IV. LE TRACÉ GÉOMÉTRIQUE DES POLYGONES

Le tracé de cette ornementation relève de la géométrie : il n’a rien de commun à l’art. Les mathématiciens arabes l’avaient formulé en une foule de problèmes tels que ceux-ci : « Tracer autour d’un cercle six pentagones égaux » ; ou cet autre : « Assembler autour d’un cercle six carrés et six hexagones réguliers. » Plusieurs fois étudiés, ces traités ont été analysés par Wroicke, qui, après lui, n’a laissé à ses compilateurs qu’à résumer son travail ou à le paraphraser.

Au point de vue de la philosophie des formes, certains côtés son !: à noter de cette géométrie. Tout d’abord une figure polygonale peut être régulière, symétrique, ou irrégulière, et, partant, l’impression qu’elle produira sera fort différente selon que l’un ou l’autre de ces polygones entrera en jeu. En outre, parmi les polygones réguliers ou symétriques, les uns ont un nombre de côtés pair, les autres un nombre de côtés impair, ce- qui contribuera à donner à l’image un aspect tranché ; enfin, les diagonales de ces figures en détermineront par leur intersection le centre; elles en seront en certains cas les axes de similitude, et cette symétrie sera directe ou inverse, selon que les figures déterminées par leur intersection seront ou non superposables; d’oü deux effets différents qui concourront à l’effet général.

D’autre part, tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle et, partant, la subdivision de sa surface par des lignes rayonnant du centre est commune

au cercle circonscrit. Par conséquent, les assemblages des polygones les plus complexes en apparence se ramènent à ces deux problèmes fort simples : diviser la circonférence en un nombre de parties données, et construire un polygone régulier, le côté étant connu.

Voilà pour les éléments mis en œuvre ; le premier essai de composition est fourni par les polygones dérivés étoilés. Ceux-ci s’obtiennent de trois manières.

i° Lorsque, dans un polygone régulier, on mène toutes les diagonales, celles-ci déterminent, en s’entrecoupant, un ou plusieurs polygones étoilés.

2° Lorsqu’on prolonge les côtés d’un polygone, l’intersection des lignes ainsi menées détermine les polygones étoilés correspondants.

3° Les polygones étoilés sont enfin déterminés par l’intersection de polygones réguliers égaux.

Un double corollaire découle de ce théorème.

i° Du sommet d’un polygone, on peut mener autant de diagonales que ce polygone a de côtés moins trois; donc, chaque polygone détermine autant de polygones étoilés qu’il a de paires de diagonales menées d’un sommet.

2° Lorsqu’un polygone régulier est divisé en un nombre quelconque de parties égales, et que chaque sommet est joint à ces points de division, l’intersection des lignes ainsi menées détermine un ou plusieurs polygones étoilés et mi-réguliers.

A son tour, la subdivision d’un polygone donné en parties semblables est le premier pas vers l’assemblage des polygones.

Si l’on partage en effet les côtés d’un polygone