MÉTHODE DE M. FLYE SAINTE-MARIE

M. Flye Sainte-Marie, répétiteur à l'École Polytechnique, a donné, danslQ Bulletin de la Société mathématique (t. V, p. 144),

Note IV.

un ingénieux procédé pour déterminer le nombre total des courses du cavalier sur les trente-deux cases de la moitié de l'échiquier ordinaire et, plus généralement, sur les cases d'un échiquier de quatre cases de largeur et de longueur quelconque.

La Jîg-. 60 représente la moitié de l'échiquier ordinaire; les trente-deux cases sont divisées en deux groupes de seize cases. Le

Fi^. Go.

premier groupe est composé des cases numérotées avec des chiffres sans accent, et le second des cases ombrées et garnies de chiffres accentués. Nous appellerons cases extérieures toutes les cases des rangées supérieure et inférieure, et cases intérieures toutes les autres; nous observerons, de plus, que les cases extérieures du premier groupe, désignées par des nombres impairs, sont de même couleur, sur l'échiquier, et que les cases extérieures de l'autre groupe sont de la couleur opposée. De plus, les cases intérieures, désignées par des nombres pairs, sont de même couleur, contraire à celle des cases extérieures du même groupe.

Gela pose, nous allons démontrer la proposition suivante qui s'applique à l'échiquier rectangulaire de quatre cases de hauteur, et de longueur quelconque.

Théoricme. — La course sur l'échiquier de quatre rangées se compose nécessairement d'une course sur toutes les cases de

246 Note 1 V.

Vun des groupes, suivie d'une course sur toutes les cases de l'autre groupe (^).

En effet, en prenant, pour plus de simplicité, Téchiquier représenté dans la.Jig. 60, la course complète du cavalier sur toutes les cases du rectangle forme un contour polygonal ouvert de 3 i côtés et de 32 sommets; à 3o de ces sommets aboutissent deux côtés, et à chacune des extrémités, qui appartiennent aux cases de départ et d'arrivée, ne correspond qu'un seul côté. De plus, on observera qu'une case extérieure quelconque n'a pour conjuguées que des cases intérieures de son groupe; par suite, le contour polygonal contient au moins un côté joignant les centres de deux cases intérieures de groupes différents, puisque toutes les cases doivent être parcourues. Mais, d'autre part, parmi les seize casss extérieures, il y en a au moins quatorze dont les centres sont chacun les intersections dedeux côtés tous différents. En ajoutant le trait qui joint deux cases intérieures, cela fait déjà 29 traits; par conséquent, les deux autres traits qui doivent compléter le nombre de 3i aboutissent chacun à une seule case extérieure. Il n'y a donc, en définitive, qu'un seul trait joignant des cases intérieures, c'est-à-dire un seul passage d'un groupe à l'autre.

Il résulte encore de cette proposition les propriétés suivantes, connues d'Euler, mais dont la démonstration avait échappé à sa sagacité :

(*) L'énonce de ce théorème était connu depuis longtemps, car nous trouvons le passage suivant dans le Traité des applications de l'Analyse mathématique au jeu des échecs, par le major C.-K. de Joenisch, publié à Saint-Pétersbourg, en 1862 (t. II, p. 46): « La démonstration rigoureuse de ce théorème ou fait d'observation z;2Con^^5M6/^ manque jusqu'à ce jour, et l'on peut dire que celui qui l'aurait trouvée aurait découvert, en même temps, la solution du problème des courses bi-parlies ».

Note IV. 24

Les extrémités d'une course sur l'échiquier de quatre rangées appartiennent à deux cases extérieures de Vun et de l'autre groupe.

La course sur l'échiquier de quatre rangées de largeur, et de longueur quelconque, n est jamais rentrante et ne peut donner de circuit.