DES FRACTIONS

On appelle fractions les quantités plus petites que l’unité ; une moitié , deux tiers , trois quarts, six huitièmes, etc., sont des fractions que l’on écrit ainsi (1) , '/., 'h , y4, ®/a , etc. Le nombre su-

(i) On emploie, dans les diverses opérations, des signes qui abrègent les écritures :

Pour écrire

a plus h , ou 6 plus ^ , on écrit , 6—1—4 égale i o.

périctiT se nomme numérateur , parce qu’il marque le nombre des parties que l’on prend, et le nombre inférieur s’appelle dénominateur , parce qu’il désigne l’espèce de ces parties, ou en combien de parties l’imité est partagée. Ainsi dans l’expression YiyiG chiffre li, qui est le numérateur, indique que l’on prend quatre parties, et ce chiffre 5, qui est le dénominateur, marque que ce sont des cinquièmes.

■Le numérateur et le dénominateur, considérés ensemble , se nomment les deux termes dé la fraction; quand les deux termes sont égaux, la fraction vaut l’unité : ^3 ou ■*/,, valent un entier.

Si l’on multiplie le numérateur d’une fraction par un entier, on rend la fraction plus grande. Ainsi en multipliant le numérateur de la frac-

a moins i, ou 8 moins 4 1 on écrit a — 6, 8 — 4 4 *

a eat égal à A, on 6 est égal i 4 ~f~* > on écrit o=b, 6 = 4 - 4 ~>. a mnltiplié par fi, ou 6 multiplié par 6 , aXfi, 6 X 8 = 86 .

ata

a divisé par fi , on I a divisé par 4 , — ou— = 3 .

Le rapport géométrique 6 est à ta comme 8 est à 16. On écrit 6 ; ta ; ; 8 ; 16. ,

Les fractions /, , */j, Vij'se prononcent : une moitié, deux tiers ; trois quarts. •

18 ART DE EETBR IBS PLANS.

lioft •/» par 2 , qlle devient ia fraction */. , qui est

double de ’/»* •

Au contraire, si l’on multiplie le dénom^ateur d’une fraction par un entier, la fraction deviendra plus petite; ainsi, en multipliant par 2 le dénominateur dé la fraction %, elle devient la fraction ’A , qui u’est que la moitié de la fraction •/,.

Addition. Pour ajouter ensemble des fractions qui ont le même dénominateur, il faut prendre la somme des numérateurs, et donner à cette somme le dénominateur commun ; ainsi en ajoutant ys à ’/s , j’ai pour somme Vs.

Si les fractions n’ont pas le même dénominateur, il faut les y réduire avant de les additionner; ainsi pour trouver la somme des fracticms ‘A, yj, je les réduis d’abord au même dénominateur , et j’ai y,, , 9/i. ; j’ajoute les numérateurs, ce qui me donne pour somme ’ i/, % ou 1 y » .

Soustraction. Pour soustraire une fraction d’une autre fraction qui a le même, dénominateur, il faut retrancher le plus petit numérateur du plus grand, et donner au reste le dénominateur commun. Exemple : y, moins '/s égale ’/s.

Si les fractions n’ont pas le même dénominateur, il faut les y réduire avant de prendre la différence des numérateurs, comme on l’a fait pour l’addition; ainsi pour ôter '/i de */s , je ré-

tEÇON I. 19

duis ces deux fractions à celles-ci, */»o , et j’ai %o moins Y%o, égale %o.

Multiplication. Pour multiplier une fraction par un nombre entier, il faut multipKer le numérateur de cette fraction par l’entier, et ne rien changer au dénominateur.

Par exemplOi, pour multiplier y, . par 2 , je multiplie 1 q numérateur 3 par 2, ce qui donne 6, et laissant le dénominatehr 11 tel qu’il est , j’ai */,, pour produit, puisque 2 fois y. valent y. . . Autre exemple :

• ûx3 A 3 12. 13

S’il s’agit de diviser une fraction par un entier, il faut multiplier le dénominateur de la fraction par l’entier, sans rien changer au numérateur; ainsi pour diviser la fraction ’/» par 2, je multiplie le dénominateur 2 par 2 , et laissant Je numérateur 1 tel qu’il est, j’ai v4 pour quotient. Si l’on partage une moitié en deux parties égales, on aura évidemment '/k pour la valeur de chacune de ces parties.

PouV multiplier une fraction par une fraction ,' il faut, 1*. multiplier le numérateur de la première par le numérateur de la seconde, ce qui

donne le nomérateur du produit 2®. multiplier le dénominateur de la première par lé dénominateur de la seconde , ce qui donne lé dénominateur du produit.

Ainsi pour multiplièr V3 par Vs , je dis U fois 2 font 8, et c’est le numérateur du produit; puis 5 fois 3 font 15 , et c’est le dénominateur du produit; le produit est donc */, 5 . Voici la raison de la règle : si Je multiplie yi par l’entier U , j’aurai pour produit */3 , mais ce produit est 5 fois trop grand, puisque’ je ne devais multiplier que par le cinquième de U : donc il faut prendre le cinquième, c’est-à-dire le diviser par 5, ce qui se fait en multipliant le dénominateur par 6. Ainsi

Division. Pour diviser une fraction par une fraction, il faut réduire ces deux fractionsaumême dénominateur, supprimer le dénominateur commun , et faire une fraction qui ait pour numérateur le numérateur de la fraction dividende , et pour dénominateur le numérateur de la fraction diviseur; ce sera le vrai quotient. On. peut aussi renverser les deux termes de la fraction qui sert de diviseur, et multiplier la fraction dividende; par cette fraction ainsi renversée.

Pour diviser */5 par y? , je renverse la fraction ys , ce qui me donne % ; je mnltiplie Vs par y, , et j ai "/.O ou 1 y, o pour quoti.ent de y» divisé par y3.

La raison de cette règle est qu’il faut diviser Vs par >/3 ; c’est chercher combien de fois Vî contiennent yi : on voit que puisque le diviseur est y3 il sera contenu dans le dividende trois fois autant que s’il était 2 entiers > donc il faut diviser d’abord par 2 et multiplier par 3 , ce qui n’est autre chose que prendre trois fois la moitié du dividende, au le multiplier pour y,, qui est la fraction diviseur renversée.

Soit le nombre 3 à diviser par la fraction ye , l’opération revient à multiplier 3 par Vs j ce qui donne *y5 pour le quotient cherché. Qu’il faille diviser par ys, l’opération se réduit à il%ltiplier 7/9 par ys, ce qui, donne' pour quotient cherché. >

Pour diviser Zi. par % , je réduis U au dénominateur, ce qui donne ; ensuife je forme une fraction à laquelle je donne 2.8 pour numérateur et 3 pour dénominateur ; le quotient cherché est donc *ys. On voit qu’on obtient les mêmes résultats en multipliant le dividende par la fraction diviseur renversée; car ys multipliés par % égalent '"/>», et 6 multiplié par Vs égale *®/3. Pour

diviser un nombre paj- une fraction , il ■suffit de la multiplier par la fraction renversée. .

Toutes les fois qu’il se trouve des entiers mêlés avec des fractions, il faut, avant de faire aucune opération, réduire chaque entier au dénominateur de la fraction qui l’accompagne4

Remarque. Les restes de divisions sont des fractions , car si l’on divise 14 par 3 , on aùra pour quotient 4 avec un reste ^2 , qu’il faut partager en 3 ; par conséquent 14 : 3 égale 4 Vs.

. Des fractions décimales. Elles ont pour dénominateur l’unité suivie d’uu ou de plusieurs zéros. On sous-entend le dénominateur, et on n’écrit que le numérateur, mais on a soin de mettre les chiffres du numérateur à la suite d’une virgule ou d’un point , pour les distinguer des nombres entieiV^ amsi Vio égale 4, ou 4 égale 0,4 ou 0.4, en faisant occuper par’ un zéro la place des entiers. 1 ^Vioo égale 1, 35 ou 1.36.

Il est aisé de déterminer la valeur des chiffres qui suivent la 'virgule ou le point. Le premier chiffre à droite après la virgule ou le point vaut des dixièmes, le second des centièmes, le troisième des millièmes, le quatrième des dix millièmes, etc. Ainsi, pourénoncerle nombre 36,467, on observera que le chiffre 4 exprime */io ou ^®*/iooo, que le chiffe 5 exprime. yio» ou ®°/i«oo ;

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tBÇON I.

on prononcera donc trente-six entiers quatre cent cinquante-sept millièmes.

En mettant des zéros à la suite du derniei^ chiffre à droite d’une fraction décimale, on ne change pas la valeur de cette fraction , parce que le numérateur et le dénominateur se trouvent alors multipliés par un même nombre ; ainsi 0,1 égale 0,10, égale 0,100; etc.

• Conversion des fractions ordinaires en fractions décimales. La fraction indique la division de 6 par 6, et comme elle ne peut pas s*e faire en nombres entiers,. on ajoutera à 6 autant de zéros que l’on voudra avoir de décimales ; par exemple : deux, pour avoir des centièmes, comme il suit :

La valeur de la fraction Ve est ainsi de 83 centièmes ou 0,^3, et il ne s’en faut pas d’un centiéîne que son exactitude ne soit rigoureuse.

L’addition, la soustraction, la multiplication et la division des fractions décimales se font comme on l’a indiqué aux règles addition, etc.