GI
d'après ce qui précède , que cette corde tout entière rendant le son ut^ le ré sera produit par les ~ de sa longueur, c'est-àdire 320 lignes oui pieds 2 pouces 8 lignes;
Le mi par les | ou .
fa .
sol la si ut„
Si l'on pr
288 lig. ou 2 p.
po.
lig.
rend les différences entre les longueurs ci-dessus, 360, 320, 288, 270, etc., différences que l'on trouvera être successivement 40. ..32. ..18. ..30. ..24. ..24. ..12, on verra que si l'on avance de 40 parties sur la corde qui rend ut pour avoir la corde qui rend ré , il faudra avancer sur celle-ci de 32 parties pour avoir la corde qui rend ?ni ; sur celle-ci de 18 parties pour avoir celle qui rend /a, etc. ; ce qui peut servir à expliquer le mécanisme du jeu des doigts sur les instruments à cordes, tels que la basse, le violon, l'alto, où l'on sait qu'on est obligé de rapprocher les doigts pour obtenir les tons et les demi-tons, au fur et à mesure que la corde devient plus courte.
Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que des sons compris dans une seule octave ; mais la détermination des sons des octaves supérieures ou inférieures dérive immédiatement des principes posés plus haut. En effet, l'octave d'un son résultant d'un nombre double de vibrations, on voit que l'on obtient toutes les valeurs des notes de la seconde ou de la troisième octave, etc., en multipliant celles de la première par 2, par 4, etc. De même, on obtiendra toutes les notes des octaves plus graves en divisant les mêmes valeurs par 2, par
4, etc. C'est ainsi, par exemple, que le ré de la deuxième octave, ou ré*^ sera | multiplié par 2, ou ^, ou |; que le sol de la troisième octave, ou solg, sera | multiplié par 4, ou ^, ou 6. C'est ainsi également que le fa de l'octave au-dessous de la première , ou fa |, sera |; divisé par 2, ou |, ou |, et ainsi de suite.
On peut, en faisant l'opération inverse de celle que nous venons d'effectuer , chercher le nom et la place d'un son dont on connaît la valeur numérique, et suivant que cette valeur sera plus grande que 2 ou plus petite que 1 , on reconnaîtra tout de suite que le son qu'elle représente sera plus grave que notre iit fondamental, ou plus aigu que l'octave de cet tit^ c'est-à-dire compris dans les octaves inférieures ou supérieures à la première. Soit, par exemple , un son représenté par la valeur ^ ; en divisant cette fraction par 2 autant de fois que cette division est possible, on trouve que 4f provient de la fraction |, multipliée deux fois par 2. Or, | est le la de la première octave, donc ^sera la double octave de ce /«, c'est-à-dire la^. De même la fraction! étant égale à | divisée par 2, on voit que le son dont la valeur numérique est f est l'octave grave de la quinte du premier ut ou sol |. Les notes de la gamme naturelle donnée par la division du monocorde étant séparées par des in-
* Dans tout ce qui va suivre, lés petits chiffres inférieurs qui accompagnent le nom des notes, et que l'on nomme indices, serviront à indiquer à quelle octave appartient la note qui en est affectée. Ainsi les sept notes ut, ré, mi, fa, sol, la, si, de la gamme qui sert de point de départ doivent être affectées de l'indice l : de cette manière, ut^, ré^, etc.; les sept notes de la gamme suivante seront affectées de l'indice 2, comme, par exemple, ut^, ré^, et ainsi de suite, en montant. Pour les octaves situées au-dessous du point de départ, on emploiera des indices fractionnaires \, -, etc. Par conséquent, les notes si, la, sol, fa, mi, ré, ut, au-dessous du point de départ ut, seront représentées par si^, lai,, sol±, etc. De même, les notes ,$/, la, sol, etc., de l'octave qui se trouve au-dessous de Yuti seront représentées par -, c'est-à-dire qu'on aura si », /ai, sol l, etc., et de même ainsi pour les octaves inférieures qui seront caractérisées par les indices i, i, etc.
tervalles assez considérables, il est clair qu'il pourra se rencontrer des valeurs numériques qui ne conviendront à aucun des sons compris dans cette gamme; et cependant ces valeurs pourront être celles de sons fréquemment usités en musique. Ainsi, par exemple, le rapport de quinte étant f, nous obtiendrons la triple quinte de Vut fondamental en multipliant ut trois fois par f ; la valeur cherchée sera donc ^. Or, cette valeur tombe entre ^ et ^^ qui représentent respectivement ia^ et si^ ; le son qu'elle représente est donc intermédiaire entre la et si. On conçoit effectivement que la gamme telle que nous l'avons supposée, contenant des intervalles inégaux que nous avons designés par les noms de tons et demi-tons, on peut intercaler un son intermédiaire entre toutes les notes séparées par un intervalle d'un ton, telles que le la et le si. Cette nécessité d'augmenter ainsi les notes de la gamme en cherchant à égaliser les intervalles qui les séparent a été reconnue dès la plus haute antiquité.
Comme l'oreille n'admet pas également tous les sons que l'on pourrait intercaler entre deux notes consécutives de la gamme , cette subdivision des intervalles musicaux n'est pas arbitraire. Elle n'est cependant pas non plus fondée sur des lois absolument fixes, car il résulte, par exemple, des recherches de Villoteau que la gamme dont se servent actuellement les Arabes et les Égyptiens ne s'accorde pas entièrement avec celle des Européens. Quelles que soient les raisons plus ou moins solides par lesquelles on a cherché à établir la supériorité de cette dernière sur toutes les autres, bornons-nous ici à faire connaître la manière dont elle a été formée.
Dièse ^ bémol ^ demi-tons^ commas ^ limma et apotome.
On dit qu'une note est diésée , lorsqu'on l'élève en multipliant sa valeur par le facteur |f; si on la baisse dans la même proportion en la divisant par f|, ce qui revient à multiplier par II, on dit qu'elle est bémolisée. Le facteur f|, qui exprime la valeur du dièse ou du bémol, suivant qu'on le prend dans un sens direct ou inverse, est fourni par la division du monocorde. Lorsque l'on prend les | de la corde, on obtient un son dont la valeur est f , et qui forme avec le son fondamental ut une consonnance agréable , que l'on nomme tierce mineure : or, la tierce mineure diffère de la tierce majeure ut mi précisément du facteur ||. Cette tierce mineure sera donc ut mi bémol. L'altération produite par cette multiplication est un peu moindre que la moitié juste d'un ton; aussi l'intervalle ut ut dièse sera plus petit que ut dièse re, et l'intervalle ut ré bémol sera un peu plus grand que ré bémol ré. C'est pourquoi cet intervalle ut^ exprimé par ||, est nommé en théorie demi-ton mineur, et l'intervalle ut dièse ré ^ qui complète le ton majeur, est appelé demi- ton maxime. Ce dernier demi-ton, étant égal au ton majeur | divisé par le demi-ton mineur ||, se trouve représenté par le facteur ||; d'où il suit que l'intervalle ut ré bémol est un demiton maxime ||, et ré bémol ré un demi-ton mineur ||. Il suit encore de ce qui précède que le ton mineur ré mi ^ par exemple, n'est pas divisé de même que le ton majeur; le demiton ré ré dièse étant exprimé par H, ré dièse mi^ qui complète le ton mineur, sera un demi-ton majeur H ; car ^- divisé par II égale {f ; ré mi bémol sera donc aussi un demi-
ton majeur jf, puisque mi bémol mi naturel est un demi-ton mineur ||.
En altérant chaque note par un dièse et un bémol ^ on obtient une série de sons que je vais réunir dans le tableau suivant, en les rangeant dans l'ordre où ils se succèdent, en montant du grave à l'aigu.
Nombre des vibrations en temps égal en fractions :
Noms des notes . ordinaires , décimales.
Ut =. Ut^ =
ré \) = ré = ré>^ = mi]^=^ m;i = mi'^ = fa\f = fa =
sol = sol]^= la[,= la = laj^ = szl? = si =.
Si>^=z Ut^ =
Ik
Dénominations usitées pour désigner le rapport de chaque son avec le premier son ut.
Ut ut, unisson.
ut ut]^^ demi-ton mineur.
ut ré\^, demi-ton maxime.
ut ré, seconde majeure.
ut ré^, seconde augmentée.
ut mi\>, tierce mineure.
ut ?ni, tierce majeure.
ut Tnij^.
ut fa\} , quarte diminuée.
ut fa, quarte.
ut fa^, quarte augmentée.
ut sol\^ , quinte diminuée.
ut sol , quinte.
ut sol^ , quinte augmentée.
ut la\ , sixte mineure.
ut la, sixte majeure.
ut la^, sixte augmentée.
ut si\?, septième mineure.
ut si, septième majeure.
ut si^.
ut ut^\^, octave diminuée.
ut ut 2 , octave.
De la comparaison des tons majeurs, des tons mineurs, des demi-tons maximes, majeurs et mineurs, résultent d'autres petits intervalles , nommés commas , et quelquefois improprement quarts de ton , dont on fait un fréquent usage en théorie ; je vais signaler ceux qui nous seront nécessaires dans la suite.
La différence du ton majeur et du ton mineur donne le comma majeur 1^; car | divisé par-^^, c'est-à-dire multiplié par -j^, égale |^. En divisant le demi-ton majeur yf par le demi-ton mineur || et opérant les réductions convenables, on obtient le comma {ff, nommé par certains auteurs quart de ton mineur , qui est plus grand que le comma majeur 1^. La différence du demi-ton maxime f| et du demi-ton mineur ff est égale au comma fH, nommé aussi par les mêmes auteurs quart de ton majeur, plus grand que le quart de ton mineur yH. Si l'on divise le demi-ton majeur || par le comma |^, on trouvera, après avoir opéré les réductions, un petit intervalle exprimé par |||, nommé limma. Si Ton divise par ce limma ||f , le ton majeur |, on obtiendra un nouvel intervalle plus grand que le limma, qu'on nomme apotome^ qui se trouve exprimé par fjfg, qui, comme on le voit, complète avec le limma le ton majeur. On peut par conséquent appeler ces deux intervalles demi-tons. En divisant l'apotome l^g par le limma fH , on obtient le comma maxime ou de Pythagore HjH^, qui est plus grand que le comma |i et plus petit que le comma ffl.
Pour se rendre compte de la différence précise des demitons et des commas entre eux , je vais les exposer en fractions ordinaires et décimales, par ordre.de grandeur, dans le tableau suivant.
Noms des inlervalles.
Nombre des vibrations en temps égal, fract. ordin. fract. déc.
Demi-ton maxime Apotome . . .
Demi-ton majem'.
Limma ....
Demi-ton mineur .
Quart de ton majeur
Quart de ton mineur Comma maxime Gomma majeur
Nota. C'est ici le lieu d'expliquer la différence qui existe entre la théorie et la pratique.
Dans la théorie , le demi-ton ut ut dièse , comme on l'a vu, est plus petit que le demi-ton ut dièse ré ; dans la pratique, au contraire, il est certain que le demi-ton chromatique ut ut dièse est plus grand que le demi-ton diatonique ut dièse ré. La raison en est que les dièses déterminent ordinairement des notes sensibles, et que celles-ci tendent toujours à se rapprocher de l'octave. Le musicien, cherchant toujours à satisfaire son oreille, fait, lorsque son instrument le lui permet , le demi-ton ut dièse ré moindre que la moitié juste d'un ton , et par là l'intervalle ut ut dièse se trouve agrandi. Il en est de même du bémol , qui tend toujours à descendre vers sa note inférieure , et alors ré ré bémol se trouve plus grand que ré bémol ut.
C'est donc pour être compris des musiciens que, dans le premier article de cet ouvrage, j'ai signalé la division du ton en neuf commas et supposé que le dièse haussait de cinq de ces commas , et que le bémol baissait de la même quantité ; d'où il résultait que le demi-ton chromatique ut
Ut dièse était composé de cinq commas, et le demi-ton diatonique ut ré bémol de quatre seulement, ce qui faisait un comma de différence entre ré bémol et ut dièse. Mais peu importe pour le tempérament qu'on suppose que ré bémol soit plus bas ou plus haut qu ut dièse, puisqu'il ne s'agit que de trouver un son intermédiaire qui occupe juste le milieu de la petite distance qui sépare ces deux sons voisins.
Quoi qu'il en soit, il serait à désirer que la théorie et la pratique fussent tout-à-fait d'accord sur ce point; je dis tout-à-fait, car elles s'accordent quelquefois. Si l'on fait des consonnances en accord, des tierces, des quartes, par exemple, sur des instruments à sons variables, comme le violon, on cherche toujours la justesse de ces intervalles prescrite par la théorie; seulement on s'en écarte en produisant des sons qui se succèdent les uns aux autres, comme dans un chant, un trait.
Si les physiciens avaient donné au dièse le rapport de l'apotome 1^, au lieu du rapport |f, la théorie aurait été d'accord avec la pratique , et le ton serait divisé en deux demi-tons correspondants à l'apotome et au limma, qui sont précisément égaux, à très-peu de chose près, aux demi-tons chromatique et diatonique pratiqués.
Démonstration mathématique du tempérament.
Dans la partie pratique de cet ouvrage , on a vu que le mécanisme du tempérament consistait à altérer les quiiites , les tierces majeures et les tierces mineures , afin de faire disparaître la différence des demi-tons diatoniques et des demi-tons chromatiques, pour obtenir des demi-tons moyens, égaux
chacun à un douzième de l'octave. On a vu également que les tierces majeures devaient être renforcées, et les tierces mineures et les quintes affaiblies. Et d'abord, si l'on forme trois tierces majeures justes consécutives, on arrivera à une note qui ne sera pas exactement l'octave de la première, mais qui sera plus basse d'une quantité marquée par la fraction flf. En effet, l'expression juste de la tierce majeure est, d'après ce qu'on a vu, |. Si l'on multiplie cette valeur par elle-même, on aura I x| =11 pour ut sol dièse; et multipliant de nouveau par |, on aura f| x | = ^. Mais l'expression de l'octave étant 2 , ou -^ , on voit que le produit des trois tierces majeures est plus faible. Ces deux fractions ^ et -^j ayant le même dénominateur , sont entre elles dans le rapport de leurs numérateurs, c'est-à-dire comme 128 est à 125 , ce qui donne la fraction {|f pour expression de ce rapport. On voit donc que l'octave juste surpasse le produit de trois tierces majeures de m ; cette quantité est ce que l'on appelle un comma.
On trouvera de même que la suite de quatre tierces mineures justes donne une valeur plus forte que celle de l'octave; car la tierce mineure ut mi bémol ayant pour expression f , si l'on multiplie cette fraction par elle-même, on aura f X f =11, ou ut sol bémol \ |f x f =111 pour ut la^ et enfin |i| X 1= '^- pour le produit de quatre tierces mineures. Mais cette quantité est plus forte que l'octave, dont la valeur est toujours 2, ou ^^. En procédant comme ci-dessus, on verra que ces deux fractions sont entre elles comme 1296 est à 1250, ou, en simplifiant, comme 648 est à 625.
Appliquant le même raisonnement à la succession de douze quintes justes ascendantes, ut sol^ sol ré, etc., qui forme le cercle harmonique en montant, on aura f pour z/^j sol^; f X | = |pour ut^ re2, neuvième; |x| = ^pour ut^ la.-, treizième; ^x |=f^ pour uti mi^, dix-septième; et, conti-
nuant toujours à monter de quinte en quinte, f| x 1=^ pour ut^ si^ ; ^^ X |=^ pour ut^ fa^ dièse \ ^ x f = ^^pourw?, ut^ dièse-, ^^x |=^^ pour ^lt^ sol ^ dièse; W Xf— ^4!^ pour ut, re'e dièse; ifff x | = ^|^ pour ut, la^ dièse; ^yoU" ^ |= ^VolV po^^ ut,-mi^ dièse, et enfin 2048 '^ 2 — 4096 pour Mfj S2y ciiese.
Rapprochant de ce si dièse Vut point de départ, en l'élevant successivement des sept octaves qui l'en séparent, on obtiendra 128, ou , en mettant sous la forme fractionnaire, ^ pour Vut^ qui lui correspond.
Réduisant cette expression au même dénominateur que celle de si dièse, ^iéii^ ■> ^n multipliant ses deux termes par 4096 , on aura pour nouvelle expression de Vutf^ correspondant à si, ^llll^; supprimant de part et d'autre le dénominateur 4096 , on trouvera que le si dièse produit par les douze quintes justes excédera Vut qui lui correspond du comma HjHI, qu'on nomme comma maxime ou comma de Pythagore.
Par ce qui précède, on voit que pour obtenir un tempérament égal il faut renforcer les tierces majeures d'un tiers du comma fff , affaiblir les tierces mineures d'un quart du comma |||, affaiblir les quintes d'un douzième du comma IHm. D'où il suit que le renversement de ces intervalles sera altéré en sens contraire , puisqu'un intervalle quelconque et son renversement égalent toujours une octave , comme on l'a vu dans l'art. I". Ainsi la tierce majeure | étant multipliée par la sixte mineure, son renversement, dont l'expression est|, donne pour produit |^ ou 2, valeur de l'octave.
Donc, si la tierce majeure | est augmentée du tiers du comma f|f, la sixte mineure f, complément de l'octave, sera nécessairement diminuée de la même quantité. De même si on multiplie la tierce mineure f par son ren-
versement, la sixte majeure |, on obtiendra f^, ou 2, pour l'octave. Par conséquent, si la tierce mineure est affaiblie du quart du comma Hf, la sixte majeure, complément de l'octave, sera renforcée de la même quantité. Multipliant également la quinte | par la quarte |, son renversement, on trouvera-^, ou 2, pour l'octave. Si donc la quinte est diminuée du douzième du comma HHI^, la quarte sera augmentée du douzième de ce même comma.
Pour se rendre compte mathématiquement de l'influence qu'exerce l'altération des quintes sur la justesse des tierces , en suivant la marche que j'ai adoptée à l'article Tempérament de cet ouvrage, on raisonnera comme il suit. Si l'on multiplie de suite les unes par les autres quatre quintes justes w^, 5o/j , sol^ ré^ , ré^ la^ , la^ mi^ , on aura respectivement | , ^, f^. Ramenant cet intervalle de dix-septième ut^ mi^ à celui de tierce, en baissant le mi de deux octaves, ou, ce qui revient au même, en haussant Vut de cette quantité, en multipliant 16 par 2, puis le produit par 2, on trouvera f| pour expression de cette tierce produite par quatre quintes. Comparant cette expression à celle de la tierce juste ut-mi , qui est | ou ff, réduite au même dénominateur, on trouve, en supprimant le dénominateur commun de part et d'autre, que la tierce produite par quatre quintes surpasse la tierce juste du comma majeur |^, ce qui rend cette tierce insoutenable à l'oreille. Il faut donc baisser chaque quinte de manière à la rendre supportable. Recommençant le même raisonnement en prenant mi pour point de départ, on trouve que la tierce mi sol dièse ^ produite par les quintes mi si^ si fa dièse , fa dièse ut dièse , ut dièse sol dièse , surpassera la tierce juste mi sol dièse du même comma, et que la tierce sol dièse si dièse ^ résultant des quatre quintes sol dièse ré dièse , ré dièse la dièse , la dièse mi dièse , mi dièse si dièse ,
surpassera également la tierce juste sol dièse si dièse du même comma. Toutes les quintes doivent donc être baissées de manière que les trois tierces fassent l'octave , comme on l'a déjà démontré. Dans toutes les démonstrations précédentes, j'ai employé des intervalles ascendants , et pris ut pour point de départ, comme dans tous les traités de physique, pour plus de simplicité dans le calcul du tempérament; mais comme ma partition est composée de quintes descendantes, à cause de la facilité qu'elles offrent de tempérer dans la pratique , je vais démontrer que le principe du tempérament des quintes descendantes est le même que celui des quintes ascendantes, et que seulement on doit les altérer en montant le son grave au lieu de baisser le son aigu.
Ma partition commençant par /«, nous prendrons cette note pour point de départ, et nous la représenterons par 1, c'està-dire que nous supposerons qu'elle fait une vibration dans un temps donné, comme nous avions fait pour ut ; alors son octave inférieure sera représentée par}, puisqu'elle fait moitié moins de vibrations dans le même temps. La quinte descendante la ré sera représentée par |, la note grave ré ne faisant que deux vibrations pendant que le la en fait trois ; la tierce majeure par ^ , le la faisant cinq vibrations pendant que le fa en fait quatre ; la tierce mineure la fa dièse par ■g, etc.
Cela posé , prouvons que trois tierces majeures font moins que l'octave , comme on Ta déjà vu pour les tierces ascendantes. En effet, si on multiplie l'une par les autres l'expression des trois tierces majeures justes descendantes , la fa naturel^ fa naturel ré bémol ^ ou ut dièse, ut dièse la naturel, on aura successivement pour produit | , |f, et j^. Réduisant cette dernière expression au même dénominateur que | valeur de l'octave inférieure , on aura |ff pour produit des trois
tierces , et m pour l'octave. Or le son représenté par ||| est plus élevé que le son {|| , puisqu'il fait plus de vibrations dans le même temps; donc le produit des trois tierces est moindre que l'octave. Supprimant de part et d'autre le dénominateur 250, on voit que le produit de ces trois tierces est moindre que l'octave du comma y||, ou, en renversant ce rapport pour considérer , selon l'habitude, le son le plus grave comme point de départ, y||. 11 faut donc baisser les sons graves de chaque tierce du tiers de ce comma , ainsi que nous avons prouvé qu'il fallait hausser de cette quantité le son aigu de chaque tierce majeure ascendante , ce qui revient au même ; car , que l'on baisse le son grave ou que l'on élève le son aigu d'une tierce, on a toujours pour objet de la renforcer , c'est-à-dire d'éloigner l'un de ses deux sons de l'autre, lequel restera fixe. Multipliant les unes par les autres les quatre tierces mineures justes descendantes la fa dièse ou sol bémol , sol bémol mi bémol , mi bémol ut naturel et ut la^ on aura successivement pour produit |, ||, |||, fUg. Comparant' cette dernière expression à celle de l'octave inférieure -| ou j^-, on verra que le produit des trois tierces fait moins de vibrations que l'octave, et par conséquent qu'il donne un son plus grave. Supprimant dans ces deux fractions le dénominateur 1296, ce qui ne change rien à leur rapport, on voit que le son produit des quatre tierces est plus bas que l'octave du comma m, et en renversant les deux termes du rapport , comme on vient de le faire pour le comma précédent , on obtiendra |||. Il faut donc affaiblir chacune de ces tierces mineures du quart de ce comma, comme lorsqu'elles sont ascendantes ; seulement il faut hausser le son grave au lieu de baisser le son aigu.
Raisonnant de même pour les douze quintes justes descendantes la ré, ré sol^ sol ut^ etc., qui forment le cercle harmo-
nique en descendant, on auraf pour /«j ré^ quinte descendante pour /«j sol \, neuvième descendante; |y pour la^ ut\^ treizième descendante; |j pour /«, fa\^ dix-septième descendante ; et continuant toujours à descendre de quinte en quinte, 2^/3 pour /«j si\ bémol ^ ^pour /«j mi {bémol ^ -fi^ pour la^ la^ bémol ^ f^ pour la^ ré\ bémol ^ -^^^ouYla^ sol\ bémol ^■
pour /«i ut \ bémol ^ irvUrPOur la^ fa\ bémol ^ ^t ^ffffj- pour la^ si I double bémol. Rapprochant de ce si | double bémol le /«j, point de départ^ en le baissant successivement des sept octaves qui Ten séparent, on obtiendra -—^ pour lé la | qui lui correspond. Réduisant cette expression au même dénominateur que celle de si double bémol baiHn ^^ multipliant les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, on aura pour sil double bémol 6 8024448? ^^ P^ur /«| correspondant <S8024448' ^^% ^ l'iuspection de ces deux fractions, on voit que le 5z| double bémol fait moins de vibrations que le /«| correspondant : donc il est plus bas que ce la. Supprimant de part et d'autre le dénominateur commun 68024448, on trouve qu'il en diffère du rapport HtUf , qui devient le comma de Pythagore flffl^, lorsqu'on renverse l'ordre des termes pour prendre, ainsi qu'on l'a déjà fait, le son grave pour point de départ. Ce /«| excède donc le sz| double bémol correspondant de la même quantité que le 5z ^ dièse excède Vut g dans la succession des quintes ascendantes. Donc, pour que 5z| double bémol devienne la\ naturel, on est obligé d'affaiblir chaque quinte descendante d'un douzième de ce comma en montant le son grave; de même qu'on est obligé de les affaiblir de la même quantité en baissant le son aigu lorsqu'elles sont ascendantes pour que le sf, dièse devienne ut | naturel.
Concluons donc ici qu'il est mathématiquement prouvé que dans ma partition, composée de quintes descendantes, il faut tenir les tierces majeures fortes, les tierces mineures et les
quintes faibles des mêmes quantités que lorsque la partition est formée de quintes ascendantes. De là résulte aussi que les renversements de ces trois intervalles descendants seront altérés en sens contraires, c'est-à-dire que la sixte mineure descendante sera faible, la sixte majeure et la quarte fortes.
On expliquera l'influence directe de l'altération des quintes descendantes, sur la justesse des tierces majeures avec autant de facilité qu'on l'a fait pour les quintes descendantes. Multipliant de suite les quatre quintes ascendantes /« j , re j , re\ sol\^ sol\ ut\, ut\ fa\^ on obtiendra successivement!, |, ^, et pour fa \ ^. Ramenant cet intervalle de dix-septième descendante à celui de tierce fa ^ la j, en haussant le fa | de deux octaves, c'est-à-dire en multipliant le numérateur 16 deux fois par 2, on obtiendra |f pour la tierce majeure produite par quatre quintes descendantes. Comparant à ce résultat l'expression de la tierce juste f , et les réduisant au même dénominateur en multipliant les deux termes de chaque fraction par le dénominateur de l'autre, on obtiendra ||f pour la tierce juste, et Hf pour la tierce produite par les quatre quintes. D'oii l'an voit que le fa produit des quatre quintes est plus bas que celui de la tierce juste, parce qu'il fait moins de vibrations. Supprimant de part et d'autre le dénominateur commun 405, les deux numérateurs formeront le rapport de 320 à 324, ou |f , en divisant les deux termes de ce rapport par 4. Ce dernier rapport étant renversé, comme on doit le faire pour procéder du grave à l'aigu, devient le comma majeur |^. Ces deux tierces ont donc entre elles la même différence que celle que nous avons trouvée dans les quintes ascendantes. Tl faut donc hausser le son grave de chaque quinte descendante pour rendre la tierce supportable, ce que nous avons indiqué dans la pratique. Recommençant le même raisonnement en prenant /« pourpoint de départ, on trouve que la tierce fa ré bémol, produite par
les quatre quintes fa si bémol, si bémol mi bémol, mi bémol la bémol, la bémol ré bémol, sera plus grande du même comma que la tierce juste fa ré bémol, et que la tierce ré bémol si double bémol, résultant des quatre quintes ré bémol sol bémol, sol bémol ut bémol, ut bémol fa bémol, fa bémol si double bémol, sera également plus grande que la tierce juste ré bémol si double bémol ou ut dièse la naturel. Le son grave de chaque quinte descendante doit donc être haussé de manière que les trois tierces la fa , fa ré bémol ou ut dièse , ut dièse la fassent l'octave, comme il a été démontré.
De l'égalité des consonnances résulte celle des dissonnances ; car, la différence des demi-tons diatoniques et chromatiques disparaissant, l'octave se trouve divisée en douze demi-tons égaux entre eux ; chaque tierce majeure renfermant quatre de ces demi-tons, les deux tons qui la composent seront égaux, puisqu'ils en renfermeront chacun deux. Alors la différence des tons majeurs et des tons mineurs s'évanouit, tous les tons deviennent égaux dans la gamme : les septièmes qui résultent du renversement des secondes deviennent aussi égales, puisque toutes les secondes sont formées d'un demi-ton, d'un ton ou d'un ton et demi.
Pour trouver en fraction décimale l'expression numérique de chaque nouveau son moyen de la gamme ou douzième d'octave, on peut s'y prendre de différentes manières.
La méthode la plus simple consiste à prendre la racine douzième de 2 pour avoir la valeur d'un demi-ton, puisque les douze demi-tons multipliés les uns par les autres doivent donner une octave, ce qu'on effectuera facilement au moyen des tables de logarithmes, les calculs ordinaires étant beaucoup trop longs, puisqu'il faudrait extraire successivement deux fois la racine carrée et une fois la racine cubique d'un nombre contenant 72 chiffres décimaux pour en avoir seulement 6 à
la racine. On trouvera que le douzième de l'octave, c'est-à-dire l'intervalle qui sépare Vut de Vut dièse ou du ré bémol moyens est 1,059463, c'est-à-dire que le son qu'il représente fait une vibration et j„„^,„„q de vibrations, pendant que le son ut naturel voisin en fait une seule. Multipliant ce douzième d'octave par lui-même, on obtiendra 1,122462 pour valeur de ré naturel^ qui est alors composé de deux demi-tons égaux.
Pour obtenir la valeur de ré dièse ou mi bé mol^ composé de trois demi-tons, on multipliera la valeur de re naturel par le douzième d'octave. On obtiendra ainsi la troisième puissance de ce dernier, qui sera égale à (,189207. Mi^ étant composé de quatre demi-tons, sera égal à la quatrième puissance de ce douzième ; on l'obtiendra en multipliant de même la valeur de ré dièse ou mi bémol par la première puissance 1,059463, ce qui donnera le produit 1,259927. En général, on obtiendra toujours l'expression d'un intervalle composé d'un certain nombre de demi-tons, en multipliant par la valeur du douzième l'intervalle qui renferme un demi-ton de moins que celui que l'on voudrait obtenir.
Ainsi, on multipliera par ce douzième mi pour obtenir /«, fa pour obtenir fa dièse ou sol bémol ^ fa dièse ou sol bémol pour obtenir 5o/, sol pour obtenir sol dièse ou la bémol ^ et ainsi de suite.
Je n'ai pas besoin de recommander de faire usage des tables de logarithmes pour obtenir rapidement ces diverses puissances, que l'on va trouver exposées dans le tableau suivant, avec la longueur des cordes qui donnent les douze sons exprimés par les nombres :
Noms des Nombres des Longueurs des
notes. vibrations. cordes.
Ut =: 1,000000 1,000000 uf^onré \^— 1,059463 0,943874
oms des
Nombres des
Longueurs des
notes.
vibrations.
cordes.
ré = 1,122462 0,890899
rej:} ou mi b= 1,189207 0,840896
mi = 1,259921 0,793701
fa = 1,334840 0,749154
fa>^ ou sol\>= 1,414213 0,707107
sol = 1,498306 0,667420
5o/|$ ou /« b= 1,587400 0,629961
la = 1,681793 0,594604
lajfiousi \,= 1,781797 0,561230
si = 1,887748 0,529730
ut.^ = 2,000000 0,500000
On calcule la longueur de la corde de chaque son de ce tableau d'après le nombre de vibrations du son rendu par cette corde. On a vu précédemment que pour trouver la longueur de la corde d'un son quelconque il fallait renverser la fraction qui exprimait le rapport de ce son avec le premier son ut. La quinte ut sol, par exemple, étant exprimée parf, la corde qui donne le son sol sera représentée par cette fraction renversée, c'est-à-dire par lesf de la corde ut. Ainsi ut dièse, douzième d'octave, étant représenté en fraction décimale par 1,059463, le sera en fraction ordinaire par {g^^^^g. Renversant cette dernière fraction, la corde qui donne ut dièse sera représentée P^ï" lo59463 ^6 1^ corde entière.
Convertissant en fraction décimale cette fraction ordinaire I059463, qui exprime la corde d'ut dièse, en divisant le numérateur par le dénominateur, on trouvera 0,943874 pour la valeur de cette corde. On fera le même raisonnement pour trouver les cordes des douze sons moyens de la gamme : ainsi 7'é naturel étant exprimé par 1,122462, la fraction ordinaire égale
à ce nombre décimal sera f^Htff. Renversant cette fraction, on obtiendra pour la corde de ce ré l'expression {yfffff, qui, étant convertie en fraction décimale, donnera 0,890899, et ainsi des autres.
Si l'on compare les intervalles de la gamme moyenne formée par les douze sons nouveaux avec les intervalles vrais, on trouvera que ces intervalles sont pour ainsi dire nivelés, c'est-àdire que les uns sont renforcés, les autres affaiblis, et qu'aucun d'eux ne coïncide exactement avec ceux de la gamme moyenne, mais qu'ils en diffèrent très-peu. Ce résultat tourne à l'avantage de l'uniformité de l'harmonie, car sur aucun instrument on ne peut exécuter la gamme du monocorde en observant les différences de ton majeur, de ton mineur, etc. Ainsi, par exemple, le ré moyen, exprimé par 1,122462, est plus bas que le ré vrai^ exprimé par 1,125000, à cause du ton majeur ut ré. Le 7yii moyen, représenté par 1,259927, est plus haut que le mi vrai, désigné par 1,250000, à cause du ton mineur ré mi^ et ainsi des autres sons, comme on pourra le voir dans le tableau suivant, qui contient les gammes chramatiques vraie et moyenne comparées avec les longueurs des cordes qui rendent ces différents sons.
Noms des notes. Ut j,
re'l?
ut^oxxré^ moyen
ré
ré moyen
ré'i
mi 7 ré 'ijSf ou mi b moyen
Nombres des vibrations.
Longueurs des cordes.
Noms des notes. Nombres des vibrations.
Longueurs des cordes,
mi
fa\f
mi ou fa \^ moyen
mij^
fa
mi j^ ou fa moyen
SOl\f
fa j;ji ou sol\^ moyen
sol
sol moyen
sol^
la [,
solj;