SE
De la Proportion Flarmonique.:. :
On dit qu'il y a proportion harmonique entre trois 25. 50. nonbres, lorsque le premier est au troisteme, comme : : h différence du premier au second, est à la diffé. rence du second au troisieme ;.6, 4, 3, par exemple, sont en proportton harmonique, car 6:83 :: 6—4= 2:4289=T, | She RTS.
ommenct Lorsqu'on à trois nombres en proportion harmon nombre nique décroissante, telle que la précédente, il est tre divisé nisé de trouvér un quatrieme proportionnel: pouf Je précée ch il n'y à qu'à chercher un'troisiëme harmonique je : aux deux derniers : ce troisieme harmonique sera le Ce quatrieme proportionnel. * Le troisieme êt le -quaque terme tieme serviront de même à trouver le chiquietne: : auginene ct en continuant dinsi, On f0rihera Une progression
harmonique gi sera. composée L’autant. de termes que l'on voudra. - SERA ;
Du Complément Aritimétique.
On appelle Complément Arithmétique d'un nombre la différence entre ce nombre et l'unité suivie d'au. tant de O,qu'il y.a de chiffres dans ce nombre, fi l'on ôte, par exemple, le nombre 357, de 1000, je reste 643, sera le complément arithmétique de ce nombre. Àu moyen du Complément Arithmétique, la Soustraction peut.se changer en Addition. Lu example, si l'on avaità ajouter ensemble les nom. bres 352 et 523, -et à retrancher de leur somme les deux nombres 201 et 32, on pourrait s'ÿ prendre de la.manieré suivantes =. : à:
FAREGRE. >
Ecrivez les deux premiers norabrés, et. . 623 les complémens arithmétiques des deux 3652, derniers, les uns. audessous des-autres, et 799 ajoutez les ensemble ; gt retranchez une 68 unité des centaines, et une des mille du -—— résultat ; le reste donngra le nombre cher-. 1742 ché. : +. ——
«En effet, 5234352875; 2014+32—233, 642
Si les nombres qu'on soustrait avaient autant de
chiffres que le plus grand dont on:soustrait, il fau-
drait ôter du premier chiffre à gauche de la somme, autant.d'unités qu'on aurait ajouté de complémens arithmétiques, et.pour celà il suffirait de mettre à la gauche des nombres qu'on veut soustraire, autant de .0 qu’il en faudrait. Ainsi, au lieu de prendre le complément de:32, on prendrait celui de 032 qui
est 968,: et l'on retrancherait 2 du. premier chiffre 4 gauche de la sonime. M
| Des Séries.
On appelle Série une suite. de nombres : .i, croi:
gent ou décroisserit selon une certaine loi: telles sont
PR
les prog suites ä
Constan Naturel Triangu Piramid | Triangi La lo rés est des tern | par exe suite, es seconde suite, e 6, 10, 1 Lesr par la 8 sion arit
gulaires
que la © | ou 4, à
‘Les
des q nomb gressi( mêirnel
rosré SE
ù nombre je d’auibre, Si 1000; le 1e Pres ce dmetique, on, Fe les nom-
DmmeE les rendre de
autant de
ait, il fau-!
la somme, ymplémens nettre à la autant de
prendre le:
le. 032 qui er chiffre à
4 crois:
telles sont
suites
Constants, ou du 1er ordre,
les de etes arithmétiques et géométriques, et les es nombres qu’on appelle Figurés.
R Nombres Figuré:.
Triangulaires, ou du 3e ordre, 1, #, ‘6, 10, 15, &c.
Piramidaux, où du'‘4e ordre, 1, 4, 10, 20, 35, &c. Trianguli-piramidauxs: &e. - 1,5; 15, 95, 70, &c. La loi de chaeune de ses su'tes des nombres figurés est que chatun de leurs termes soit ‘a somme des termes correspondants de la précédente ; aïnsi,
- par exemple;. le troisieme terre-6, de: la troisieme suite, est la somme des tioig premiers, 1, 2, 8, de la.
seconde ; le cinquieme: ternie: 35, de la quatrieme suite, est le somme des cinq premiers termes, 1,3, 6, 10, 15, de la troisieme, &c. HER | Les nombres qu’on appelle Polysones; sont formés: la somme des termes consécütifs d’une progression arithmétique ; et ces nombres se nomment Trian-
| gulaires, Quarrés, Pentagones, Exagones, &c. selon
que la différence dela progression est 1 ou 2, ou 3,
oué, &c. -
Progressions Arithmitiques. Différences.
HI 2,80 4, 880. "1 LS BST 9, &c.
ls 4,7: 30.13, &e.
mu B: 9. 194 17, Gé +. Nombres Polygones. fATa | ; 6; 10, 15, &c. triangulaires. r, 9, 16, 25, &c. quarrés. ::
12, 22, 35, &c. pentagones.
1, 6, 15, 28, 45, &c. exagone:.
"Les séries des puissances des nombres sont celles
des quarrés, des’ cübes, &c. de la progression des nombres naturels, 1, 2, 3, 4, &c.: On appelle progression harmonique Ja suite des quotiens d'un même nombré divisé par les termes consécutifs d'une progression arithmétique ; telles sont les séries,
RE 1 ° CE ET A e 3,e + Vrra tre &C. : CE. SRE QU D &c.
| Revenons maintenant aux Provriét és des Nombres.
THÉORÊÈME E.
Si l'on eonaâît la somme et la différence, de deux nombres quelconques, on pourra toujours Connaitre ces deux nombres ; enr.le plus. grand est égal à la moitré de la somme plus. la moitié de la différence, et le plus petit, à la moitié de la somme moins la moi. bé de la différence. :
| EXEMPLE
Le pere et.le fils ont ensemble 100 ans, et le pere a 59 ans de plus que le fils —quel est l’âge de cha. cun d'eux ?
100 30 100 30 D = 30 HEESs = me mit Ou] 5535, 9 RE 9
THÉORÊME IL.
La différence entre les quarrés de deux nombres.
imatédiatement consécutifs est égale ü la somme de ces deux nombres.
EXEMPLE
‘Soit 144 quarré de 12, et 169 quarré de 13; or, 160—144=25— 15412.
PT EN IE” sir on-divise l’unité-en deux parties dau le quarré de la premiere joint à la seconde, sera égal. au quirré de Ja seconde joint à la premiere, EXEMPLE.
Que l'or partage len 3+5, on aura Ç ÉTERTS En effet, {+5==5, ; et RAENTA |
THÉORÊME IV. :
Si l' on divise successivement ‘un même nombre par les termes consécutifs d’une progression arithmétique croissante, les quotiens seront cn proportion harmonique.
théorèn
SiT' ques pe les fée somme
Soie divisée
Part quotien nombre
Divis bré lui posé pe
