefois plusieurs lignes combinées entre elles forment des surfaces et plusieurs surfaces peuvent se réunir pour former un corps, comme ce que nous voyons dans la minéralogie. Or si une surface est déterminée par des lignes, une surface peut aussi être mesurée par des lignes, et par cette série progressive de simples lignes suffisent pour déterminer la dimension d’un corps quelconque.

Ainsi, si une figure plane d’un mètre de longueur et d’un mètre delargeur était circonscrite par quatre angles droits, cette figure formerait un carré parfait, dont chaque côté aurait un mètre de longueur. Un tel carré pourrait servir commodément pour mesurer toutes les surfaces possibles. Si l’on avait un rectangle de 3 mètres de longueur sur 3 mètres de largeur, tout carré de un mètre de longueur sur un mètre de largeur serait contenu 9 fois dans le rectangle en question.

Le carré a {Jig. it) serait donc contenu 9 fois dans le rectangle dbce.

Si l’on nomme le petit carré a, dont les côtés ont ■}„ de centimètre delargeur. millimètre carré, parce que dû parties ou millimètres font un centimètre, le grand rectangle dbce, Fig- H- 3X3 contiendra 9 millimètres superficiels.

Supposons encore que le petit carré ait un centimètre en tous sens, alors on dira que le grand carré dbce a 9 centimètres superficiels.

Supposons enfin un rectangle fyhi {Jig . f-'ig. la. d2), figure à angle droit plus longue que

CONNAISSANCES AUXILIAIRES

large, qui se compose de 3 carrés en hauteur et de!) en longueur; 3 multipliés par 9 font 43. Si un des petits carrés est pris comme unité, un millimètre, on dira que le rectangle fghi a 43 millimètres’ de superficie; si l’unité est un centimètre ,Jl aura 45 centimètres de superficie; si l’unité est un mètre, il aura 43 mètres de superficie.

11 n’est pas besoin d’appliquer réellement la mesure carrée pour connaître la superficie d'un plan, sur le plan lui-mfime. Il suffit de savoir la longueur de chaque côté, c’est-à-dire combien de fois l’unité et ses subdivisions peuvent se poser sur chaque côté, pour savoir combien de fois cette unité est contenue dans le rectangle à mesurer. Prenons pour modèle le rectangle fghi. Nous mesurons avec notre unité. Si cette unité est un mètre, nous trouverons qu’elle va 5 fois sur la face /g, et 9 fois sur la face r/h; alors en multipliant 5 par 9 nous aurons 45 qui est le môme nombre que celui qu’on trouva en comptant chaquecarré séparément. Si au lieu de l’unité mètre, nous prenons l’unité centimètre, on aura 45 centimètres au lieu de 43 mètres. Si l’on adopte l'unité millimètre, on aura 45 millimètres au lieu de 43 mètres ou 45 centimètres. Il y a par conséquent des mètres, des centimètres et des millimètres carrés. Un mètre superficiel, ou une superficie d’un mètre de long sur un mètre de large, contient 10,000 centimètres de superficie, parce que dans un mètre linéaire (une ligne d’un mètre de longueur) il y a 100 centimètres, et que ces 100 centimètres de la longueur multipliés par les 100 centimètres de la largeur ou profondeur produisent dix mille ( 100 X 100 = 10,000).

11 y a un million île millimètres carrés ou superficiels dans un mètre carré ou superficiel, par la raison qu’il y a mille millimètres linéaires dans un mètre et que 1,000 multipliés par 1,000 font 1,000,000.

Chaque fois qu’on parle de la contenance d’une surface en mesure carrée, on suppose qu’une unité quelconque a été adoptée pour cette contenance et pour cette mesure. Nous nous servons en France de l’unité appelée mètre , et que tout le monde doit connaître. Supposons qu’on parle d’un toit de 120 mètres superficiels. Si l’on n’a pas déterminé en môme temps la longueur des côtés du toit, en disant que les faces ou côtés ont

ET PRÉLIMINAIRE?

l’un 12 mètres et l’autre 10 mètres, il se pourrait que cette contenance superficielle de 120 mètres fût le résultat d’un toit de 20 mètres de longueur sur 0 mètres de largeur. Car si 12 multipliés par 10 donnent 120, 20 multipliés par 6 donnent également 120, et le mètre carré ou superficiel est contenu un égal nombre de fois dans les deux superficies d’inégale apparence ou figure. Si l’on sait que 20 ardoises couvrent un mètre superficiel, pour faire de suite une application, on saura qu’il faut 2,400 ardoises pour couvrir les 120 mètres superficiels : 120 X 20 = 2,400. La quantité de 2,400 ardoises est suffisante pour couvrir une superficie de 120 mètres, soit que cette susuperficie ait 12 mètres de longueur sur 10 mètres de largeur, soit qu’elle ait 20 mètres de longueur sur 6 mètres de largeur.

Une surface de 4 mètres a 4 mètres de longueur sur 1 mètre de largeur, et alors elle forme un rectangle ; ou bien elle aura 2 mètres de hauteur sur 2 mètres de largeur, et formera un carré. Car pour le premier cas, on aura 1 X 4 = 4, et pour le second 2X2 = 4.

Ainsi la mesure linéaire, la mesure destinée à mesurer les surfaces ou superficies, peut se subdiviser en plus petites portions, et ici la règle est que : une mesure plus grande est invariablement le multiple d’une plus petite. On divise le mètre carré en centimètres carrés , et un centimètre carré en millimètres carrés. Quand la mesure linéaire destinée à former la mesure superficielle est décimale, comme en France, où un mètre a 100 centimètres, et chaque centimètre 10 millimètres, on aura pour chaque mètre superficiel 100 centimètres multipliés par 100 ou 10,000 centimètres carrés ou superficiels et 1,000,000 de millimètres superficiels. Car tout centimètre carré peut se subdiviser en 100 millimètres carrés, dont chaque millimètre carré aura un millimètre de longueur sur chacune de ses faces.

Supposons une surface de 30 mètres 27 centimètres de longueur sur 23 mètres 54 centimètres de largeur, quelle sera sa superficie ?

Multipliez un nombre par l’autre et le résultat sera la superficie ou contenance demandée.

14 CONNAISSANCES AUXILIAIRES

Ainsi : 30,27 23,54 121 08 15135

712,5558 ou 71 2 métros, 55 centim., 58 millimètres.

11 faut bien que nous disions en ce lieu un mot de la célèbre proposition de Pythagore que : le carré fait sur riitjpothc7iu.se d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés.

Sur l’hypothénuse, c’est-à-dire le plus grand côté du triangle rectangle abc ( Jig . 13 ), élevez un carré ai de , et sur les côtés ab,

bc, élevez-en deux autres «è/gr et bihc. Divisez le côté ac du carré acde ou l’hypothénuse en cinq parties égales, et l’on trouvera que le plus petit côté du triangle, cb, contiendra trois parties des cinq parties de l’hypothénuse et que l’autre côté ab du triangle en contiendra quatre.

Faites selon ces divisions des carrés ainsi que le montre la fig. 13, et l’on trouvera que le carré élevé sur l’hypothénuse contiendra 25 petits carrés, tandis que le carré du petit côté en contiendra 9 et qu’enün le carré fait sur l’autre côté du triangle en contiendra 16. Maintenant qu’on additionne le nombre des carrés du petit carré au nombre des carrés de l’autre côté, 9 -f- IG = 25, on trouvera ce nombre égal à celui des carrés de l’hypothénuse.

Cette proposition est également vraie en se servant d’autres proportions. Si par exemple l’hypothénuse a 10 parties de longueur, les côtés mesureront six et huit de ces parties ; car si 10 X10= 100, 6 X 6 + 8 X 8 = 36 + 64= 100.

Mais nous allons encore en donner un autre exemple. Que

ET PRÉLIMINAIRES

l’hypothénusc ait 36ro 30 de longueur, le petit côté aura 21“ 78 et l’autre plus grand côté 29m 04.

Car 36“ 30 divisés par 5 font 7m 26 lesquels 7“ 26 multipliés par 3 pour le petit côté vertical sont 21™ 78, et multipliés par 4 pour le troisième côté sont 29,04.

Or 36“ 30 multipliés par 36m 30 pour faire le superficie du carré de l’hypothénuse font 1317™ 6900; nombre égal à celui qu’on trouve en additionnant les deux surfaces produites par le carré de chacun des deux autres côtes; — car 21™ 78 multipliés par 21 m 78 donnent 474,3684, et 29,04 multipliés par 29,04 donnent 843,3216

donnent en effet, 1317,6900

chiffre déjà trouvé comme superficie de l’hypothénuse.

Il s’en suit que si un ouvrier quelconque a besoin de construire un angle droit au moyen de trois planches ou lattes, il n’a qu’à en couper une de 0™ 60 de longueur, une autre de Ü,n80 et enfin une de lm00 pour l’hypothénuse. On voit donc par ce que nous venons de dire quelle est l’utilité de la proposition de Pythagore dans la pratique de la construction.

Tout rectangle peut être divisé en deux triangles rectangles dont les superficies sont identiquement les mêmes. Or si la superficie d’un rectangle peut se trouver en multipliant sa base par sa hauteur , on peut trouver celle d'un triangle rectangle en multipliant sa base par sa hauteur et en prenant la moitié du produit .

(Fig. 14). Si la superficie du carré abcd est égale à ab multiplié par bc (ou disons en chiffres ' ab représente 10 mètres et bc également 10 mètres) cette superficie sera la base multipliée par la hauteur (ou 100). Mais la diagonale ac divise le rectangle en deux triangles équivalents, abc, ade, il faut par conséquentque la superficie ou l’aire du triangle abc soit égale à ab multiplié parôc et

16 CONNAISSANCES AUXILIAIRES

divisé par 2 (10 X 10 = 100 divisé par 2 = 50), et que ad multiplié par de et divisé par 2 soit égal au triangle précédent.

Si nous admettons que ab a 3m 56, bc 2'“ 60, la superficie de abcd sera de 9m 2560 (3m 56 X 2"* 60 = 9“ 2560), et celle des deux triangles abc, ade, de 4ra (>280, ou moitié de 9"1 2560.

Im surface d’un triangle est donc toujours la moitié île la surface d'un rectangle qui a même base et même hauteur.

Cette proposition est absolument vraie; on peut donc elever sur la base d’un triangle quelconque , un rectangle, qui aura pour superficie juste le double de celle du triangle.

La géométrie prouve que le triangle abc est équivalent au triangle ade, que leurs superficies sont identiquement les mêmes , parce que leur hauteur bc et leur base ab sont égales. Mais si ade est la moitié de abcd, abc est également la moitié de abcd, et la superficie du triangle abc est ab multiplié par bc et divisé par 2.

Donc des triangles qili ont une môme base et une même hauteur perpendiculaire ont aussi leurs superficies égales.

On prouve en géométrie que la superficie du triangle abe, est égale à celle du triangle abc, parce que la base ab est commune aux deux polygones et que la hauteur bc est la même pour les deux figures.

Toute figure ou polygone dont les côtés sont formés de lignes droites, peut se décomposer en triangles; en mesurant et calculant la superficie de ces triangles , on peut donc se rendre compte de la superficie entière du polygone.

Nous avons sous les yeux (fig. 15) une figure de six côtés , ab, bc, cd, de, ef, et fa. Nous divisons cette figure en 4 triangles, 1, 2, 3, 4. Du sommet de chacun de ces 4 triangles, nous tirons les lignes ponctuées by, cs,uf, te, hauteurs de ces triangles. Multipliez la hauteur by du triangle n° 1 par sa base ac, prenez la moitié du produit qui sera la superficie du triangle n° 1 ou du triangle abc. Faites en autant pour les trois autres triangles , additionnez ensuite les résultats de vos calculs et le total sera la superficie de la figure abedef.

Il y a encore une autre manière de calculer la surface d’un

ET PRELIMINAIRES

triangle. C’est de multiplier sa base par la moitié de sa hauteur (fi y. 16). Si sa base ab a, par exemple, 6ra 30 et sa hauteur de 5m 36, multipliez 630 par 268 (moitié de S™ 36). C’est comme si vous vous rendiez compte de la superficie d’un rectangle de 6,n 30 de longueur sur 5m 36 de hauteur, dont la superficie sera de 33"1 7680, et que vous prissiez ensuite la moitié de ce dernier produit, qui est égale à 16,n 8840; or 630 multipliés par 268 produisent aussi 16m 8810.

Quand il s’agit de mesurer la superficie d’un polygone régulier, il suffit d’additionner les longueurs des côtés, de multiplier la somme par la longueur de la perpendiculaire tirée du centre sur un des côtés et d’en diviser le produit par 2 ; on aura la superficie du polygone.

Supposons ( fig . 17 ) un hexagone ou figure à six côtés égaux, dont chaque côté aurait 3 mètres; les six faces nous représenteront 18 mètres. La perpendiculaire oy aurait 2m 60 ; 18 multipliés par 2m60 produisent 46ro80, dont la moitié est 23 m 40.

L'aire ou la superficie du cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon, par la raison qu’on peut regarder le cercle comme formé d’un nombre infini de triangles. Qu’on se figure le cercle équivalant à un triangle dont la hauteur serait le demi-diamètre ou rayon du cercle et dont la base serait aussi longue que la circonlérence du môme cercle.

Si l’on pouvait réellement construire un tel triangle , on pourrait aussi réellement mesurer géométriquement le cercle, et il ne s’agirait que de trouver une ligne droite égale à la circonférence. Mais on n’a pu trouver jusqu’à présent le rapport exact de la circonférence au rayon ou au diamètre ; on n’a pu déterminer ce rapport que d’une manière approximative, et cette manière suffit pour les calculs nécessaires dans la construction

Si l’on suppose un diamètre de cercle de un mètre de longueur, la circonférence de ce cercle sera de 3 mètres } à 3 mètres ou le vrai rapport sera entre 7 à 22 et 71 à 223.

Fig. 17.

CONNAISSANCES AUXILIAIRES

Fig. 18.

car 3 \ sont égaux à 22, et 4r sont égaux à Mais le premier rapport donne trop de longueur à la circonférence et le second lui en donne trop peu.

Il est donc d’usage de se servir du rapport de 7 à 22, parce que ces nombres sont facilement retenus dans la mémoire. Le rapport le plus exact est à la vérité I à 3 , ou plus exact en-

core! à 3^^^, et c’est ce dernier qui est adopté pour tous les calculs mathématiques.

Ce nombre 3 est égal à 3,141392 frac-

tion décimale. Si le diamètre est supposé avoir un mètre de longueur, la circonférence (!) aura 3 mètres !4 centimètres de développement.

Si par conséquent il est donné le diamètre d’un cercle , la circonférence désignée , par exemple, par c sera c = cf (le diamètre) X * (multiplié par la circonférence) parce que d : c :: i : ir, ou encore parce que le diamètre se rapporte à la circonférence comme ! àir. C’est pour celte raison qu’un produit du diamètre multiplié par le nombre n donne la circonférence. Par exemple si le diamètre a 5 mètres de longueur, la circonférence c sera égale à 5 multipliés par 3"1 !4!5... ou i5m 7073, ou !3 mètres 70 centimètres 75 dix-millièmes.

Et réciproquement, selon une proportion semblable, on peut trouver par une circonférence donnée son diamètre. On aura le rapport suivant, d:c :: 1 : ir, c’est-à-dire le diamètre [d) est à la circonférence (c) comme ! est à tc, d’où il suit qu’on aura d = La circonférence divisée par le nombre it donne donc le diamètre.

Si la circonférence était égale à 2! , le diamètre serait égal à 2! divisés par 3,141, c’est-à-dire 6,68..., et ainsi de suite, si l’on veut employer un plus grand nombre de décimales.

Nous venons de voir que la circonférence du cercle est un produit tiré du diamètre multiplié par le nombre -k; ce produit estd multiplié par it. Si maintenant on se représente la circonlé-

(1) Les 3,141592..., ou la circonférence, sont exprimés dans les mathématiques par la lettre grecque it.

ET PRÉLIMINAIRES

rence du cercle comme base d’un triangle rectangle , dont la hauteur verticale est le rayon ou le demi-diamètre du cercle , ce demi-diamètre serait égal à J d, et alors la superficie de ce triangle serait la meme que celle du cercle, c’est-à-dire le produit du rayon multiplié par la circonférence et divisé par 2.

Supposons un diamètre (de cercle) de 6 mètres de longueur. La superficie du cercle serait de 9 multipliés par 3,141 ou 28™, 269, et cela parce que le diamètre de 6 mètres étant donné, on prend le rayon, c’est-à-dire la moitié du diamètre (3), qu’on multiplie par 3 pour refaire le carré du rayon (9) qu’on multiplie encore avec 3,141, ce qui donne 28"’,269.

Pour mesurer le cube des corps, il faut un cube ou solide , pris pour unité de mesure. Si les lignes se mesurent par des lignes, des surfaces au moyen de surfaces, il faut pour mesurer les corps une mesure formée comme eux.

Pour mesurer les corps , on se sert du corps le plus simple qui est le cube, solide formé par six carrés égaux, comme nous l’avons déjà dit. Le cube est semblable aux dés avec lesquels on joue. Le cube est en tous pays l’unité fondamentale, la mesure normale pour mesurer les solides , soit maçonnerie, soit charpente, etc. Et c’est même de cette unité renfermant les trois dimensions de l’étendue , longueur, largeur, hauteur, qu’est venu le verbe cuber, c’est-à-dire mesurer et réduire à un cube donné, ou adopté, un autre solide quelconque.

L’espace creux ou vide d’un parallélipipède, d’un cube (à six faces), peut être rempli ,• comblé par de plus petits cubes, lorsqu’on dispose ces cubes les uns à côté des autres, les uns au-dessus des autres, c’est-à-dire en rangées horizontales et en piles verticales. Les petits cubes combleront parfaitement le vide du grand corps si leur volume est une partie exacte de ce dernier. Admettons, par exemple, que les côtés du grand cube aientun mètre delargeur, sa base contiendra 10,000 centimètres (la profondeur del mètre, ou 100 centim., multipliée par la longueur de 1 mètre ou 100 centim.). Or si chacun des petits cubes a pour base 1 centimètre carré, il est clair que pour couvrir la base du grand cube, il en faudra 10,000 des petits. Ces petits cubes forment un lit ou uhe assise dans le grand cube , de la

CONNAISSANCE^ AUXILIAIRES

hauteur exacte de \ centimètre, et il est bien clair qu’il faut 100 lits, ou assises semblables, posés les uns au-dessus des autres pour remplir entièrement le vide du grand cube. Dans ce “but il faut 100 fois 10, (XK) petits cubes pour combler ou occuper entièrement l’espace vide du grand cube.

Le grand cube dont chaque face contient exactement 10,000 centimètres carrés ou superficiels est nommé , à cause de cette contenance, un mètre cube; le petit cube au moyen duquel on a mesuré le plus grand est nommé centimètre cube : car les côtés de ces petits cubes ont exactement 1 centimètre carré.

Il y a donc dans un mètre cube 1,000,000 de centimètres cubes.

Il s’en suit encore que le cube d’un dé, ou corps à six faces égales, est le produit de sa base et de sa hauteur (base 100 multipliés par 100 multipliés par 100, ce qui fait 1, (XK), 000!, ou, en expression mathématique, 100 X 100 X 100 = 1,000,000.

On peut donc mesurer le cube d’un corps ou solide parallélipipédique en multipliant la longueur par la largeur et le résultat par la hauteur. Si un corps a 20 mètres de longueur,

18 mètres de largeur et 16 mètres d’élévation, il aura 57601" cubes; 20 X 18 X 16 = 5760; ou le carré de sa base multiplié par sa hauteur.

C’est par la même règle qu’on trouve le volume cubique d’un prisme, d’un cylindre, etc. ; on calcule le carré ou superficie de la base qu’on multiplie ensuite par la hauteur.

Mais il n’en est point de môme de la mesure cubique du cône et de la pyramide.

On peut, au moyen d’un tracé graphique, diviser un prisme triangulaire en trois pyramides , équivalentes entre elles en volume cubique, mais qui réunies équivalent au cube du • prisme entier. Donc toute pyramide triangulaire est le tiers du prisme triangulaire de même base et de même hauteur.

De là on déduit la règle suivante pour le calcul du cube d’une pyramide : multipliez Ha base par la hauteur et divisez en le produit par 3. Cette règle s’applique à toutes les pyramides. Soit donnée une pyramide rectangulaire dont la base a 12 mètres carrés ou superficiels et de 6 mètres de hauteur; pour sa-

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ET PRÉLIMINAIRES

voir son cube il faut multiplier 12 par6 et diviser leproduit par 3. — 12 fois 6 font 72 et 72 divisés par 3 font 24 ; cette pyramide aura donc 24 mètres cubes. On peut dire aussi que toute pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur. Le tiers de 12 est quatre, multipliés par six, produit également 24.

La solidité d’un cône est égale au produit de sa base par le tiers de sa hauteur. Supposons que le cercle qui forme la base du cône ait 10 mètres de diamètre. Pour trouver la superlicic de ce cercle, il faut multiplier le quart du diamètre ou moitié du rayon (le quart est 2"’ 50, la moitié du rayon est également 2™ 50) par la circonférence (31,41), ce qui produit 78‘",525 carrés. Supposons que le cône ait six mètres de hauteur ; le tiers de 6 est 2. Or 78,525 multipliés par 2 font 157,05 mètres cubes (ou 157 mètres 5 centimètres cubes).

Mais on peut encore procéder d’une autre manière. Multipliez la superficie de la base (78,525) par 6, ce qui fera 471,15, et divisez par 3, cela fera également 137n,03.

On peut tronquer par une section horizontale un cône ou une pyramide quelconques, ce qui donne naissance aux cônes et aux pyramides tronqués , comme on les nomme. On se rend compte du cube du cône tronqué et de la pyramide tronquée , en calculant d’abord ces deux corps comme s’ils n’étaient point tronqués, et l’on en déduit ensuite la partie qu’on en supprime. Si B est labase d’un cône 19), et «la face de section, si a est la hauteur de la partie à tronquer et /» enfin la

hauteur de la pyramide entière , on aura ^ ^ ^

moins — — = (B X h — s X a) soit J du cube

de la partie tronquée restante.

Prenons le cône de 157 mètres 5 centimètres, cité plus haut; 10 mètres sont le diamètre de labase B. La hauteur h est de 6 mètres, 3"* 33 (1/3 de 10) est le diamètre de la face de section s , et 2 mètres enfin la hauteur a.

On aura pour la superficie de la base, comme nous l’avons vu plus haut 78,525, qu’il faut multiplier par un tiers de 6 (la hauteur), soit2, ce qui fait 157,05 pour le cône entier. — Mais comme

22 CONNAISSANCES AUXILIAIRES

de ce nombre total il faut soustraire la partie tronquée et pour cela, faisant la même opération, déduire la face de la section s (d’un diamètre 3°’333 multipliés par 3,1413), soit 10,4706195, lesquels multipliés encore par le quart du diamètre (1/4 de3'n333) soit 8333 produisent 8,72516722933, nombre qu’il faut encore mu tiplier pour avoir le cube par un tiers de sa hauteur, qui est de 2 mètres soit 0,666, ce qui produit enfin 5,81.

Donc si de 157,05 nous retranchons 5,81 nous trouverons pour le cône tronqué 151, 24.

On procède de la môme manière pour connaître le cube d’une pyramide tronquée.

Mais cette opération, pour arriver à la connaissance du cube d’une pyramide ou d’un cône tronqués , n’est pas toujours praticable dans la réalité ; elle rencontre souvent de grands obstacles , puisqu’il faut se figurer dans le vide les sommets de la pyramide et du cône. On ne peut donc que mesurer exactement le corps tronqué , représenter ce corps avec ses mesures sur le papier, prolonger les lignes qui manquent et qui donneront la hauteur de la partie tronquée , et alors seulement on peut procéder à l’opération de calculs indiquée précédemment. On peut toutefois calculer le cube du cône ou de la pyramide tronqués sans connaître la grandeur de la portion retranchée ni celle du corps ou solide entier.

La forme de la pyramide et du cône tronqués est plus fréquente dans l’usage pratique qu’on ne le pense. Elle s’applique à desmesuresde liquides, àdes matières en poudre, etc., dont le diamètre de l’orifice est moindre que le diamètre de la base. Mais si la base de ces mesures forme un ovale, le calcul de leur contenance n’est plus du ressort de la géométrie élémentaire. Des tas circulaires de sable, de terre, de cailloux, des tas de grains, de graines, etc., rentrent dans la forme des pyramides et des cônes tronqués. Four calculer le cube des premiers , la superficie sur une hauteur donnée des derniers pour l’établissement de granges, magasins, etc., il faut absolument savoir se rendre compte du cube de ces corps , soit tronqués ou non.

Nous allons indiquer enfin une troisième manière vulgaire de mesurer le cube d’un cône tronqué sans entrer dans les

ET PRÉLIMINAIRES

complications précédentes de calcul. Prenez la base du cône tronqué, et multipliez sa superficie par sa hauteur. Si la base a 10 mètres de diamètre, sa superficie aura 78m5250. Multipliez ce nombre par la hauteur du cône tronqué, soit 4; ce qui fera 314,100, qu’il faudra diviser par 2, ce qui produira 157m05. Maintenant il s’agit d’en déduire le petit cône. Admettons que sa face de section ou sa base ait 3“33 de diamètre, elle aurait alors 8"'725 de superficie; multipliez ce nombre par 4, hauteur du grand cône tronqué ce qui fera 34m900, qu’il faudra diviser par 2, ce qui produira 17”45. Divisez encore ce nombre par 3, et vous aurez 5ro81, cube du petit cône qu’il faudra soustraire du cube du grand cône : 157m05 — 5m81 = 151n,24.

Il y a encore une autre manière de mesurer un cône tronqué.

Prenez le tiers de la circonférence du cercle de la base ( un tiers de 31,4159), multipliez ce tiers (10,4719) par la hauteur du tronc de cône (4m), soit 4,18876.

Ensuite calculez le carré du petit rayon PD. Ce rayon a 1,666, qui est la moitié de 3,333. Le nombre 1,666 multiplié par 1,666 produit 2,775556. Ajoutez à ce carré du petit rayon 2,775556, le carré du grand rayonqui sera 25; car notre grand diamètre est 10, la moitié de 10 est 5 et le carré de 5 est 25. 2,775556 et 25 font 27,775556. A cette dernière somme, il faut ajouter le produit du grand et du petit rayon, soit 5 à 3,33, ce qui fait 8,33. 27,775556 et 8,33 font 36,105556.

Ces 36,105556 doivent être multipliés par la somme trouvée plus haut, soit 4,18876. Ce qui produit 151tn23.

Voici la formule de cette méthode de calcul :

Le tiers de la circonférence du cercle de la base multiplié par la hauteur : dont le produit sera multiplié par le carré du grand rayon , ajouté au carré du petit rayon ajouté à la longueur linéaire de 1° du grand rayon, 2° du petit rayon ; ou 1/3 de la périphérie du grand cercle , multiplié par la hauteur OP, dont le produit sera multiplié

Par le produit du carré du grand rayon OA ajouté au carré du petit rayon PD plus la longueur linéaire OA, PD , ou enfin | tï X OP X (OA2 FD1 + AO X DP) ou PuJ-4-OAa +

AOxDPxOPXjn.

CONNAISSANCES AUXILIAIRES