I ART DE UTER ^ PLANS

demandé. Supposons qae D a en. soit le côté , on le prolongera aa bewin , pour portet AB de a en bf on^ènera par b une parallèle à CD } elle dér* terminera le centre dii cercle C, dans lequel, on inscrira le polygone demandé. . . /

Des lignes projrortionnelles considérées dans le cercle. . ..

N 119. Ligrfes dioHes pour servir aux n*^. 120, 122 et. 123. ' \ .

. . N*. 120.' Trouxtr une mo^’erme proportionnelle entre deux droites Ad et Bd. il faut joindre en une ligoe droite-AB les deux droites Ad et Bd; puis du point M , milieu de AB , pris pour centre , décrire la ddml-circonféreace ABC , et élever au point dj de Jonction , des deux lignes données , la perpendiculaire dC : elle sera la moyenne-proportionnelle demandée.'"

-'Toute perpendiculaire Cd", abaissée d’po point C de la circonférence sur le diamètre AB , ést moyenne* proportionnelle entre les deux parties Ad et Bd de.ee diailfiètre. <

K*. 121. Appliédtion dû b®. 120 aux. échelles^ pour, les grandir ou diminuer en propovtioîu On propdse de trouver une fi.gui'c semblable à une autre, de manière que la surface de celle^ii •soit à IçL surface de celte que l’on demande, dans . un rapport donné/ i

On prendra snr nne ligne droite deux parties kd, dB-^ui soient entre elles .dans le. rapport donné , , et sur le milieu AB ou décrira un^emicercle.; ’ du point d ôn élevera l’ordonnée dC, et rom tirera les cordes AC, (JB, on porterit sur la Corde BG l’échelle BX de la première figüre; et, par son extrémité X , on mènera une parallèle à la côrde AC : la pÿrallèle XM sera l’échelle ànrlaandée. '• • .

.Construire une échelle superficielle double d'une autre. Par échelle double on entend une éclielle tell^^e les figures construites d’après cetle-échelle aient une aire.douWp de celles construites sem-' blablement sur. l’échelle simple. Supposons' que la corde AC soit (Tun nombre déterminé de l’échelle, on construira le carré ACr/i La diagonale A/" sera l’échelle demandée, que l’on divisera eu. un même nombre de parties que l’échelle' AC a été Supposée, en avoir. ’

■'Paire Une 'échelle moitié de celle donnée La moitié de la diagpnale kf sera la grandeur 'demandée. ' "

Construire une échelle fftü soit le tiers d’une autre. Soit AB l’échellé proposée ; oü divisera cette» ligne en trois parties 'égales; de l’une- de. ces divisions d, on élevera la perpendiculaire dC , qui coupe le demi-cercle en C : k corde CB sera l’éehelle demandée. ■ , ‘ •

ART Dï ££YSR. LES PLANS.

Potfr avoir une échelle le quart d’Orne autre ', il faut diviser l’échelle.domiée en ^èux parties égales;

Faite une échelle quatre foii pim grande qu’une autre-. If faut ^doubler l'ecbelle connue elle donnera Iq quadruple de. celle’ donnée. < .

JN'“. 122. Trouver, une quatrième proportionnelle à trois droites données kd, ^dj Ed, n“..119. On fofmera un angle quelconque; puis , 'à partir du sommet de l’angle D, on fera D4 égal k la droite Bdj et sur l’autre jambe- de l’angle, on fera Da égal à la droite ’Ad> et J)e égal à £d; on mènera, par le point une droite parallèle ù ebf odtlura bf, quatriènxe proportidnneile. ‘ ■

• N*. 128.- Trouver, une troisième proportionnelle à deuie droites données Bdj Éd. On forme l’angle comfne dans la' figure précédente, et l’on porte la ^oite Ed de I) en la longueur Bd de D en 4 et dè 4 en C ; du point G , on mène une parallèle à cb; la distance de cf sera la^demandée.

,N*. i.'ih.- De T angle de réduction. L’anglpou l’échélle de réd’ïction est un- triangle isocèle dont les côtés AB , AC sont en proportion déterminée avec la base GB ;'au moyen de ce trian^, on peut réduire et grandir suivant des échelles données. , Construction de l’angle de réduction. Sur «ne ligne AB on portera- tel nombre que l’on voudra de parties d’une échelle sur une ligne AB., 30 parties, par exemple, et du centre A on décrira

LZÇOIt V.

l’aïc BC ; on portêrâ^ sur Varc, de B en Ç , 30 parties .de, l’autre échelle ; de l’intersection C , on mènera une. droite AC; elle formera., lé triangle ABC , ôu l’ahgle AC , AB demandé ; au moyen de cet angle, pn ponira' réduire une échelle ou un plan à une autre dimension donnée. Pour l’application, rflyern”. 121.

IV®. ±25. Construction de l’ angle pour grandir. Soient -pris AB oü 80 parties de la petite éehellc, que l’on portera sur une ligne droite en <lécrivant l’arc BC ;* du point B-, on portera la-corde BC /égale à 80 parties de la grande échelle; on aura l’angle ABC ''demandé. Pour l’application , 'ucyrr: n». 121. # • ■ ’

• fiéduction»ou transformation des plans.' ■

N®.1>125 bis. Vropriété du parallélogramme.' La diagonale AG le divise èn deux, triangles .égaux'; les deux diagonales divisent le parallélogramme en quatre, triangles équivalents. L’intersectiôn I des deux diagonales donne le centre de la ligure et le centre de gravité. La parallèle, qui passera par l’intersection l'des- diagonales, divisera le parallélogramme en deux parallélogrammes équivalante. ' ' • •

Deux parallélogrammes ABCD , BACd', 4 pji.onf

96 ART DK tEtïR US rUNS.

même base et. même hauteur, sont çqaivalônts : d’où il suit que deux triangles ABD ,• ArfC , compris entre.Ies mêmes parallèles AB, De, sont équivalents. .On peut donc décrire siir-une ligné donnée ^ une' infinité de tridnglet difféYentf dont (es aires sont égales. , • , . ■

Avec celte figure et cette démonstration , on peut obtenir la solution des problèmes suivants : décrire un triangle isncè/ftABS, étfvdvalertt àu triangle rre/ang’/e- ABC', «n prenant S, milieu de DC', pour sommet, et AB pour base.

On réduira en triangle le -parallélogramme ABCD, en doublant lu base, soît de Bb OU de.ka^ on aura a b S ou ABcrf,-égal à AB(^. lOn réduira de la même manrèû'e le» triangles én parallélogrammes!';. - .• .

I>orsqtie les deux figures ont la môme aire , sans pouvoir être placées l’une sur l’aUtre, les figures sont équivalentes, mais non pas égales. ,

. N®. d26. Réduire en triangle le parallélogramme ABCD. On prolongera BC , et on fçra Ce égal à , BC ; la droite Ac déterminera le triangle ABjC éqnî-' valenteau parallélogramme ABCD. ' . ^

11 en sera de même pour réduire le triangle en paralléio^amme. , ■- ••• • •

N®. 127. Réduire en triangle un quadrilatère, osupétklire lé triangk ABC en- quadrilatère. Du

pointM, miiieu de BC, on mènera MA et sa parallèle CD : le quadrilatère AMCD sera équivalent au triangle ABC.

N“. 128. Abaisser le triângle AED à la hauteur Ab. On mènera, par le point b, une parallèle A AC ; on prolongera. AE, et l’on fera DC parallèle à BE : on aura BCA équivalent à ADC.

N". 129. Le triangle AEC étant donné , l’abaisser à la hauteur P. Par le point P , soient menées une parallèle à AC et une droite à Ae; du point E, une parallèle à Ae, jusqu’à la rencontre du prolongement de AC j la droite a e formera le triangle Cae égal à ACE.

N“. 130. Réduire le quadrilatère ABCD en parallélogramme rectangle. Par les points A et C soient menées les parallèles à DB, et du milieu de BD la perpendiculaire b a, ei par le point D une parallèle à 6 n; on aura le rectangle a b c d égal à ABCD. En raisonnant de la même manière , on réduira les quadrilatères en parallélogrammes, les trapèzes en triangles, dont le sommet est donné; on réduira les triangles en polygones, etc., etc.

N». 131. Le parallélogramme ABCD étant donné on propose de l’alonger de C en E. Au point E on formera le rectangle EFBC ; on mènera la diagonale FC, elle coupera AD en G : de ce poiut G on mènera une parallèle à CE , on aura le parallélogramme HCEI égal à AJBCD.

Réduire le parallélogramme ABCD à la largeur HC. Par le point H, on mènera la parallèle à AB ; et par les points CG, la diagonale CF jusqu’à la rencontre de' AP prolongé ; le point F donnera la liauteur du parallélogramme IICEI.

N“. 132. Décrire un carré égal au parallélogramme ABCD; On prolongera BC et CD , on fera Cd égal à CD; et, sur le diamètre Bd, on décrira le demi-cercle BdE. La hauteur CE sera le côté du carré demandé.

N". 133. Décrire toi triangle égal au pentagone régulier ABD.' Sur AB prolongé , on portera deux fois AB de chaque côté; on mènera les droites dS, on aura le triangle dSd égal au pentagone.

N". X?>k. Réduire le pentagone en trian-

gle sur le cédé AB. On prolongera EA, et l’on mènera au point D la parallèle à "CE ,• on aura le triangle CFE égal à CDE , le quadrilatère ÀBCF sera égal au pentagone. Du point C soit menée une parallèle à BF, on auVa le triangle ABG égal au quadrilatère ABCF.

N". l35. Réduire le pentagone AB CDE en trapèze, et ensuite en triangle i dont l’angle supérieur soit en O. Du point B et du point E on fera la parallèle à CA et à DA , on aura le trapèze HDCF égoil au pentagone. Soit fait le triangle DHI égal au triangle' AHD , et GFC égal à FAC , on’ aura le triangle OGI égal au pentagone. ( On peut varier

la hauteur du triangle AO, et placer le sommet où l’on voudra. ) * •

136. Décrire un hexagone ré gulier ^ égal au triangle ABC- Les angles de chacun des six trijingles , dont se compose l’hexagone, étant de. 60", on formera sur la base AB le triangle équilatéral K&d, dont les angles sont de 60°, on tracera les côtés BD et aD par l’angle C , on mènera une parallèle à AB ; on am'a déterminé le point E à la rencontre de BE. On prendra la sixième partie de EB que l’on portera de B en F st>r le . prolongement de BD. On décrira le demi-cercle </RF sur ilŸ, pris, comme diàmètre ; du point B on élcvera la perpendiculaire BR , on aura BR pour rayon et côté de l’hexagone demandé. Si par lc'‘'point P on mène une parallèle à BD, on déterminera < l’angle BPt de 120°, qui appartient ù l’hexagone ; ori aura le centre du cerqle du polygone, en ■ portant BR de B en c. ' . , .

Obserj/fition. Le triangle ABE est égal au trian,gle ABC, la ligne BR est moyenne proportion-, nelle entre Bd et BF; le triangle BPc est .le sixième de l’hexagone, de même que le triangle B FA est la sixième partie du triangle ABE.

. Pour réduire le triangle ou tout autre polygone, il faut former le triangle nBD comme il convient au polygone désiré:^ et divi.ser BE en autant .de

ART DE Ï.EVEE LES PtANS.

parties que doit en avoir le polygone ; puis en porter une des parties de B efi F.

N". 137: Décrire un triangle dont la surface soit à irès-peu près la même que celle d’un cercle donné.

Soit CB , le rayon du cercle donné , on mènera la lengente AB égal au développement de la- circonférence suivant la méthode du n". 67 ou 66 ; on mènera la droite AC , et on aura le triangle demandé.

139. Décrire une ellipse égale ii un cercle donne. Le diamètre du çercle^AB , et le grand axe CD de l’ellipse , étant donnés perpendiculairement l’un à l’autre, on mènera la droite AD, I et , à son milieu , la perpendiculaire PE ; on fera Erf égüf à ED; rfF sera le-petit axe àe l’ellipse, que l'on portera de F en H et de F en G. Connaissant les deux axes DC et GH de l’ellipse, on la tracera par des moyens donnés n®. 178.- ’ %

Môme figure. Décrire un cercle égal à une ellipse dofinée. Le grand et le petit axe de l’ellipse étant donnés, on cherchera une moyenne' proportion- Tnelle entre les lignes CD et HG, que l’on portera de F en A : on aura le rayon du cercle demandé.

N°. 1Z»0. Décrire' un carré qui soit équivalent à un cercle. On tracera les deux diamètres AF, | BE perpendiculaires entre eux ; on portera le quart' du rayon de F en E, et de F en C. On tra-

cera les cordes AC , AD ; on fera c r égal à-c R , on aura Arpour côté du carré demandé , Ar sera égal au qùart de la circonférence à un 6000*. près.

• Division des plans. '

N*, l^il. Partager le triangle ABC en trois parties égales , par des lignes tirées Vun des qngles, tel que C par exeinple : On divisera la base AB en trois parties égales 1 et 2 ; par ces deux points on mènèra des droites IC, 2C ; elles formeront le partage demandé.

Si le triangle ABC avait 120 mètres de surface, chaque figure en contiendrait quarante.

N“. 142, Partager le triangle ABC en trois parties égales, par des lignes tirées au point D. On mènera la droite DC, et, après avoir divisédabase AB en -trois parties égales, on mènera aux points 1 et 2 les parallèles à DC , on aura GH par ces deux points; on mènera les droites HD, DG; elles feront le partage demandé par les triangles AGD , BDH, et le trapèze DHCG. •

N". 143. Partager en trois parties égales le triangle AFC , les points de division DE étant données à volonté sur la baseKS. On divisera AF en trois parties 1 et 2. Si on mène, par les points 1 et 2 , des parallèles à DC, EC, on aura les droites BE, GD, qui diviseront le triangle en trois parties égales ,

iÙi ART DE LEVER LE:? PLANS.

c’est-à-dire que BIÎF est égal à GDEB et CADG égal à BEF. . r

IN°. iUk- Partager le triangle KKQ en trois parties égales f par des lignes parallèles à la base AB* On divisera BC en trois parties égales aux points 1 et 2 ; de ces points on élèvera des perpendiculaires jusqu’à la rencontre du demi-cercle ; et du point C , comme centre , on décrira les arcs DF, FG, et, par les poipts FG, ou mènera des parallèles à AB* Elles diviseront le triangle ABC en trois parties égales.

N®. ±U5. carré ABCD étant donné, le diviser en trois parties égales. Soit divisé AB en trois parties égales aux points 1 et 2 ; on mènera , par ces poi/its, des droites parallèles aux cotés. Elles divi- .seront le carré en trois rectangles égau$.

. • Si on voulait trois carrés semblables au lieu de trois parallélogrammes, on ferait sur CD le demicercle CED , on prolongenait la droite F en E : la corde DE sera le côté d’un carré égal aux parallélogrammes, et le tiers du carré ABCD; la corde EC donnera le côté d’un carré double dn premier, ou des deux tiers de ABCD. 11 en sera de même de l’hexagone suivant et du cercle n°.

N°. I^i6. Partager l’hexagone régulier en quatre parties égales' , par des lignes parallèles - aux côtés de l’ heicagdne. On réduira en trlàn-gle le quadrilatère ABCD , moitié de l’hexagone, en prolongeant

AB et DC en E; par Iç point B, on mènera une parallèle à AC, on élevera une perpendiculaire sur DF et à son milieu ; et du centre E , avec im rayon égal à EG , on décrira l’arc GH , et par le point H, une parallèle à CB ; elle divisera le quadrilatère en deux; on portera DH de DAj pour avoir la division du pentagone entier.

N“. 147. Partager en trois parties égales un pentagone régulier, par des lignes tirées du centre. On divisera chaque côté du pentagone en trois parties égales ; on mènera par trois des divisions de cinq , en cinq : les rayons AC , BC et DC diviseront le pentagone demandé. .

N®. 148. Application de ce que l’on vient de dire, n". 1-45 à 147. Si l’on fait le demi-cercle ABC sur .un des côtés de l’hexagone , et que Fon prolonge AD» on aura AB pour le côté de l’hexagone qui sera le quart de l’hexagone, n". 148.

IN". 149. Faire un cercle dont l’aire soit -en i^apport don$é avec l’aire d’un autre cercle. Lc cercle II". 149 est triple du cercle C , puisqu’il est construit suivant la proposition n". 146.

N". 160. Diviser le parallélogramme ABCD en quatre parties égales par des lignes dirigées au point E. On mènera une parallèle au milieu de DA et de CB, que l’on coupera en quatre parties égales GIIF ; les droites qui passeront par EF, EH , EG,

104 ART DE LEVER lÆS PLANS.

diviseront le parallélogramme comme il a été demandé.

Assemblage des plans, les agrandir ou les diminuer, les retrancher, les tms des autres.

N®. 161. Doubler le carré ABCD. On prolongera AD, AB et la diagonalé AC ; du centre A on décrira l’arc CE ; la distance AE est le côté du carré demandé FEG : du centre A , Soit décrit l’arc FH on aura AH pour côté du carré double de AEFG et quadruple de ABCD, en continuant, on aura IA pour le côté d’un carré double de AH, et ainsi de suite.

N°. 152. Doubler un carré ou le retrancher d’un autre, les figures étant concentriques. On mènera deux diagonales au carré dont b c est le côté, du centre a on abaissera une perpendiculaire sur b c, puis on fera a e égal à a c; par le point e on mènera une parallèle à 4 cj la droite f g seriale côté* d’un carré double du premier. Si on continue on construira autant de carrés que l’on voudra , ils seront dans la même proportion.

N°. 163. Doubler i tripler, quadrupler , etc. le polygone ABCD. Par un des angles tels que A, ou prolongera les droites AB, AD, AC, AE'; on élevera la perpendiculaire Ba égale à 'AB ; du centre

A on décrira l’arc ab, et du point b on mènera la parallèle à BD , de rf, la parallèle à-DE, etc. ; on aura le pentagone semblable au premier. En continuant ainsi on obtiendra toutes les autres proportig^ns demandées.

N*. l®i Multiplier la surface d’un cercle, autant qu’oÀ voudra , en parties proportionnelles. On prolongera le rayon AR hors -du cercle , et , du point R, on élevera la perpendiculaire Ra égal à AR , et du centre A , avec un rayon égal à A a, on décrira un cercle dont l’aire sera double de l’aire du cercle donné , et ainsi de suite.

N®. 165. Décrire un cercle égal à trois cercles donnés ABC. On formera l’angle droit avec les droites DE, EF, l’une égale au diamètre du cercle A , et l’autre à celui du cercle B ; on fera FG égal au diamètre du cercle C , et perpendiculaire à FD; on aura GD pour diamètre du cercle demandé.

N®. 156. Retrancher du carré ABCD l’aire du polygone P. Qn réduira le carré en triangle ADE, au moyen du n°. 127, et. le plan P, en triangle au moyen du n®. 134 et de la hauteur du triangle AD ; on fera EF égal à ef ; on aura le triangle EFD égal à la figure P ; on formera sur AF le parallélogramme FGHA , égal au triangle.

N°.- 157. Retrancher du triangle ABC l’aire du polygone P. Par le sommet C on mènera une parallèle à la base AB ; on réduira le polygone E en

ART DE LEVER LES l’LA?!S.

triangle, dont la hauteur sera DE, au moyeu du n“. 134 ; OD fera hd égal à Da ; on aura le triangle AC(/, équivalent au polygone P, et par conséquent le triangle BCf/ sera le reste demandé.

L3C01T SIZlâilÆS.

DES OVALES, DES ELLIPSES, DES TANGENTES, DES SEC- TIONS CONIQUES ET DES COÜRBES MÉCANIQUES.

Des ovales et des anses de paniers.

N®. 158. Tracer un ovale géométrique. Le grand axe AB seulement ^tant donné , on fera deux cercles avec un rayon, égal au tiers de AB. Les intersections SS détermineront les centres de segment de cercle T/ qui termine l’ovale en TT, dont les points tengents sont terminés par les rayons SC prolongés. •

1N“. 159. Les deux cercles dont le diamètre est ka, étant donnés, déerire un ovale. ,Oà peut satisfaire aux conditions d’une infinité de manières par le même principe. Des centres CC , faites les droites CD égales entre elles. On les prolongera en AB> du centre D , avec le rayon AD, on terminera l’arc AB, qui sera tangent aux deux premiers cercles.

N“. 160. Tracer l'ovale en anse de panier. La

longueur AB > et la hauteur bE étant données, on * décrira , airs extrémités du grand axe AB , im premier cerole dont le rayon sera moindre que la hauteur ^E. On prendra sur le petit axe br égal à BR , et sur la droite Rr , on élevera la perpendiculaire jusqu’à la rencontre du petit axe prolongé, ce qui déterminera le centre du cercle T b, complément de l’anse de panier. Avec le même rayon CT on lerpiinera l’autre côté.

• Cette figure est une des plus belles et des plus utiles dans la pratique. On. voit que le petit cercle peut se. tracer plus ou moins grand' suivant Te L'esoip.

N*. 161. Construction géométrique de l’anse de panier à trois centres. Le^ triangle rectangle ABC étant donné , on portera' la différence des deux demi-axes. AC et BC de B en a, et Ton élevera sur Aa la perpendiculaire Tr/ on aura les centres aux intersections des rayons Rr placés sur le grand et le petit axe. Le rayon RA décrira le premier, et le rayon rT décrira le deuxième.

N®. 162. Tracer la courbe de l’ovale avec plusieurs cercles t la hauteur AB étant donnée. On décria un premier cercle avec un, rayon égal au tiers de la hauteur AB : un deuxième cercle, avec un rayon moitié du premier ; puis on portera le petit rayon cB sur le grand diamètre de D en C des points Ce. On élevera la perpendiculaire jusqu’à

la rencontre du grand diamètre prolongé en R : on aura le centre d’une courbe tangente au'J^ deux cercles en D et T , et dont le rayon est RT.

•. Des ellipses.

L’ellipse est une des cinq sections coniques; elle ressemble à l’ovalé ; mais elle en diflere. On obtient cette figure en coupant un cône droit ou un cylindre par un plan qui traverse obliquement l’un ou l’autre de ces solides , c est-à-dire non parallèlement à la base.

Cette courbe a deux axes inégaux, le. centre d’une ellipse est le point C , n". 166 , dans lequel se coupent les deux axes. Les deux foyers seront démontrés au n°. 165. '

N"‘. 163 et 164. Tracé de l'ellipsé^ au moyen d’une section faite dans un cylindre. Soit le cylindre AIIBC en projection verticale èt dont le cercle n". 164 est la projection horizontale, et AB la section faite dans cette première figure ; soit pris à volonté sur le cercle des points Gl, 2, 3, et que par cfiacun de ces points on mène des parallèles à l’axe Du, DéT et d3 ; les pa«-allèles à Dd rencontreront la droite en d e f. Si 1 on fait a b ^ n". 164 , égal à AB avec tous les points de divisions qui se trouvent dessus, on aura pour grand axe de l’ellipse AB , «4 , et pour petit axe 3, Si ou e/ 3

ART DE tEVER lES PEA\S.

cgalàDS. Par les Jioints/’erf soient élevées les perpendiculaires di ,e1, fi, égales à «D3 , E2 , Fl ; on aura les points Al-, 2 à B pour points de lï^ deini-ellipse sur le grand axe AB ; et, dans la projection horizontale, les points 3, 2, 1, a, détermineront aussi des points de la demi-ellipse.

1N“. 165. Tracer un ellipse sur le terrain avec un cordeau. AB est le grand axe , et DK le petit axe. On portera la distante CB , égale au demi-grand axe de D en f; ce qui détermine les deux points f et f qu’on nomme foyers; on plantera deux piquets cnccs points ; ensuite on prend une corde égale en longueur au grand axe, on Gxe une extrémité de cette corde en f ; et l’autre extrémité au second foyer f; on tendra la corde, avec un troisième piquet /»,• on fera mouvoir ce piquet en tendant la corde, et il tracera sur le teirain une courbe qu’un nomme ellipse.

La môme opération, peut se f^ire sur le papier ou remplacer le cordeau par un fil et le piquet mobile par un crayon.

Déterminer la tangente, à l’ellipse,» aux points A et T donnés.. sur la courbe elliptique. Les foyers ff étant déterminés ainsi qu’on vient de le dii’e au U". 165 , du premier point A, on'élevera nne perpendiculaire à AB; la droite kt sera la tengente ,du point A'.pour le point T. Soient menées aux

Digitizid I Googli

foyers les droites /*T , on divisera l’angle flf cn deux au point T ; et la perpèndicùlaire Tl j à cette ligne , sera la tangente demandée. •

Normale. La ligne Tn , élevée perpendiculairement sur la tàngente, est une, normale; elle divise l’angle fTf en deux parties égales.

N®. 166. Tracer TelUpse sur le papier. (Ce procédé est le plus utile , et celui qu’on doit mettre de préférence eh pratique ). Il suffit de connaître les deux axes AB et DE , et de marquer sur une règle ou unè bande de papier , trois points cdb, égal CDB ; puis on fera glisser la bande de papier,' de maniève à ce que cd soient, l’un sur le grand axe, et l’autre sur le petit. A chaque mouvement que l’on fera faire à c d , \c point A donnera un nouveau point de l’ellipse, et la ligne qui passera par tous les points déterminés par b, sera l’ellipse. Les points d c, étant en contact avec les axes AB, DE seront des points de la 'courbe demandée. , N°. 167. Tracer une ellipse au mo)en d’un instrument connti et mal désigné sous le nom de compas elliptique. Cet instrument est composé d’une branche carrée de métal ou de bois bien dressé, auquel sont ajoutées trois boîtes en cxTiVvc cdb; elles sont mobiles et à queue d aronde ou à épau- Icment. La coulisse b peut porter une pointe , un tire-ligne ou un porte-crayon,' suivant l’usage que l’on en voudra faire ; deux règles de métal ou de

112 ART DE ^XVER tES PLANS.

bois portent dans le -milieu de leur largeur une rainure de la forme de 1 epaulement que l’oij aura donné aux boîtes cd; les deux règles sont assemblées en croix,' el les coulisses bien, perpendiculaires l'une à l’autre. On Qxera les boites suivant les axes de l’ellipse, n“. 166.

Des tangentes.

La tangente est une ligue perpendiculaire au rayon d’un cercle , n". 68 ; on mène des tangentes à toutes les courbes ; pour les ellipses et autres , voyez les n*". 166 , 180 , et particulièrement

]\°. 168. Mener un cercle tangent à deux droites parallèles DA , EB. On élevera la perpendiculaire BA, que l’on divisera en deux parties égales au point . C; l’arc décrit avec le rayon BC .sera tangent aux deux droites données.

N“. 169. Les- parallèles AC, BD étant données ^ décrire un arc tangent au point D. On élevera la perpendiculaire DG , et la courbe décrite avec le rayon CD, sera la demandée.

Il y a deux solutions du même problème.

N°. 170. Deux' parallèles étant données, décrirs un arc tangent au point A. On formera un carré où l’on abaissera la perpendiculaire AC sur CB ; le rayon CA décrira- la courbe demandée.

Digilized'by Googl

. I.Ef.ON VI. . lis

N". 171. Deux parallèles étant données j décrire une moulure avec deux arcs de cerclé tangents. On formera le rectangle ABDE ; on mènera une droite parallèle à AB, et , au milieu de Æ, ou aura les rayons CA et c C , qui décriront le.S deux courbes tangentes au point t.

IN». 172. Ixs points AB étant donnés , mener deux arcs tangents passant par ces deux points. On mènera la droite AB: on marquera le milieu wijOl, avec le rayon mk , mB , on formera les intersections Ce, qui .serviront de centre pour tracer les deux courbe^

N”. 173. Condition des tangentes; la droite Bè étant donnée J décrire un demi-cercle qui passe par ces deux points. On en prendra le milieu au point A , et le rayon AB décrira le demi-cercle demandé. •

Avec un rayon b a^ décrire un demi-cercle tangent au point b. On prolongera Bè indéfiniment, on portera sur cette droite éa, et l’on' décrira l’arc bC demandé.

Du point G J avec un rayon CD, décrire un cercle tangent au pçint C. On prolongera indéfiniment CB , sur lequel on portera CD; et , du centre D, on décrira l’arc Ce, tangent -au. ^i^int C-t si la longueur de l’are à été déterminée en e, U faudra tirer le rayon cD, sur lequel on recommencera, à placer de nouveau les^ntres des cercles qu’il faudra décrire. .

Avec le rayon DC , on peut mener de deux manières au point C l’arc Ce; car, si l’on portait le rayon DC sur le prolongement de 4C, au lieu de le porter sur le prolongement CB, on aurait la courbe en dehors au lieu de l’avoir en .dedans. '

N". 174. L’angle BAT) étant donnée mener un cercle tangent au point P. De ce point on élevera la perpendiculaire sur AD ; le centre du cercle sera sur cette ligne , et l’intersection de la droite, qui divisera l’angle en deux, n“. 69, déterminera le centre du cercle dont CP est le ray^.

176. Par un point P, mener une droite tangente à un cercle. Du centre C et du point P on mènera une droite, dont on prendra le milieu m; de ce point, avec un rayon égal ^ mC on décrira l’arc CT ; le point T sera le point de contact de la tangente qui passera par le* point P.

N°. 176. Mener me tangente à deux cercles donnés. Ce problème a deux solutions; la première est de faire passer la tangente intérieurement des deux cercles; des centres .Ce soient menées deux parallèles .opposéés' AC , ca ; H droite A a coupera l’axe C c ai^ .point B ; de ce point, comme centre , avec un raynn BC , soient fait les arcs CT cd , on aura les points de- contact Tf par où il faudra faire pas.serla droi^ tangente.

iN°. 1 77. Mener une tangente cxtérieûrrment à

deux cercles. Du centre Ce soient menées deux paralRdes jilsqu’à la rencontre. de la circonférence Dd; de ces deux points soit menée une droite jusqu’à la rencontré de la droite qui passe par les cen,tres des cercles, on aura le point S pour point de concours des tangentes ,T<.

N". 178. Méthode générale et simple pour mener une tangente ,à une section conique, par un point pris au dehors de cette courbe > sans faire usage du centre, des foyers, des directrices , des axes, etc. ; opération de la règle. , . ,

On ne va faire qu’une seule application au cercle (Ij. , . •

Soit P le point donné ; on coupera la 'courbe par deux%écaiites AP, aP, qui concourent au même point; on tracera les cordes kb, aB, et l’on prolongera les cordes Aa, BA; le point C, où elle se croise avec la rencontre des cordes A^, Ba, donnera la directipn de la droite Cr, ainsi qu’ellè déterminera rigoureusement les, points de tangente T r. , . . ' , . • . ;

Le point T ou la corJe Ty étant donnée, on déterminera le point de concours P des tangentes TP, Pï, en formant aCb, dont le sommet se

(i) Pour plus de développement et de démunstratlo'n de ce beau problème j voir le étémoirc de iVl.,Brianchoo/^/our/jaI de VÉcole poljrteehnique , tome 4- . . ' , t > ' •

trouve sur le prolongement 'de T/,* le prolon-'

gement des cordes AB, déterminera le point P.-

Dei sections coniques.

N®. 179. Le cône est un solide qui a pour base un cerclç, qui se termine par le haut en-tine pointe qu’on nomme sommet. Le cône est engendré par le mouvement d’une droite SA, qüi tourne du point immobile S , et qui touche , par son autre extrémité , la base ou la circonférence- d’un cercle ATB. On appelle axe du cône la droite tirée de son sommet au centre de sa base.

Les sections coniques sont des lignes qui naissent de la section d’un cône par un plan.

Si l’on coupe un cône droit par«n ’pfbin ST qui passe par le sommet et vienne réncontrer le centre de la .base, la section sera un triangle.

Si le plan coupant est -parallèle à la base du cône , la'section sera un cercle C.

Si le plan est incliné à la base du côné, et qu’il en coupe les côtés opposés , la section sera une ellipse’E.'

^ le plan coupant continue à s’incliner à la base du cône , de manière qu’il devienne parallèle à l’un des côtés du cône HAA., la section sera une parabole.

Si le plan coupant est parallèle à l’axe , tel que P p/7 , on aura une hyperbole : voilà les cinq géné-

rations des sections coniques. Le triangle cl le cercle ayant été décrits , ainsi que l’ellipse , ou n’en parlera plus. •

N“. 180. Parabole, courbe, dont chaque point est également éloigné <1>’^ point fixe F, qu’on nomme foyer, et d’une ligne droite EH aussi fixe, qu’on. appelle directrice.' l’on tire dé chaque point pris sur la courbe , tel que f, une perpendiculaire à la directrice ^H, cette perpendiculaire sera égale' à la ligne /T, qu’on appelle 'p<ryvrt vecteur. Ainsi, pour avoir chaque point de la para.*. bole, on divisera l’axe ÂB- én un nombre quelconque de parties; et par tous les points 1,2,3,4 on mènera des perpendiculaires à AB ; on prendra El, Ë2 , qvie l’on portera de F l.», 'F2', etc.; les points A/’l' , 2' , 3' , C , seront des points de la parabole.

Tracer une parabole , la hauteur H la. -largeur BC étant données. On vient de voir que les opérations étaient toutes 'assujetties, au foyer. 11 faut donc conjmencer par déterminer lû point F; soient menées la .droite AC et su perpendiculaire CD ; ou prendra le quart de BD poui’ la distance AF et AE : ces deux points étant. connus, on opérera comme on vient de voir. . .

Mener une tangenle à la parabole , le ppint T étant dmmé. On mènera par ce point une parallèle TH à 1 ’axe, jusqu’à Iq rencontre de la directrice

lld AUT DE lEVER LES PLANS.

EU ; du point'H on mènera la droite HF el la perpendiculaire Tf, sur cette ligne FH sera la tangente , et la perpendiculaire T « sur T t sera la normale.

A utre moyen. Du point T soit menée la droite Vf, passant par le foyer et le point T ; de ce point ï soit menée une parallèle à l’axe AB ; la droite qui divisera l’angle TS/’en deux, sera tangente à la courbe. ;

N®. //j/>frèn/e.. Pour tracer cette/ coürbe ,

DF et FA ou F'B étant donnés, on divisera AF et FD en un même nombre de parties 1,2^3; puis par les divisions sur AF on mènera des parallèles à FD, et par les points de divisions sur DF, les droites avec le point B , jusqu’à la rencontre dos parallèles à FD ; on aura b?s points Dl' 2' S'-A, pour points de la courbe hyperbolique. ' ■ -

Déterminer le foyer de l’hyperbole, le« pntn/s DFB étant donnés. Du milieu 'de DF, comme centre, ou décrira le. cercle BE ; on prendra FCj moitié de FE, que l’on portera de D en F-': le point F< sera le foyer de l'hyperbole. • ’

N“J iSsi. Les foyers de l’hyperbole F/", sont deux points situés dans lé plan de la courbe, et qui jouissent de la propriété suivante; la différence des distances de chaque point de la' courbe aux deux foyers est toujours la m'ème.* Chacune de ces distances se nomme rayon, vecteur. Nous savons que dans l’ellipse , la somme des deux rayons vec-

Digilized by Googic

tKr.ON’ vu

leurs est constamment de même grandeur ;■ dans l’hyperbole, c’est la différence tjui e^t ccfnsfàmv ment de môme grandeur.

Les points de' l’hyperbole qui sont sur la ligne des foyers , se nomment les sommets delà courbe, tels sont .dans la figure 185, les points D et d; la distance D</ se nomme le premier axe ; la diffé- , rence des rayons vecteurs est donc constamment égale au premier axe. Le milieu de cet axe est le centre de la courbe. L’hyperbole a*deux tangentes qui passent par le centre et qui ne touchent lliyperbole qu’à l’infini , ces tangentes se nomment asymptotes ; les droites SC , SB sont des asymptotes. Les asymptotes et les sommets étant donnés , tracer les foyers : par les points DS</., on mènera des perpendiculaires à l’axe; elles déterminei’ont les points ii, par la rencontre des perpendiculaires avec le ^ôté du cône ; on mènera des parallèles à l’axe ; du point comme centre avec le rayon eD, on fera Tare DA, et du point A ôn abaissera la pcrpeudlculaire AF ; le point F sera le demandé. i

N“. 182' Ats. Mener une tangente à l’hyperboiei- La position des foyers F/* étant connue, et s’ils ne l’étaient pas, en.leS déterminerait comme à la figure précédente ; et, le point de tangente T étant donné sur la courbe ^ onformera l’anglfc E'f/’, quo

AlU hL LfcVKR LES 1*LA.\S.

l’uû divisera ea deux (oi“. 69). Celte di’oile. Tl sera' la laugeute demandée.

• Des courbes tnécaniqu.s et geomélri^jues.

Les courbes mécaniques sont celles que l’oir décrit par deux mouvements séparés, qui ne dépendent pas l’un de l’autre. Les coarhes géométriques sont celles qui se décrivent 4 la règle et au compas. Le cercle et l’ellipse ayant été traités, ou n’en

N”. 183. Spirale tracée au compas. Soient pris à volonté, sur une droite, le rayon Au, et décrit le , demi-cercle uB du centre a , avec un rayon double du premier ;*on décrira l’arc BC ; du centre A avec le rayon AC, l’arc CD; ainsi de suite, autant que l’on* voudra taire de courbes autpur du centre. •

N". 18Û.' Spirale d’Archimède. Elle peut f^ire plusieurs tours sur elle-même, et autour du point où elle commence, Supposons que AC soit donné pour rayon ; on décrira le cercle , et on le divisera en un même nombre de parties égales qu'on aura mises sur AC. On mènera des rayons par tous ces points de divisions sur la circonterence ; et du point A , comme centre , on mènera des arcs par tous les points faits sur AC. La rencontre des or-

parlera

données arec les rayons détermineront-les points de la courbe ; si le rayon AC est divisé en douze, et la circonférence de révolution en douze aussi, on tracera la courbe par douze points de Cl,2,33, et au moyen d’une règle flexible ou d’un pistolet , on pourra faire la courbe de raccordement.

]\°. 185. Tracer une spirale à plusieurs révolutions. Cette courbe est connue sous le nom de volute. Soit donnée la hauteur AB , ou l’œil ed, on pourra diviser AB en huit parties égales, dont une fera le diamètre de l’œil ; si c’est ed qui soit donné, on portera sept diamètres et demi au-dessus des deux-droites aC, bA, qui se coupent à angle droit au centre de la volute. A la rencontre des perpendiculaires arec le cercle, on mènera quatre cordes et deux droites perpendiculaires entre elles, et dans la diagonale des premières. Elles déterminerontles points 1,2, 3, 4, qui serviront de centres; le premier a pour rayons l,a, le second “2,b, le- troisième 3,c, etc. - •

Si l’on divise en trois 1,3 ou 2,4, on aura les centres des autres courbes qui termineront la spirale.

On tracera un contour intérieur de la volute , en prenant pour centre le tiers de chacune des divisions comprises entre 1,2 ou 5,4; la hauteur du côté a f aura' la huitième partie de AB.

. 186.- Autre tracé plus en grand de l’œil de

extérieur; l’angle donné peut être l’aje comme dans la figure.

N“. 191. A U moyen d’un demi-cercle ou d‘un segment de cercle, construire un arc abngé, ou ce qu’on appelle courbe rampante. .Soit le demi-cercle ABD ; on mènera autant de perpendiculaires que l’on voudra sur le diamètre AB ; on. prolongera ces parallèles jusqu’à ce qu’elles coupent , à une certaine hauteur, la largeur a b donnée ; bn prendra toutes les hauteurs comprises entre la demicirconférence et le diamètre, tel que CD, que l’on portera de c en. d; il en sera de même des autres hauteurs comprises entre AB. La courbe qui passera par les. points aedb sera l’arc demandé. • '

KEr.O» VII.

LEÇIOIT SS1?TIÈ1£S.