DU CERCLE, DES ANGLES, DES PERPENDICULAIRES ET DES PARALLÈLES

IN . 58. Le cercle est une figure plane renfei^i mée par une sèule ligne , et au milieu de laquelle est un point C qu’oo nomme centre, qui est éga- • lement éloigné de tous les points de la circonférence. On obtient l’aire d’un cçrcle en multipliant la circonférence par le quart du djimètre n®. 202 ). Les lignes les plus remarquables qui rencontrent la circonférence du cercle, sont ;

diamètre DT . C est une ligne di’oito qui passe par le centre d’un cercle , et qui est terminée de chaque côte par la circonférence. Le diamètre est la plus grande de toutes les cordes.

Rayon EC. C’est le demi-diamètre du cercle ^ ou la ligne tirée du centre du cercle à la circonférence; tous les rayons RC , CD, CT sorti égaux.

Corde O. Ligne droite qui se termine par chacune de ses extrémités ^ la circonférence du cercle, sans passer par le centre.

gg art DK *LKVER LES PLANS.

Sécante. La ligne S qui coupe le cercle, est une

sécante. «. '

Tangente au cercle. Ligne T qui le rencontre extérieurement, et qui le touche sans le couper.

La tangente n’a qu’un seul point de commun avec la circ^férence du cercle ; la tangente est toujours perpendiculaire au rayon qui passe par le point de contact. On ne peut mener qu’une seule linge droite tangente au cercle au même point T : on peut mener plusieurs circonférences tangentes à un même point t.

iS“. 59. Arc. Portion quelconque de la circonférence du cercle ABD. La ligne AB est la corde, la ligne DG se nomme flèche ; toute perpendicu- * lairc sur le milieu d’une corde passe par le centre du cercle, e^par le milieu de l’arc sous-tendu

par la corde.

60. De la division du cercle. Toute circonférence, grande ou petite, se divise en 360 parties égales , qu’on nomme degrés , chaque degré se divise en 60 parties égales, qu’on appelle minutes; chaque minute) se divise en 60 parties égales , qu’on nomme secondes. On représente le den-ré par"* ou °, la minute parce signe', la seconde par celui-ci"; en sorte que pour' marquer 29 de-^rés li5 minutes 51 secondes, on écrit î 29%

Îl6',51"- • ■

Pour diviser le cercle, on trace deux droites

LEÇON ir.

perpendiculaires entre dles AB, ED, qui passent par le centre C : elles diviseront la circonférence en quatre , chacune de 90*. Si des points.A et E pris pour centres , on -fait une intersection en S, la droite qui passera par SC divisera l’angle ACE en deux parties égales de Zi5® ; si des points D et A comme centre avec le rayon DC , on coupe l’arc AD aux points R et r, on aura divisé l’arc -en trois parties, chacune de 30”. Le rayon porté six fois sur la circonférence , la divise en 6 parties égales, chacune de 60\

N*. 61. Déterminer le centre d’un cercle. On mènera une corde quelconque AB. On élève une perpendiculaire sur le milieu de la corde , ce qui donne un diamètre ; si l’on divise le diamètre en deux , on aura le centre demandé, On peut aussi mener une seconde corde, et élever au milieu une perpendiculaire qui coupera la première en un point qui sera le centre du cercle.

N*. 62. L’arc ABG étant donné ^ trouver le centre P qui puisse servir à finir le cercle. Des points A, B, G, comme centres, soient faites deux intersections /*, dj c, e. Les droites, qui passeront par fd et ce, se couperont eh un point P, qui déterminera le centre d’un cercle, dont l’arc ABG appartient à la circonférence, lequel sera la continuation de l’arc donné.

Ce problème est le même que celui de faire passer

une circonférence par trois points qui ne sont pas en ligne droite; ou, encore, que celui, de décrire un cercle qui passe par trois .pointe donnés.

N“. 63. On décrit les cercles ou les courbes de deux manières, soit par un mouvement continu ou par, plusieurs pointe. Le premier est plus prompt ; mais des obstacles forcent souvent d’employer d’autres moyens.

Le cercle sera décrit par un mouvement continu , si une des pointes A d’un compas trace de suite la courbe; la pointe, placée au centre C, ne doit pas changer de place au sommet de l’angle B , qui est la charnière du compas par où la main le tient et le fait tourner.

On se sert du compas pour les opérations du papier; on se sert aussi , sur le papier, d’un compas à verge pour tracer les cercles qui ont plus d’un pied de rayon.

Dans la pratique, on se sert aussi d’un cordeau ' CE , soit double ou simple : dans ce dernier cas , il porte aux extrémités deux boucles ou deux anneaux ; l’un en C , pour tourner autour du centre ,

. «et l’autre en E , pour placer le stylet. Ce procédé est moins exact que ceux déjà cités ; vu que la corde se lâche ou se serre suivant la chaleur ou l’humidité, ou que l’on donne plus ou moins de tension à la corde. •

On se sert aussi du simbleau. CD ( règle portant

Dioiii- ■ ■ '’àno'’'"

• ÏJEÇON IV.

à ses extréçaités un pelit cran ou un anneau pour bien pivoter antour du centre C , et pour maintenir le stylet D) , soit pour tracer des cercles horizontalement ou verticalement , pour servir à poser des pierres en tour creuse ou en tour ronde; ou, pour obtenir la même retombée des claveaux d’une voûte. Pour tracer des cercles concentriques , on percera une série de trous dans l’axe de la règle , et à des distances convenables aux opérations que l’on veut faire.

N". 6û. Tracer un cercle ou un arç de cercle , passant par trois points donnés C , A , D , sans connaître le centre. On réunira deux règles CA AD sous l’angle CAD ; fixant deux pointes , l’une en C et l’autre en D , et plaçant au crayon au sommet dp l’angle A .des deux règles , si l’on fait tourner celles-ci de manière à ce qu’elles rasent toujours les points fixés , le sommet A décrira un ai-c de cercle.

Si l’on prend trois nouveaux points sur l’arc tracé , dont deux soient le restant de l’angle à tracer , et de manière que son sommet soit du cùté opposé à celui du point A , U décrira l’autre segment de cercle qui complète le cercle entier. 11 peut arriver que l’on soit obligé de trarcer un cercle dont le centre ne soit pas visible, ou qu’on , ne puisse s’en servir et faire heureusement cette application.

N"'. 65 et 66. Déterminer une ligne droite égale en longueur à une courbe. Soit la courbe donnée AB on prendra à volonté une ouverture de compas , assez petite pour que l’arc ne diffève pas sensiblement de sa corde , tel que Al que l’on portera jusqu’au bout de la courbe B , il restera une petite quantité B 8 : on aura compassé huit parties, plus B8. •

On tracëta une droite indéfinie kb , n". 66 , sur laquelle on portera les huit divisions, plus la pe^ tite portion restante B8 : on aura la droite kb> égale à l’arc AB. '

1N“. 67. Dévebppement suffisamment exact du cercle dont ABa est la moitié ou la demi-<irconféreheé. On mènera une droite , sur laquelle on portera trois fois le diamètre Aa , plus là cinquième partie de la corde AB : ori aura DE égal à-peu-près à la circonférence, dont le rayon est CB.

Des angles.

Deux lignes qui se rencontrent laissent entre elles une ouverture p4us ou moins grande , qu’on appelle angle. L’angle est rectiligne, lorsque les lignes qui le forment sont droites ; l’angle est curviligne , lorsque les lignes qui le forment sont courbes.

Les lignes qui forment l’angle se nomment côtés \

de l’angle j et le point où elles se rencontrent s’appelle sommet. Les lignes AB , AC sont les côtés de l’aqgle , et le point A en est le sommet.

N®, 68. Pour concevoir la formation de l’anlge rectiligne dont il est ici question •, il faut se représenter qu’une ligne CA était ' couchée sur la ligne AB ; et qu’eûsuite la ligne CA s’est écartée de cette dernière ligne de la quanté CB, égale à Ù6®. tandis que le point A, sommet de l’angle n’a. pas bougé. La niesure naturelle de l’angle est donc l’arc compris entre les côtés et qui a pour centre le point A. *

Supposons AB prolongé en E> on aura les angles EAC et BAC, ainsi deux- angles, dont l’un sera plus grand que l’autre. Un angle qui’ a pour mesure un arc moindre que le quart de la circonférence , tel que BAC , se norflme aigu, et CAE angle obtus ^ parce qu’il a pour mesure un arc de cercle plus grand que le quart de la circonférence. Il aura pour mesure 136®, complément de 45® de l’angle aigu. Une ligne CA, qui tombe sur une autre ligne BE , fait avec cette dernière deux angles qui, pris ensemble, valent toujours 180®, moitié de la circonférence.

On a donné le nom d’angle droit à celui qui est mesuré par un arc de 90®, égal au quart de la circonférence ; BAD , DAE , sont deux angles droits.

N®. 69. Diviser l’angle ETE en deux parties

74 ART DE LEVER lÆS PLANS.

égales. Du centre T on formera ,à volonté l’arc EF ; de ces deux points, comme centre) on fera l’intersection G. La droite, qui passera par- Ijintersection G ét le sommet de l’angle T , divisera l’angle en deux parties égales.

N“. 70. Diviser l’angle CAE en deux parties égales' ( opération à faire sur le terrain ). On prendra à égale distance du point A deux points D et B ; on portera une môme dimension de D en E et de B en G ; on placera un point F dans la diago-r nale DG , EB ; la droite AF partagera l’angle en deux parties égalés.

N°. 71. Les points BAG étant donnés sur le terrain, lever l’angle qu’ils forment entre eux.

On tendra un cordeau qui touchera GAB , et au moyen d’une sauterelle (1) , que l’on ouvrira à volonté , jusqu’à c,S que ses côtés soient en contact avec les deux branches du cordeau. On transportera cet angle sur le papier, au moyen de l’instrument qui servira de règle pour le tracer.

( I ) La sauterelle est composée de deux régies assemblées par un de leurs bouts en charnière , de sorte que ses deux branches sont mobile, pour pouvoir prendre toute sorte d’angles et les rapporter sur un plan quelconque. La sauterelle, qu’on appelle aussi fausse équerre, sert encore à mesurer et à construire des angles : cet instrument rapporte les angles sans qu’on ait besoin de se servir du rapporteur.

On peut également relever un angle sur un plan , et le rapporter sur le terrain.

N". 72. Usage de la sauterelle pour la levée des angles solides. Soit c a b, l’angle à mesurer ; Tes . deux règles étant parallèles , on obliquera le côté inférieur d’une des règles contre le côté b a, eX. on fera mouvoir l’autre côié, jusqu’à ce qu’il touche également le côté de l’angle dans toute la longueur de la règle.

Si le côté de l’angle à mesurer était irrégulier, il faudrait appliquer contre toutes les ondulations de la surface une grande règle, de manière à ce qu’elle embrassât un plus grand espace , et balançât les saillies et les cavités qui n’auraient pu être embrassées par la branche de la sauterelle. Cette blanche DA s’appliquera contre la règle Rr.

On peut mesurer les angles intérieurement et extérieurement.

N”. 73 et 7û. Construire un angle ou un triangle , les lignes ab, ac, cb étant données, soit sur le papier, soit sur le terjain. On prendra avec un compas les distances be, c a^\di distance AD étant égale k ad, on portera les deux ouvertures de compas de D en G et de A en C. L’intersection C fermera l’angle , et les sommets A et D le triangle demandé.

1N°*. 75 et 76. Construire un angle égal à un an-

gle donné. Soit BAC 76 , l’angle donnée ; oft formera avec un compas l’arc BC ; on. formera sur la droite AB 76 , l’arc BC ; on prendra la corde BÇ 76, que l’on portera de B en C 76 ; la droite AG formera l’angle demande.

N*. 77. Compas de proportion. Instrument de mathématiques", qui sent à trouver les proportions entre les quantités de même espèce, comme entre lignes et lignes, surfaces et surfaces.

Ce compas consiste en deux règles de métal, jointes ensemble par un clou et une charnière , en .sorte que leur mouvement soit égal et uniforme , elles ont ordinairement 6 pouces de long, 6 à 7 lignes de large , sur lesquelles on trace six sortes de lignes -, savoir : la ligne des parties égales, celle des plans et des polygones; de l’autre côté, la ligne des cordes , celle des solides et celle des métaux, etc.

Usage de la ligne des cordes. Cette ligne est ainsi nommée parce qu’elle comprend les cordes de tous les degrés du demi-cercle. Soit proposé de faire à l’extrémité A, n°. 76 delà ligne h.b, un angle de 40". Je décris du point A un arc indéfini , dont Je porte le rayon à l’ouverture de 60 à 60" sur la ligne des cordes , parce que le rayon d’un cercle est 'toujours égal à la corde de 60° du même cercle; je prends "ensuite l’ouverture de la

corde de 40®, et je la porte de 4 en c sur l’a^c b kc; enfin je tire , par le point kc, la droite qui donne l’angle de 40°.

N®.' 78. Du rapporteur dans là mesure et la formation des angles. Mesurer l’angle EAB sur le papi.t;r : on appliquera le centre du rapporteur (1) sur le sommet de l’angle , et le rayon e A de l’instrument sur le côté EA du même anglè ; on remarquera sur le limbe du rapporteur, à quel degré l’autre côté AB coupe la circonférence. Si , par exemple , on trouve 40", l’angle EAB est un angle de' 40 ’.

Construire un angle de 17° sur la droite EA. On posera la droite « A de l’instrument sur la droite EA marquée sur le papier ; puis avec la pointe d’un ,crayon ou celle d’un compas que l’on poseVa au droit de D qui correspond à 17°, sur le rapporteur, on marquera ce point et le 'centre A, qui aura été donné d’avance : la droite, qui passera par ces deux points, formera l’angle de 17^ avec EA.

Il en sera de même pour former l’angle de 45° CAF, ou de 135° EAC. ’

(i) Le rapporteur est un demi-cercle de cuivre ou de corue , divisé en i8qo. Le centre A de riiistriiment est désigné par l’intersection de deux droites perpendiculaires. Les 1800 se comptent de droite à gauche et de gauche à droite réciproquement; ils sont marqués par des chifl'res sur le hord de l’instrument.

ART DE REVER lES PLANS.

Des perpendiculaires.

N®. 79 Si Ton divise la circonférence d’un cercle en quatre parties égales, tels que ACBD, et que l’on mène deux droites, par les points AB et CD , elles formeront quatre angles droits, et cés droites seront perpendiculaires l’une à l’autre.

Si par le centre d’un cercle on mène ime droite elle déterminera le diamètre du cercle , tel que CD. Si des points G et D comme centre on décrit deux intersections A et B , la droite qui passera par les deux intersections sera perpendiculaire à la droite CD.

N®. 80. Tous les angles inscrits sur le même arc ABD , A^D , et appuyés sur le diamètre AD , sont des angles droits, et ils ont tous pour mesure la demi-cirConférence.

N®. 81. Elever une perpendiculaire au milieu d’une ligne AB. Des points A et B pris pour centres, et d’une ouverture de compas quelconque, décrivez successivement deux arcs qui se coupent en S et C ; la ligne qui passera par SC sera perpendiculaire à AB et la partagera en deux parties, égales.

N”. 82. Elever une perpendiculaire du point C sur la droite AB. Soit C pris pour centre ; faites avec la même ouverture de compas les deux arcs

A et B. Des points A et B pris pour centres et avec une même ouverture de compas plus graitde que AG , décrivez deux arcs qui se coupent en un point S. La droite , qui passera par S et C , sera perpendiculaire à AB.

N®. 83. D'un point P situé hors de la droite, abaisser une perpendiculaire à la droite KQ. Du point P, avec la même ouverture de compas, décrivez un- arc qui coupera la droite A çt B ef des points A et B pris pour centres décrivez deux arcs qui se coupent en C. La droite, qui passera par P et C , sera perpendiculaire à AB.

N®. 8û. Élever ^ne perpendiculaire à l’extrémité de la droite CD. Du point C, comme centre,. faites à volonté l'arc DEF; du point D , portez le rayon DC de D en E et de E en F , chacune égale au rayon DC et des points E et F comme centres et avec la même ouverture de compas, faites deu% arcs qui se coupent en S. La droite qui passera par S et C , sera perpendiculaire à CD.

Opêlrations que l’on fait sur le terrain sans instrwnents.

N®. 85. Élever une perpendiculaire à l’extrémité d’une ligne, au moyen d’un cordeau, d’une perche ou jalon. On construira le triangle équilatéral, ABD , dont les trois côtés sont égaux, puis on portera sur le prolongement de AB une longueur

égale à ÂB ; les points C et D détermineront la perpendicdlîire à AD que l’on peut prolonger au besoin.

]\“’. 86 et 87. Même problème. Le triangle rectangle étant formé par trois longueurs, telles que ABC, dont l’une aura trois dimensions, l’autre quatre, et la troisième cinq; ces trois lignes rapprochées par leurs extrémités, formeront un triangle rectangle en A , et la perpendiculaire à l’extrémité des lignes Ac , AB. Sur le terrain on prolongera l’angle en plaçant des jalons dans le direction de AB et de AC.

N°. 88. Du point P inaccetsiple ,. abaisser une perpendiculaire à AB. Avec les moyens déjà connus, avec l’équerre ( n". 298 ou 299) , on élévera une perpendiculaire 1 et 2 sur AB ; on placera des jalons aux points 1 et 2 et à égale distance du point A; on placera un troisième jalon dans la direction de AB et de IP; un quatrième à llintersection de 2P et de AB ; un cinquième dans le prolongement de Zi, 1 et de 2, 3; un sixième sur AB , dans la direction de 5P ; on aura 6 , 6 perpendiculaire à AB et égal à 6P ; on aura à la fois la perpendiculaire et la distance dp P à 6. Si le teri*ain ne permettait pas de s’éloigner en dehors de la droite AB , on ferait l’opération suivante :

89. D un point P inaccessible ^ abaisser une • perpendiculaire sur AB. On prendra à volonté un

LEnON IV. M

point sûr AB , et l’on élevera ùne perpendjçttlàire, çnrlaqudle on prendra; deux distances égalés A, 1 et i , 2 ; ou mettra deux jdons,A et 2 f on placera un troisième jalon dans la direction AB et 2P ; un qùâtrièmé à l'intersectjon de AP et,l< -3; un cîiiquième sûr AB dans l’alignement de uii

sixième dans la directions de 6P et dé A, 3'; on 'aura 6 et 6 perpendiculaire à AB, et ‘moitié de PB(d;; •- • . - V . ' >

' Pi». 90 é Sur le papier élever une perpendiculaire au moyen de l’équerre (2). Ce moye'n très^é:^é>ditif , <ûiais peu juste , fait qn’on ne doit jamais se servir de l’équerre pour élever des perpendicu- . laires comme on a souvent , à tort, l’habitude 'de le faire^ il vaut mieux se servir d*es moyens n“’* 81 et 8-2. La' perpendiculaire, élevée au moyen ducon> . pas ebde la règle, est beaucoup plus exacte ; l’équerre sirvir^t avec beaucoup d’avantage, à me-

(i)- J’ai emprunté k l’ouvrage de M.'tiervois, professeur de mathématiques auxécpics d’artillerîe, plusieurs problèmes trèsintéressants , et tous applicables aux opérations géométriques 'que l’on exécute sur le terrain. Voir, ponr les démonstrations , l’ouvrage intitulé : Solutions peu connues de différents pyôhUt^'mes de Géométrie-pratique.

(a) Ëquelre , instrument en bois dur, de la forme du. triangle E, avec ms trou vers le milieu pour la prendre, et la faire' mouvoir avec plus de facilité; il faut, pour s’en iersir , une règle R. •

art I)K lkvïr les Et ans..

net.des parallèle.s.à d’aulres déjà faîtes, si l’on veut, par les point» tracer des lignes parallèles.

J.a 4 r©ite étant traeée et perpeûdiculan-e à la iljoite formée par la . règle , on mènera des .parallèle» à- eette dfoilé d /*, en ajustant le côté de l’éqnerre sm* cette droite, oii en faisant glisser réqoerre le long de la règle ;«0 peut aussi tracer fes lignes àvec.le grand côté de l'équerre , qui ordinairement', est coupé suivant un angle de h5\ (Vontidft.a souvent besoin dans les opérations du

dcs*sin. " ' '

N". 91. On se sert souvent, pour de petites opérations, de deux éepiorpes, lorsqu’oo ne v.eut pas tlérimgér sa règle* et son équerre E; on en place «ne seconde e que . l’on fait couler contre le grand côté ou sur la perpendiculaire , suivant le besoin. Ce moyeu pratique est suÉBsammont juste pour les opéra.tions graphiques qui n exigent pas une

grande précision. *

N°. 92. Pour vérifier une équeçre, .il faut rappliquer contre urte règle et tracer une li^e bien légèrement, puis tourner l’équerre et voir, si le même côté qui a été tourné sens, dessus dessous , coïncide avec la ligne déjà tracee. ^

• ’ ' Des parallèles.

"93. Mener une parallèle à la droile KSh. Des

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