DES PROBABILITES APPLIQUEES A UX JE UX DE HAZA ED

On joue à jeu égal lorsque les mises qu'on dépose sont en raison directe de la probabilité qu'il y a de gagner l'argent mis au jeu ; ou, ce qui revient au même, jouer à jeu égal, c'est déposer une mise tellement proportionnée à la probabilité qu'on a de gagner, qu'après un grand nombre de coups ou do parties, on se trouve à peu près au pair. Si, par exemple, A parie contre B, et qu'il y ait deux chances pour A, et une seule pour B, le jeu ne sera égal qu'autant que A, mettra 2, quand B, mettra 1 ; car le premier pourra gagner 2, tandis que le dernier ne pourra gagner que 1,

PROBLÈME I

Dans le jeu de croix-ou-pile, quelle j)rohahiUtc y n-t-il d'amener plusieurs fois de suite croix o.- jÀusieursfois de suite pile ? ou bieriy e7i jouant avec 'plusieurs pièces, quelle 'probabilité y a-t-il quelles se troU' seront toutes croix ou toutes pile ?

Comme il n'y a aucune raison pour que croix arrive plutôt que pile, ou pile plutôt que cj'oix, il est évident que la probabilité que l'un des deux arrivera est égale à |, ou qu'il y a également à parier, pour ou contre.

Mais quelle probabilité y a-t-il qu'en deux coups, ou en un seul coup avec deux pièces, on amené toujours croixj ou toujouxs pile ? Il faut faire attention que' les combinaisons de croix et pile qui peuvent avoir lieu, dans deux jets consécutifs de la même pièce, ou dans un jet de deux pièces, sont, croixcroix, pile-pile, croix-pile, pile-croix, dont une seule donne croix-croix, ou pile-pile. 11 y a donc 3 à parier contre 1, qu'on n'amènera pas deux fois de suite Q

174 PROBABILITE'Sc

croix^ ou deux fois ÛlQ smiQ pile :,4a probabilité sera donc exprimée par \,

Si l'on pariait d'amener trois fois de suite croix y ou trois fois de suite 'pile^ la probabilité de réussir ne serait que de f : ainsi pour jouer au pair, il ne faudrait parier que 1 contre 7. Si au contraire, on pariait d'amener au moins une fois croix^ en deux coups avec deux pièces, la probabilité de réusisir serait de 3 contre 1 , et s'exprimerait par f .

Lorsqu'on cohnait la probabilité de plusieurs évènemens isolés, la probabilité qu'ils arriveront tous se trouve en multipliant les unes par les autres les probabilités de ces évèncraeiis considérés comme isolés. Ainsi, la probabilité d'amener croix étant exprimée par ^, celle de l'amener deux fois de suite s'exprimera par Jx h=\ ; celle de l'amener trois fois djg suite, par l x^X^=|-, &c«

PROBLEME If.

TJn ndvibve de dés étant donné, déterminer quelle probabilité il y a d* amener un point assigné.

Que l'on propose d'amener un point déterminé, 6 par exemple, en un seul coup, avec un dé, il est évident que ce dé ayant six faces dont une seule est marquée 6, la probabilité de l'amener n'est que ^, tandis que celle de ne pas l'amener est ^. Ainsi, il y a 5 à parier contre î ^ qu'on ne l'amènera pas. Si l'on se proposait -d'amener 6 en un seul coup avec deux dés, il faudrait observer que deux dés donnent g îx6=36 combinaisons différentes, chacune des faces de l'un des dés pouvant se combiner avec chacune de celles de l'autre : il faudrait voir ensuite de combien de manières 6 peut être amené avec deux dés : or on trouve qu'il peut l'être de cinq manières, savoir : par 3 et 3, 2 et 4-, 4 et 2, 1 et 5, et ô et 1. Ainsi, sur 36 chances, il y en a 5 de favorables, et 31 de contraires. La probabilité d'amener 6 avec deux dés est donc j% et celle de ne pas l'amener, ^|.

PROBABILITE'S. 175

Lorsqu'on coiinait de combien de manières on peut **xaener un point avec un certain nombre de dés, pour trouver quelle proby.biiité il y a de l'amener, il n'y a qu'a former une fraction dont le numérateur soit le nombre des manières dont on peut l'amener» et le dénominateur le nombre 6 élevé à la puissance désignée par le ntHiibre des dés. •

PROBLEME III

Quelle prohahilité y-a-t'il d'amener une face déter- .)iiné$y 6 par exemple^ oi un certain nombi'e de coups»

Supposons qu'on entreprenne d'amener 6 en deux coups avec un même dé, ou ce qui est la même cliose, en un seul coup avec deux dés : il est aisé de Mùir que sur S6 combinaisons différentes, il y en a 11 jTdulement de favorables, et 25 qui ne le sont pas : car on peut avoir 6 avec le premier dé, et 1, 2, 3, 4 ou 5, avec le second ; ou 6 avec le second dé, et 1, 2y 3, 4< ou 5y avec le premier, ou 6 avec chaque dé.

Si l'on entreprenait d'amener 6 avec un dé en trois coups, ou en un seul coup avec trois dés, on aurait 91 chinches favorables, et 125 contraires.

On doit observer que 36, nombre des chances possibles en deux coups de dé, est le quarré de 6,. nombre des faces d'un dé, et que 25, nombre des ch mces défavorables, est le quarré de o~^6 — 1 ; et que 1 1 nombre des chances favorables, est la différence entre les quarrés de 6 et de 5. Pareillement, 91 est la différence entre 216 cube de 6, et 125, cube de 5. De la on peut conclure que pour trouver la probabilité d'amener une face déterminée en un certain nombre de coups, ou un point déterminé en un seul coup avec plusieurs dés, il faut élever 6 à la puissance ds:?ignée par le nombre des coups, ou par le nombre dos dés ; élever ensuite 5 à la même puissance, et ôter cette dernière puissance de la première : le restant désignera le nombre des hazards favorables. Si par exemple, on voulait connaître quelle probabilité il y a d'amener 3 en quatre

176 PROBABILITE''S,

coups, on élèverait 6 et 5 à Ja 4e puissance, pour soustraire 625 de 1296 : la différence 671 désignerait le nombre des hazards favcrables.

PROBLEME IV

En combien de coups peut-oti parier avec égalité, qu'on amènera un doublet déterminé, sonnet, par exemple, avec deux dés ?

La probabilité de ne point amener 12, en un seul coup avec deux dés, ou en deux coups avec un seul dé, étant j^, la probabilité de ne point amener 12, en deux coups, avec deux dés, sera le quarré de ^f-; la probabilité de ne point amener 12 en trois coups avec deux dés, sera le cube de ^ J. Or comme la puissance d'un nombre audessus de l'unité va en augmentant, de même celle d'un nombre audessous de l'unité va en diminuant: ainsi, les puissances consécutives de 56, iront toujours en diminuairt. On trouve que la 24e puissance de ||, est un peu plus grande que i, et que la 25e puissance de jl est un peu plus petite que -^.

On pourra donc parier avec égalité, et même avec avantage, qu'en 25 coups, on amènera sonnet ou-

PROBLÊME V

Un Charlatan avait six dés qiii n étaient marqués chacun que sur une face, le premier étant marqué \, le second 2, <^c. On lui donnait une certaine somme, et il offrait de la remettre au centuple, sienjettant ces six dés, on amenait une Jois seulement en 50 coups, les six faces marquées — La proposition était-elle avantageuse, ou non?

Sur les 4^6656 combinaisons des faces des six dés en question, il n'y en a qu'une qui donne les six faces,marquées en dessus ; ainsi, la probabilité de les amener du premier coup, s'exprimerait par f^^.g , et celle de les amener en 50 coups, par ^^^ecette fraction multipliée par 100, donne cette autre

PROBABILITE'S. 177

'4i?Mj» fl^^ est un peu moindre que J. Ainsi, pour que la partie eût été égale, il auraitfailu que le charlatan eût promis de remettre à peu près 900 fois la somme qu'oii lui donnait.

PROBLiiME VI.

lUn combien de coups peut'On parier avec tgalité au avec six dés marqués sur toutes leurs Jacca, on amenei'a 1, 2, 3, 4, 5, 6f

En multipliant 1, 2, S, 4, 5, 6, les uns par les autres, on trouve pour produit *J20 : c'est-à-dire que sur les 46656 combinaisons de toutes les faces, de six dés, ii y en a 720 qui donnent 1, 2, 3, 4, 5, 6 : divisant donc 46656 par 720, on a pour quotient 644. C'està-dire qu'on ne peut puritr avec égalité d'amener 1» 2, 3, 4, 5, 6, qu'en G4 ou 65 coups, .