LE VOL DES GRUES

Les grues voyagent disposées régulièrement en triangles; comment déterminer le nombre de ces oiseaux lorsque l'on connaît le nombre des files?

Fig. 24.

Pour fixer les idées, supposons qu'il y ait six files de grues

représentées par des pions noirs [fig. 24) ; cela revient encore à

trouver la somme des six premiers nombres. Représentons par

des pions blancs mis à la droite les nombres dans l'ordre inverse.

FZd. Lucas. — Arithmétique amusaute. H

1 14 Chapitre troisième.

On voit tout de suite que chaque ligne horizontale contient six unités plus une, et puisqu'il y a six lignes, le nombre des unités du tableau est six fois sept; donc le nombre cherché est trois fois sept ou 21. Donc, ainsi que nous l'avons déjà démontré avec les cartes, pour obtenir la somme de tous les nombres, à partir de Tunité jusqu'à un nombre donné, il suffit de prendre la moitié du produit de la multiplication de ce nombre par le suivant.

Ce mode de raisonnement a son analogue dans les éléments de Géométrie, lorsqu'on démontre que l'aire ou la superficie d'un triangle est la moitié de celle du parallélogramme de même base et de même hauteur. Et d'ailleurs, si l'on y réfléchit attentivement, le théorème arithmétique et le théorème géométrique n'en font qu'un. C'est qu'en effet les vérités de l'ordre mathématique sont beaucoup moins nombreuses qu'on le croit généralement; et souvent deux vérités qui paraissent disiinctes dès l'abord sont les mêmes, et ne diffèrent, pour ainsi dire, que par le vêtement qui les couvre.

On appelle nombres triangulaires les nombres que nous venons d'apprendre à calculer, et qui représentent toutes collections d'objets disposés régulièrement en triangles; c'est, par exemple, le nombre des projectiles contenus dans la tranche horizontale d'une pile triangulaire de boulets ou dans la tranche verticale d'une pile prismatique d'obus. La théorie de ces nombres a pris naissance, sur les bords du Nil, à une époque reculée ; elle a été développée par Diophante, le père de l'Arithmétique, à l'école d'Alexandrie. Comme nous venons de le faire remarquer, il est probable que la connaissance de ces nombres provient de l'observation du vol des oiseaux, et notamment du passage des grues et des cigognes, des flamants et des ibis, qui volent épar-

Les progressions arithmétiques. 1 1 5

pillés en triangles. Quoi qu'il en soit de l'origine de ce calcul, je me suis laissé dire que c'est à l'observation des mœurs de ces oiseaux au long bec que les prêtres égyptiens doivent la connaissance de ce précieux et ridicule instrument médicinal, de forme cylindrique, dont on trouve la description et le mode de fonctionnement dans les comédies de Molière.

On appelle progression arithmétique une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent augmenté d'un nombre constant que l'on appelle la raison de la progression; ainsi les nombres impairs i, 3, 5, 7, 9, ..., forment, à partir de l'un quelconque d'entre eux, une progression arithmétique de raison 2.

On démontre comme précédemment que la somme des termes d'une progression est la moitié du produit de la multiplication du nombre des termes par la somme des termes extrêmes. De même, on démontre en Géométrie que l'aire du trapèze est la moitié de celle du parallélogramme de même hauteur et dont la base est égale à la somme des deux bases du trapèze.

Si l'on observe encore que la différence de deux termes quelconques de la progression est égale au produit de la raison par la différence des nombres qui expriment les rangs qu'ils occupent, on saura tout le fondement de la théorie des progressions arithmétiques.

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