II. — LES JEUX DE RUBANS
I. Le nœud de cravate. — Avec la cravate, un ruban ou une bandelette de papier à bords parallèles, on fait un nœud simple et serré, sans froisser l'étoffe ou le papier, ainsi que nous l'avons représenté dans \^fig. 45. Le trapèze ABCD est au premier plan et présente l'endroit de l'étoffe, le triangle AED et la partie BG YX
Note IV.
sont au second plan et présentent encore l'endroit; entin la partie ombrée dans la figure présente Tenvers.
La figure géométrique ABGDE est un pentagone dont tous les côtés sont égaux entre eux, ainsi que les angles. En d'autres
Fig. 45.
termes, c'est un pentagone régulier construit sans se servir de la moyenne et extrême raison d'Euclide. On suppose, bien entendu, que le ruban n'a pas d'épaisseur.
Cet ingénieux procédé de construction du pentagone régulier se trouve indiqué sans démonstration dans un Ouvrage d'Urbano d'Aviso, publié à Rome, en 1682, et qui a pour titre : Trattato DELLA Sfera e Pratiche per uso di essa. Col luodo di fare la figura céleste, opéra cavata dalli manoscritti del P. Bonaventura Gavalieri. On sait d'ailleurs que c'est à Cavalieri que l'on doit l'importante méthode des indivisibles.
Note 1 V.
2. Le nœud marin. — Le même Ouvrage contient encore le procédé qui permet de construire l'hexagone régulier et conduit au nœud que nous appelons le nœud plat ou marin, que les Italiens appellent nodo a gruppo piano, et les Anglais, loop knot. Il faut pour cela prendre deux rubans ou deux bandelettes de papier, à bords parallèles et d'égale largeur.
3. Les hélices paradromes. — Cette théorie a été traitée pour la première fois par Listing dans l'Ouvrage intitulé : Vorstudien n^iir Topo logie, publié àGôttingen,en 1848. Les résultats fort simples obtenus par Fauteur ont été l'unique fondement d'un laborieux Mémoire qui s'est beaucoup vendu à Vienne, il y a quelques années; ce Mémoire avait pour objet de montrer comment on peut exécuter, sans employer le procédé trompeur de l'escamoteur ou du spirite, le célèbre tour de physique amusante qui consiste à faire un nœud avec une corde sans fin.
Prenons un long ruban étroit ou une bandelette de papier; si l'on colle les deux extrémités réunies, sans torsion, on forme une sorte de rouleau, comme un rond de serviette; la surface de ce rouleau a deux faces, l'une intérieure, l'autre extérieure; le rouleau a deux bords ou deux arêtes qui correspondent aux deux bords du ruban. Si Ton coupe avec une paire de ciseaux la bandelette de papier, par une fente longitudinale à égale distance des bords, il est évident que l'on obtiendra deux autres rouleaux pareils au premier, mais de hauteur moitié moindre.
Au lieu de réunir sans torsion les deux extrémités, faisons tourner Tune des extrémités du ruban d'un demi-tour en lui appliquant une demi-torsion; recourbons-le et collons ensemble ses extrémités; nous formons ainsi une surface singulière; cette
Note IV.
surface n'a plus qu'une seule face et une seule arête, de telle sorte que nous pouvons tracer sur le papier, d'un point quelconque de Tancien recto à un point quelconque de l'ancien verso, un trait continu qui ne rencontre pas l'unique arête formée par les bords de la bande primitive (^).
Par suite, lorsque la bande est fendue longitudinalement par le milieu, au moyen d'une paire de ciseaux, on n'obtient pas deux bandes distinctes, mais une seule, et cette bande se trouve affectée de deux demi-torsions, tandis que la bande primitive était affectée d'une seule.
D'une manière plus générale, si l'on a fait n demi-torsions avant de réunir les extrémités du ruban, il y a deux cas à considérer :
Lorsque n est un nombre pair, la surface a encore deux faces et deux liserés formant chacun un circuit fermé; si l'on coupe le ruban dans sa longueur, il se trouve divisé en deux autres possédant chacun n demi-torsions, comme le ruban primitif; mais les deux demi-rubans ne peuvent être séparés Tun de l'autre et se
trouvent noués - n fois.
Lorsque le nombre n des demi-torsions est impair, la surface ne présente qu'une seule face et qu'un seul liseré; si l'on coupe le ruban dans sa longueur, le ruban reste unique avec 2n demitorsions et, pour w > I, il est noué.
Au lieu de faire une seule coupe longitudinale du ruban, on peut en faire deux, trois, . . ., et l'on obtient d'autres résultats.
(') L'étude de la surface à une seule face que l'on obtient en supposant que la largeur de la bande augmente inde'finiment est excessivement intéressante et instructive; mais ici nous devons la laisser de côté.
Note 1 V.
