MODIFICATION DE J.^NISCH

Jasnisch a observé que Ton peut diviser l'écliiquier {fig'. S4.) en deux parties : l'une formée d'un carré quelconque de quatre cases contiguës a, b, c, d, et l'autre formée des cases restantes. On prendra pour origine l'une des cases du petit carré et l'on tracera quatre circuits partiels sur les cases de même dénomination ; on soudera ces circuits par le procédé Bertrand. Cependant le petit carré ne peut être accolé à un des coins de l'échiquier, car les quatre courses partielles ne peuvent plus être toutes rentrantes.

Dans la méthode de GoUini et de Jœnisch, comme dans celles de Vandermonde, on divise l'échiquier en quatre parties telles que chacune d'elles puisse être parcourue circulairement par un cavalier; mais si le système de Vandermonde est beaucoup plus étendu et plus propre à fournir des circuits sym^étriques, le procédé de CoUini est si facile dans son exécution, qu'un amateur pourrait trouver sans peine, les yeux fermés, des circuits ou des routes d'extrémités données. C'est à cela, peut-être, que se réduit le fameux secret des brahmes de Bénarès dont M. Solvyns déclarait être également en possession, et en vertu duquel il s'engageait à improviser quinze solutions à l'heure (^).

(') Sylvons, Application de V Analyse au saut du cavalier du jeu des échecs. Bruxelles, i856. (Sylvons est l'anagramme de Solvyns.)

'J^kiiT'

Note IV,

METHODES DE VANDERMONDE.

La première méthode se fait au moyen du guide représenté dans lajîg. 56.

Règle I. — ■ Partir d'un coin de l'échiquier, parcourir seize

Fig. 56.

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cases portant des numéros différents et parvenir au coin opposé

En opérant ainsi pour les quatre coins, on obtient quatre marches symétriques de seize cases et, par la superposition, on trouve une double chaîne fermée possédant la symétrie tournante.

Paul de Hijo a donné (^) la liste complète des doubles chaînes

(') Paul de Hijo, Le problème du cavalier des échecs, d'après les méthodes qui donnent la symétrie par rapport au centre, Ouvrage contenant plus de quatre cent treize mille parcours du cavalier (Metz, 1882).

Note IV.

que l'on peut obtenir par ce procédé. Il y a 1 5o de ces figures et leurs symétriques, en nombre égal.

Fig. 57

Règle IL — Partir d'un coin de l'échiquier, parcourir seize cases portant des numéros différents et revenir au point de départ.

En opérant ainsi pour les quatre coins, on trouve, par la superposition, une quadruple chaîne fermée possédant la symétrie tournante.

Paul de Hijo (pseudonyme d'un savant mathématicien) a donné la liste de ces quadruples chaînes. Il y en a 140 et leurs symétriques en nombre égal.

Les doubles chaînes et les quadruples chaînes peuvent encore être réunies parle procédé des soudures.

La deuxième méthode de Vandermonde se fait au moyen du guide représenté dans la fig. 58.

Règle I. — Partir d'un coin de Téchiquier, parcourir seize cases portant des numéros différents et parvenir au coin opposé.

Note IV.

En opérant ainsi pour les quatre coins, on obtient une double chaîne symétrique par rapport aux deux médianes et par rapport au centre de Téchiquier, Paul de Hijo (pseudonyme d'un charmant abbé de nos amis) a donné la liste complète des doubles

Fis. 58.

lif

chaînes à double symétrie médiane ; il en a trouvé 378 différentes. Il faut ensuite multiplier ce nombre par quatre, pour les avoir toutes, avec leurs symétriques.

Règle IL — Partir d'un coin de l'échiquier, parcourir seize cases portant des numéros différents et revenir au point de départ

En opérant ainsi pour les quatre coins, on obtient quatre figures symétriques et la superposition donne une quadruple chame symétrique par rapport aux deux médianes.

Paul de Hijo a donné la liste complète des quadruples chaînes à double symétrie médiane; il en a trouvé 3oi, nombre qu'il faut multiplier par quatre pour les avoir toutes avec leurs symétriques.

Note IV.

Nous engageons nos aimables lectrices à s'exercer, en suivant pas à pas les quatre règles donne'es par les deux méthodes de Vandermonde; l'exécution en est facile et le résultat donne toujours un joli dessin, dont le motif central contient des carrés, des

roues à rochet, des tourniquets, des croix grecques, des dents de scie, des croix de Saint-André, des losanges, des étoiles, des vis, des casse-noisettes, des sabliers, etc.

On peut alors, avec Taiguille ou le crochet, reproduire les dessins sur le canevas et obtenir des tapisseries très originales.

PROCEDE DE WARNSDORF

C. de Warnsdorf a proposé une règle pour résoudre le problème

(*) C. DE Warnsdorf, Des Rôsselsprunges einfachste iind allgemeinste Lôsung (Berlin, 1823 ).

Éd. Lucas. — Arithmétique amusante.

24 2 Note IV.

du cavalier avec une rigueur scientifique, sans aucun tâtonnement, sans faux pas. Voici son énoncé :

1^ A chaque coup, on joue le cavalier sur la case conjuguée qui communique par le plus petit nombre d'issues avec la partie encore inoccupée de l'échiquier;

2° Si, à un coup quelconque, il se présente plusieurs cases qui offrent le même nombre minimum d'issues, on est libre de jouer le cavalier sur l'une quelconque d'entre elles.

Ainsi, lorsque le cavalier aura le choix entre plusieurs cases de transport qui offriront un égal minimum d'issues ultérieures, nous prendrons l'une d'elles, au hasard, qui conduit à une solution différente ; celle-ci à son tour peut donner naissance, dans la suite, à d'autres variantes, et quelquefois à des impossibilités. D'ailleurs, le nombre total des solutions qu'on obtient ainsi est assez limité, en appliquant rigoureusement la règle, en sorte qu'on peut se proposer de l'épuiser pour un point de départ donné. De plus, il est assez pénible de compter à chaque coup le nombre des issues qu'il ouvrira au cavalier, selon le choix que l'on fera de la case de transport. En effet, les stations numérotées antérieurement font subir une diminution irrégulière et variable du nombre des cases conjuguées sur l'échiquier vide, de telle sorte que la difficulté augmente encore dans la seconde moitié de la route.

Mais nous devons ajouter que ces inconvénients sont largement compensés par une particularité inhérente à la règle de Warnsdorf et qui ne peut que surprendre au premier abord. C'est que les infractions involontaires à la règle ne font presque jamais manquer le trajet. La même chose peut se dire des infractions volontaires au précepte dont l'auteur a donné beaucoup d'exemples en le réduisant ainsi à un procédé de tâtonnement pratique. On peut

Note IV.

même, systématiquement, tracer des courses du cavalier jusqu'au delà du quarantième saut, dans un ordre tout à fait contraire au pre'cepte de Warnsdorf, et appliquer ensuite celui-ci, avec succès, à Fachèvement de la route, malgré l'état presque désespéré de son commencement. Cela tient au nombre immense des courses et des circuits possibles.

Il faut encore reconnaître que le procédé en question ne s'applique pas aux circuits symétriques. On a essayé, tout en dirigeant le cavalier d'après la règle du minimum des issues, de numéroter en même temps, d'après la méthode d'Euler, les cases diamétralement opposées, et de considérer ces cases comme occupées. Mais ces essais de Jœnisch n'ont alors réussi qu'imparfaitement, de telle sorte que Vencélidès, qui, plus que nul autre, s'est occupé du sujet, conseille de ne suivre la règle pour les circuits symétriques que jusqu'au vingtième saut, en terminant la figure par des tâtonnements. En revanche, il est assez facile d'obtenir par ce procédé des circuits non symétriques.

Dans un second Mémoire (^), Warnsdorf déclare sa règle applicable aux courses sur tous les échiquiers rectangulaires d'un nombre p)air de cases, mais tels que chacun des côtés en renferme au moins six; il complète sa méthode en l'appliquant aux courses dont les extrémités sont désignées à l'avance sur des cases de couleurs différentes. On inscrit d'abord les n°' i et 64 sur les cases données que l'on considère comme occupées, et Ton applique la règle ordinaire. Puis, si le cavalier a le choix entre différentes stations offrant un égal minimum d'issues, et qu'une ou plusieurs de ces stations communiquent avec la case 64, on ne devra jamais

(') Sdiachieitung, i858, p. 492 (Berlin).

la porter à celles qui sont dans ce cas, à moins qu'il n'y en ait pas d'autre. Lorsqu'il ne reste plus qu'une seule case en communication avec 64, on y inscrit aussitôt le nombre 63, et l'on applique le procédé qui précède aux cases i et 63. Enfin, tout ce qui a été fait pour les cases 64, 63, s'applique successivement aux cases qu'on devra marquer 62, 61, au fur et à mesure que la course approchera de sa fin.

Jxmisch a encore montré que la règle de Warnsdorf résout complètement le problème du cavalier pour le rectangle de 3 sur 4 cases et pour l'échiquier de 25 cases en prenant pour case initiale l'un des coins ou la case du centre. En outre, il a donné des exemples qui prouvent que la seconde partie de la règle est parfois en défaut.

En résumé, le procédé ne conduit qu'aux solutions les moins élégantes du problème, son appUcation rigoureuse est pénible, et les nombreuses infractions que l'on peut commettre, bien que constituant une ressource empirique très précieuse, ne reposent sur aucun principe certain. Mais il faut dire qu'à défaut d'une démonstration mathématique, le nombre prodigieux d'essais faits jusqu'à ce jour ne permet guère de douter de l'exactitude de la première partie de la règle.