Chapitre quatrième

Supposons que l'on ait placé, au commencement de l'ère chrétienne, un centime à intérêts composés au taux de 5 pour loo par an, et que Ton demande à évaluer la somme produite par la capitalisation des intérêts à Tépoque actuelle, en 1889. Il faut calculer le 1888^ terme d'une progression géométrique commençant à o^'',oi, et ayant pour raison i,o5; c'est un nombre dont la partie entière a trente-huit chiffres. Pour nous faire une idée de cette somme véritablement prodigieuse, nous ne pourrions même pas la comparer à la totalité des métaux renfermés dans le sein de la Terre. Mais prenons pour unité la somme représentée par une sphère d'or pur, dont le volume serait égal à celui de la Terre. Eh bien, si l'on suppose qu'une telle sphère tombe de minute en minute depuis le commencement de l'ère chrétienne, il faut encore attendre trois siècles pour que la somme représentée par toutes ces immenses boules d'or, au nombre de plus d'un milliard, soit égale à la valeur actuelle de notre centime capitalisé!

L ARENAIRE D ARCHIMKDE.

C'est à Archimède que l'on doit la théorie des progressions arithmétiques et géométriques. Dans son immortel Ouvrage, intitulé VArénaire, il entrevoit la numération décimale écrite; voici ce qu'il écrivait au roi de Syracuse, près de trois siècles avant l'ère chrétienne :

« Beaucoup de personnes pensent, ô roi Gélon, que le nombre des grains de sable est infini; non pas seulement de celui qu'on trouve aux environs de Syracuse, et sur toute la Sicile, mais de

Les progressions géométriques. i53

celai qui est répandu sur toutes les parties delà Terre habitées et non habitées. D'autres, bien qu'elles ne regardent pas ce nombre comme infini, pensent qu'il n'existe pas de grandeur, qu'on ne peut dire le nom d'une grandeur surpassant la multiplicité de ces grains. Par là, il est évident que les personnes de cette opinion, si elles imaginaient un tas de sable capable de remplir et de niveler toutes les profondeurs de la mer, toutes les cavités de la Terre jusqu'aux sommets des plus hautes montagnes, soutiendraient encore bien qu'il est impossible d'assigner un nombre supérieur aux grains d'un tel tas. Mais moi, je vais essayer de faire voir le contraire par des démonstrations irrécusables, au moyen desquelles tu pourras reconnaître que quelques-uns des nombres que j'ai dénommés dans mes livres adressés à Zeuxippe ( ^ ), surpassent non seulement le nombre des grains de sable qui puissent remplir toute la Terre, mais encore la masse de sable égale en volume atout l'Univers. »

Pour Archimède, ce dernier mot désigne la sphère des planètes ou du système solaire. D'après des observations qui portent l'empreinte de son génie, Archimède conclut que le diamètre de l'Univers est moindre que lo millions de stades, ou, en mesures métriques, 180000 myriamètres; ce qui représente assez approximativement la distance du Soleil à Saturne. D'autre part, l'expérience lui apprend qu'un grain de pavot a un diamètre plus petit que ~ de doigt, ou, en mesures actuelles, y^ de millimètre, et que le volume de ce même grain de pavot équivaut à celui de 10 000 grains de sable. Il a donc tous les éléments de la solution.

Archimède démontre ensuite que les volumes de deux sphères

(') Ces livres sont malheureusement perdus.

i54 Chapitre quatrième.

sont dans le rapport des cubes de leurs diamètres; il obtient ainsi les rapports des volumes de la sphère solaire et du pavot; en multipliant ce nombre par loooo, il a donc une limite supérieure du nombre des grains de sable qui rempliraient tout Tespace planétaire. Voici comment Archimède a cherché à exprimer ce nombre immense. Les Grecs, comme tous les peuples anciens, se servaient de la numération décimale parlée et employaient les cinq mots : unité, dizaine, centaine, mille et myriade. Puis les unités suivantes des divers ordres se disaient ainsi : dix myriades, cent myriades, mille myriades, myriade de myriades, et ainsi de suite, en répétant sans cesse les mêmes mots. Mais ils n'avaient pas d'autres mots pour compter, n'ayant pas eu à considérer ces nombres immenses; ils ont ignoré les milliards T

Donc, Archimède considère la progression décimale, mais sans employer le zéro et les exposants, et forme un Tableau que nous représentons avec les notations actuelles par

I , lO ,10-, 10^ I0'% 10% 10% 10' ,

io« , 10^ , lo'** , io^%

io^% lo^", -. . . , io'\

lO

Il appelle octade l'ensemble de huit termes consécutifs et trouve, tous calculs faits, que le nombre des grains de sable qui rempliraient tout le monde solaire est moindre que le dernier terme delà huitième octade, lo^', c'est-à-dire que Tunité suivie de soixante-trois zéros. « Je sais bien, ô roi Gélon, — dit-il en terminant, — que ces résultats paraîtront incroyables au vulgaire.

Les progressions géométriques.

à tous ceux qui sont inexpérimentés dans les sciences matliématiques; mais cela paraîtra suffisamment croyable, vu les preuves, à ceux qui s'y sont essayés et qui ont fait des recherches sur les distances des corps célestes, sur la grandeur de la Terre, du Soleil, de la Lune et de TUnivers entier; c'est pour cela que j'ai jugé convenable de consacrer à cet objet quelques méditations. »