LES CADRES
La méthode de Gollini peut être étendue à des échiquiers de grandeur quelconque, si Ton observe que l'on peut tracer sur les cases d'un double cadre (deux cases de largeur) entourant un carré, deux circuits partiels si le carré intérieur est impair, et quatre si le carré intérieur est pair.
Le cas le plus simple est celui où le cadre entoure une case unique, comme dans le carré de 25 cases [fig. 62). En modifiant légèrement cette figure, on obtient facilement les deux courses, sur 25 cases représentées dans les carrés intérieurs des Jîg. 63 et 64. Dans la première, facile à retenir puisque le cavalier tourn e continuellement dans le même sens, on part d'un coin pour aboutir au centre; dans la seconde, symétrique par rapport au
(^) La mort n'a pas permis à Lucas de donner suite à ce projet. Nous avons reproduit soit ici, soit dans le tome IV des Récréations mathématiques, tout ce qu'il a rédigé sur cette question. Nous avons pu combler les lacunes que présentaient ses notes, au moyen de la brochure accompagnant son jeu appelé la Fasioiilette.
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centre, on part d'un coin pour aboutir au coin opposé. L'intérieur de la fig. 65 donne une course d'un coin à un coin adjacent.
D'autre part, ces mêmes ligures nous font voir comment on peut tracer des courses complètes sur tous les échiquiers carrés dont le
Fi- 63
côté contient [^n -h 5) cases, en partant d'un coin pour aboutir à un autre quelconque, ou au centre; les gros traits indiquent les lignes de soudure.
Note IV,
Dans le cadre (Jîg. 63), tourner toujours dans le même sens,
Fig. 64.
en se rapprochant le plus possible du bord extérieur; dans le
Fig. 65.
cadre [fig. 64), tourner toujours dans le même sens en évitant le
2^6 Note IV.
coin opposé, dans la première partie du parcours, et continuer à tourner dans le même sens en sortant du carré central; dans le cadre {f^. 65), éviter le coin adjacent.
Fig. 6(3.
La fi^. 66 donne un circuit symétrique sur l'échiquier de
F) s. fn.
36 cases; en le modifiant légèrement, on obtient une course d'un
Note IV. 257
coin à un coin adjacent, ainsi qu'on le voit dans le carré intérieur de X^Jîg. 67. Cette dernière figure est bordée d'un cadre que l'on peut allonger de quatre cases dans le sens de la longueur. Par suite, on peut appliquer cette méthode aux échiquiers dont le côté est 4^ -h 6, pour obtenir des courses d'un coin à un coin adjacent.
On peut également obtenir ainsi des courses d'un coin à un coin adjacent sur les échiquiers de 4^2 h 8 cases de côté.
D'après le procédé que nous avons décrit, pour aller d'un coin au centre ou à un autre coin, sur les échiquiers de 4^ -h 5 cases de côté, on unit entre elles les deux chaînes de bordure avant de parcourir d'un trait continu le carré central.
Ce procédé n'est pas applicable aux échiquiers de 4« i- 7 cases de côté, car il est impossible d'unir, en aucun point, une des chaînes de bordure à l'autre. Il faut alors employer le procédé de Delannoy, qui consiste à parcourir l'échiquier, d'un coin à l'avant-dernière case de la diagonale qui passe par ce coin ; méthode qui s'applique également aux échiquiers de 4/2 H 5 cases de côté.
Cette méthode a été exposée comme il suit par Delannoy, dans une Note qui fait suite à l'Ouvrage du général Frolov sur les carrés magiques ( ^ ) :
Méthode pour trouuer une marche de cavalier sur un échiquier de grandeur quelconque, quand on sait exécuter cette marche sur les échiquiers de 5^ 6, y et S cases de côté.
(') Frolov. Les carrés magiques. Nouvelle étude suivie de Notes par MM. Delannoy et Edouard Lucas. Grand in-8, avec 7 planches; i886 (Paris, Gauthier- Villars).
Ed. Lucas. — Arithmétique amusante, 17
Note IV.
