LES COURSES SUR LE DEMI-ÉCHIQUIER

Pour parcourir toutes les cases du demi-échiquier, il faut parcourir successivement les cases d'un groupe, puis celles de l'autre, en les réunissant par l'un des traits d'union

ou leurs symétriques par rapport à la médiane horizontale, ainsi que cela résulte de la théorie de Flye Sainte-Marie.

Le nombre des courses complètes et distinctes sur le demiéchiquier, par le trait d'union 2-6', est évidemment le produit des courses d'un groupe qui se terminent par ,2 et commencent par 6', ce qui donne :

Pour le trait d'union 2-6' 118x32 — 3776

Total 777-

Note IV.

ibi

Pour des raisons de symétrie faciles à comprendre, il est inutile de considérer les autres traits d'union : en résumé, nous avons démontré le théorème suivant dû à Flye Sainte-Marie :

Le nombre des manières distinctes de faire parcourir au cavalier la moitié de l'échiquier est 7772.

Circuits complets bi-partis.

Le problème d'Euler, non résolu jusqu'à présent, consiste à déterminer le nombre total des courses rentrantes, symétriques par rapport au centre, ou non symétriques, sur l'échiquier de 64 cases. L'ingénieuse méthode que nous venons d'exposer permet de déterminer le nombre des circuits bi-partis, formés de deux courses indépendantes l'une de l'autre sur chaque demi-échiquier, mais raccordées entre elles, en tête et en queue, ainsi que nous l'avons fait pour deux chaînes symétriques, donnant la course de Gianutio [Récréations mathématiques, t. IV, p. 21 3, Jig. 154).

Dans sa Géométrie de l'échiquier^ Laquière a donné la solution complète du problème; m.ais nous n'indiquerons que les résultats.

Le nombre des circuits bi-partis, ou par demi-échiquier, sur l'échiquier de 64 cases est i 940884.

Si Ton considérait comme distincts les circuits symétriques entre eux, deux à deux, il faudrait multiplier ce nombre par 4. Enfin, si l'on tenait compte des courses en sens inverse, ainsi que de la double manière de diviser l'échiquier en deux rectangles égaux, il faudrait encore multiplier par 4, ce qui fait

3i millions 54 mille 144 circuits bi-partis.

2 52 js'ote IV.

Mais si l'on n'assemble que les demi-chaînes symétriques par rapport au centre, on trouve qu'il y a

3872 circuits bi-partis symétriques.