SYMÉTRIES IMPOSSIBLES

Le contour polygonal, figurant la course ouverte du cavalier, ne peut présenter, dans le cas de l'échiquier ordinaire et, en général, dans celui d'un échiquier carré ou rectangulaire contenant des cases en nombre pair, aucun caractère de svmétrie. En d'autres termes, le contour ne peut se composer de deux parties superposables, en repliant la course dessinée sur une feuille de papier, soit autour de l'une des médianes, soit autour de Tune des diagonales de l'échiquier. En effet, si l'on groupe deux par deux les côtés d'une chaîne ouverte, l'un d'eux reste isolé, puisque leur nombre est impair; donc ce côté devrait se composer de deux moitiés superposables dans le repliage. Ainsi l'un des côtés serait perpendiculaire à une médiane ou à une diagonale, ce qui est reconnu impossible d'après l'examen des traits joignant deux cases conjuguées.

De même, la chaîne ouverte ne peut être symétrique par rapport au centre de l'échiquier contenant un nombre pair de cases, puisque ce centre ne peut coïncider avec le milieu d'un côté. Mais la chaîne ouverte peut être symétrique par rapport au centre d'un échiquier dont le nombre des cases est impair.

Par le procédé d'Euler, nous avons vu que le circuit, ou la

Note IV. 253

chaîne fermée, peut être symétrique par rapport au centre; mais il est démontré qu'une cliaîne fermée ne peut être symétrique, soit par rapport à une médiane, soit par rapport à une diagonale de l'échiquier carré de grandeur quelconque, contenant un nombre pair de cases.

Nous laissons ici, pour l'instant, nos études sur le cavalier; mais nous nous promettons d'y revenir, car nous n'avons qu'effleuré le sujet (^).