INGENIOSITE D UN CLERC DE NOTAIRE

En 1872, un auteur ingénieux, qui avait gardé l'anonyme, a publié une brochure de seize pages in-8°, intitulée: Théorie du Baguenodier, par un clerc de notaire lyonnais. Cet opuscule débute ainsi : « Lyon attire sur lui l'attention publique par son Exposition; chacun des enfants de cette grande cité doit produire tout ce qui peut plaire aux visiteurs. Ce motif décide un modeste clerc de notaire à publier ses études sur le baguenodier; le sujet est frivole, mais la théorie est neuve; de plus, elle a été imaginée à Lyon. Cet opuscule aura atteint son but s'il montre que le baguenodier est un jeu instructif. » L'auteur se livre d'abord à une discussion étymologique de laquelle il paraît résulter que l'on doit écrire le nom de l'instrument avec un 0, puisque ce nom vient probablement de nœud (nodus) de bagues. Il donne ensuite une nouvelle théorie excessivement ingénieuse qui montre que la manœuvre de l'instrument revient à la loi de formation des nombres entiers dans le système delà numération binaire. Cette divination, merveilleuse comme celle de Leibniz pour le Je-Kim, nous autorise à penser

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que le Baguenaudier est un boulier chinois dérivé du Je-Kim.

L'auteur de l'opuscule, M. Louis Gros, conseiller à la Cour d'appel de Lyon, expose une notation aussi simple qu'élégante des diverses configurations du baguenaudier, qui permet de fixer à chaque instant l'ordre du déplacement des anneaux. Tous les anneaux sont représentés, dans l'ordre de gauche à droite, par l'un des caractères o et i, avec les conventions suivantes: Le premier anneau levé, à partir de la gauche, est désigné par i, et les anneaux levés, situés à droite, sont alternativement représentés par o et I, sans tenir compte, dans cette alternance, des anneaux baissés; quant aux anneaux baissés, ils sont indiqués, à leurs places respectives, par le signe du premier anneau levé à leur gauche, et par o lorsqu'il ne s'en trouve aucun.

Ainsi, par exemple,

I I o I ooo représente la position

dans laquelle les anneaux i, 2, 6 sont baissés, et les anneaux 2, 3, 4, 7 sont levés.

Du déplacement d'un anneau.

Supposons que Ton tienne horizontalement, et de la main gauche, la navette du baguenaudier complètement monté, il est facile de constater que le premier anneau peut être baissé; pour cela, on le prend de la main droite, on tire la navette à gauche, et l'on passe l'anneau dans l'intérieur de la navette; de cette façon, le premier anneau se trouve baissé; on le remonte par

Les progressions géométriques. 176

l'opération inverse. Lorsque le premier anneau est baissé, on ne peut déplacer le second, et Ton ne peut baisser que le troisième ; on le remonte par l'opération inverse; mais si le premier et le troisième anneau sont baissés, on ne peut en baisser aucun autre.

Dans le cas général, il résulte de la construction même du baguenaudier que le déplacement d'un seul anneau est soumis aux principes suivants :

i'' Dans une position quelconque des anneaux du baguenaudier, on peut toujours baisser le premier anneau s'il est levé, ou le lever s'il est baissé ;

2° Pour qu'un anneau de rang quelconque puisse être déplacé, c'est-à-dire levé ou baissé, il faut et il suffit qu'il se trouve placé immédiatement k la gauche d'un anneau monté, et que celui-ci soit le seul anneau monté à la droite de l'anneau considéré.

Dans le cas où l'on ne déplace qu'un seul anneau à la fois^ la marche du jeu est appelée marche ordinaire.

Du déplacement de deux anneaux.

Il y a exception, dans le déplacement des anneaux, pour la marche des deux premiers anneaux, qui peuvent être montés ou descendus, pris simultanément; mais il n'existe aucun groupe de deux autres anneaux ou de plus de deux anneaux que l'on puisse faire marcher en même temps. Lorsque l'on emploie cette manoeuvre simultanée des deux premiers anneaux, la marche du jeu est plus rapide; nous l'appellerons marche accélérée. On peut monter ou baisser simultanément les deux premiers anneaux dans une position quelconque des autres anneaux de l'appareil;

176 Chapitre quatrième.

mais on verra facilement que si l'on doit les monter tous deux en même temps, on descend ensuite le premier.

Marche ordinaire.

La notation de M. Gros représente un nombre écrit dans le système de numération binaire.

Considérons une position quelconque du baguenaudier

dans cette position, on peut passer à deux autres : la première, en élevant le premier anneau à la droite; ce qui donne

la seconde, en baissant le quatrième anneau, ce qui donne

Dans le premier déplacement, on a augmenté d'une unité la notation correspondante du système binaire; dans le second, bn a diminué cette notation d'une unité. Il en est de même pour toute disposition des anneaux. Par conséquent,- la marche ordinaire du baguenaudier correspond exactement à la formation successive de tous les nombres écrits dans la numération binaire; on monte le baguenaudier, en formant les nombres successivement à partir de zéro; on démonte le baguenaudier, en suivant l'ordre décroissant des nombres entiers. D'ailleurs, on observera que pour monter le baguenaudier, il suffit de déplacer, en com-

Les progressions géométriques . 177

mençant par la droite, le premier anneau représenté par o; pour le démonter, au contraire, il faut déplacer le premier anneau à droite représenté par le chiffre i .

Pour résoudre le problème général dû baguenaudier, qui consiste à trouver le nombre minimum des déplacements à opérer pour passer d'une disposition donnée à une autre également donnée, on écrit les deux dispositions dans le système binaire, on prend la différence ; puis on transforme ce nombre dans le système décimal ; on obtient ainsi le nombre minimum de déplacements pour passer de l'une à l'autre position.

' Nombre des coups de navette.

Il est facile, d'après cela, de déterminer le nombre des coups dans la marche complète du baguenaudier de sept anneaux. Lorsque tous les anneaux sont montés, on a pour notation

10 10 I o I, ou, dans le système décimal,

Donc, il faut 85 déplacements pour monter ou démonter le baguenaudier de sept anneaux, dans la marche ordinaire. De même, pour le baguenaudier de dix anneaux, il faut 682 coups de navette, puisque l'on a

En général, si l'on désigne par P,i le nombre des déplacements nécessaires pour monter ou démonter le baguenaudier de n Éd. Lucas. — Arithmétique amusante. 12

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anneaux, on a, pour n pair et égal à 2 A-,

et pour n impair égal à 2/t + i ,

On peut réunir ces deux formules en une seule, en disant que P„ est toujours égal au plus grand nombre entier contenu dans le tiers de 2"-^^

Durée de la manœuvre.

On fait sans peine 64 changements par minute; en se hâtant beaucoup, on peut arriver à 80. Mais admettons 64 comme nombre moyen,

5 anneaux tous élevés exigent 21 changements, soit 20'

rj » )) » 85 » I"'20^

II » )> » i365 » 21'" 20*^

De même, 64 anneaux exigeraient

12 297 829 382 473 034 410 changements ;

par conséquent, même en y travaillant sans discontinuer, il faudrait plus de trois milliards et demi de siècles pour démonter le baguenaudier de 64 anneaux.

Les progressions géométriques.

Marche accélérée.

La marche accélérée est soumise aux règles suivantes :

1° Lorsque l'on monte le premier anneau, on doit monter en même temps le second ;

2° Lorsque l'on a monté les deux premiers anneaux, on doit ensuite baisser le premier.

Huit coups consécutifs de la marche ordinaire, de i à 8, de 9 à 16; . . . , correspondent à six dans la marche accélérée.

Si Ton désigne par Q„ le nombre des déplacements dans le montage ou dans le démontage accéléré^ on trouve, suivant que n est impair et égal à 2A: 4- i, ou pair et égal à 2k,

Q2/.-K==22/'- et Q,,,3:r 2^^-1—1.

Même en employant la marche accélérée, il faudrait donc plus de deux milliards et demi de siècles pour monter ou démonter le baguenaudier de 64 anneaux.

LA TOUR D HANOI.

Un de nos amis, le professeur N. Claus (de Siam), mandarin du collège Li-Sou-Stian, a publié en 1884 un jeu inédit et breveté, qu'il a appelé la Tour d'Hanoï, véritable casse-tête annamite qu'il n'a pas rapporté du Tonkin, quoi qu'en dise le prospectus.