Chapitre troisième

Troisième voyage. — Une dame revient, reste avec son mari, et les trois autres rois traversent la rivière.

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Qiiatrième voyage. — Un roi revient avec sa femme et emmène l'autre roi.

Cinquième voyage. — Enfin, le dernier des rois (ou une dame ou deux dames] revient chercher la dernière dame.

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Les progressions arithmétiques. i33

Tartaglia, illustre mathématicien italien, naquit à Brescia vers i5io, et mourut en iSSy. Dans son Traité d'Arithmétique, il s'est proposé de résoudre le problème des quatre ménages avec un bateau ne pouvant contenir plus de deux personnes; mais il s'est trompé. Bachet, qui le fait remarquer, a reconnu que la chose est impossible, mais sans donner de démonstration.

Voici comment on peut démontrer l'impossibilité de la traversée de quatre ménages, lorsqu'on ne peut faire passer plus de deux personnes à la fois. On observera d'abord que d'un passage au suivant le nombre des personnes passées, s'il augmente, ne peut augmenter que d'une unité. Par conséquent, supposons qu'on ait fait passer deux, puis trois, puis quatre personnes avec les conditions imposées, et voyons si l'on pourra faire passer cinq personnes. Ces cinq personnes peuvent être passées de l'une des quatre façons suivantes :

4 femmes. 3 femmes. 2 femmes. i femme. I homme. 2 hommes. 3 hommes. 4 hommes.

Mais les deux premiers cas sont impossibles, d'après l'énoncé, puisque sur la seconde rive les femmes seraient en majorité, et, par suite, il y aurait quelque femme qui se trouverait avec un homme sans son mari; de même, le troisième cas est impossible, puisque sur la première rive les femmes seraient encore en majorité sur les hommes présents.

I '^4 Chapitre troisième.

Quant au dernier cas, s'il peut avoir lieu, c'est que le dernier passage a amené deux hommes, ou un homme et une femme. Or, il n'a pu amener deux hommes, car alors il y aurait eu sur la première rive deux hommes et trois femmes, ce qui est impossible comme dans le second cas; il n'a pu amener non plus un homme et une femme, car il y aurait eu sur la première rive un homme et quatre femmes, ce qui est impossible comme dans le premier cas.

Donc, on ne peut faire passer cinq personnes par suite des exigences de l'énoncé du problème.

Nous avons résolu précédemment le problème de la traversée des quatre maris jaloux avec leurs femmes, en supposant que le bateau puisse contenir trois personnes; on peut encore le résoudre d'une autre manière, ainsi que nous allons le montrer. Il suffit de supposer que, dans la traversée du fleuve, on peut s'arrêter dans une île; dans ce cas, en conservant toutes les autres conditions du premier problème, on peut effectuer la traversée, avec un bateau contenant deux personnes au plus, d'un nombre quelconque de ménages. Mais nous ne donnerons la solution que pour quatre ménages, en laissant au lecteur le soin de le faire pour cinq, six ménages et plus.

Les progressions arithmétiques.

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