DE LA KESURE DES SURFACES

La surface est une figure qui n’a <^e deux dimensions , longueur et largeur.

La surface rectiligne est comprise entre des lignes droites.

La surface curviligne "est comprise entre des lignes courbes.

L’aire d’une surface est le nombre de mètres carrés ou de toises carrées , qui est contenu dans cette surface.

Que le mètre ou la toise soit pris pour unité de mesure de longueur, on voit qu’il faut connaître combien de fois le carré de mesure est contenu

dans une surface donnée ; ce qui s’obtient pour les rectangles et les parallélogrammes , en multipliant un côté 'par l’autre , l',ti,9,16,26j etc., sont appelés les carrés des surfaces qui ont pour unité de mesure 1,2, 3, 4, 5, etc.

(i) Voir I’»rpf ntagp , «leuxièmo leçon.

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La surface des rectangles et des pdrallélograijimes est égal au produit de sa base par sa hauteur. On peut voir les avantages de la table de multiplication page 10, elle fait connaître en chiffre la surface dont les côtés n’excèdent pas le nombre 13. On peut l’augmenter, on aura les calculs tout faits. En voici][des exemples.

N®. 192. Pour avoir l’aire ou la surface d’un carré dont le côté est U mètres; on multipliera U par Zi, et o^ aura 16 mètres carrés pour la mesure de l’aire. La surface d’un rectangle quelconque est égal au produit de sa base par sa hauteur.

IV". 193. Pour avoir la surface d’un rectangle ou parallélogramme , il ne faut que multiplier la mesure d’un coté par l’autre : dans cet exemple : 5 par 3 , on aura 15 mesures carrées. De sorte que les rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases , et ceux qui ont même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

La surface dont nous avons l’idée la plus claire, est celle dont les quatre côtés sont égaux, et les quatre angles droits; donc la mesure naturelle des surfaces est le carré. C’est pour cela qu[on nomme quadrature l’évaluation des surfaces.

On peut voir que ces figures, qui ont un môme circuit, ne sont point égales entre elles, puisque le carré a 16 parties de circuit, que le rectangle a aussi 16 parties, et que le produit du premier

LErON VII.

conlicHt 16 parties, tandis que l’autre n’en con- ^

tient que 15, comme le font voir les petites divisions tracées sur les deux figures. Enfin un carré qui aurait 12“ de côté, kS de circuit,, aurait 14^i”” de surface , tandis qu’un rectangle qui aurait 18” sur 6 , 48” également de circuit , ne donnerait que •104“"' de surface.

M°. 194. Déterminer la surface d’un rectangle dont les côtés sont de 6,76 sur 6,25. On multipliera 6,76 par 6,25; ou aura 42”“, 18,75, dont on pourra retrancher les deux derniers chifires de droite.

N®. 195. Déterminer la surface du rectangle qui a 9,30 de côté sUr 3,36. L’on multipliera l’un par l’autre; le produit sera 31””, 16,60.

N®. 196. Mesurer la surface d’un triangle quelconque. Le triangle ABC étant donné, du sommet A on abaissera sur la base BC la perpendiculaire AP, qui a 11,60 ; la base DC de 32,60 , on la mul^ . tipliera par 5,75 , moitié de la perpendiculaire ; on aura pour la surface 186,87.

La surface d’un triangle est égal à la moitié du produit de sa base par la hauteur ; car le triangle 4 a la même base B C et la même hauteur AP que le parallélogramme BÇDE. Or, un triangle quelconque est toujours la moitié d’un parallélogramme db même base et de même hauteur. En effet, si l’on tire une diagonale AC dans le paralléio-

gramme ADPC, elle, le partagera en deux- triangles parfaitement égaux, puisqu’ils auront leurs trois côtéségaux. Donc le triangle est la moitié du parallélogramme , qui a même base et même hauteur. - •

N“. 197. La démonstration de la figure précédente peut servir à cette* figure : on aura le triangle égal au parallélogramme BCDE, LV étant double de CE.

jV". 198. La surface d’un trapèze .ayant deux angles droits B et C, est égale au côté BC multiplié par la droite EF menée par. le milieu de BC parallèlement aux bases du trapèze, et en général l’aire d’un trapèze quelconque est égal à .sa hauteur multipliée par la demi-somme de ses deux bases AB et CD.

. N“. 199. Mesurer la surface d’un polygone régulier. Sa surface est égale au produit de la moitié de son périmètre parla perpendiculaire abaissée du centre .sur un de ses côtés. Si , du centre C, on abaisse la perpendiculaire CP sur AB, on aural’aire du triangle ABC , en multipliant '/, CP par AB ; ou aura l’aire de tout le polygone, en prenant l’aire du triangle autant de fois que le polygone a» de côtés.

N°. 200. Mesurer la surface d’un polygone irrégulier. On divisera la figure en autant de triangles que l’exigera le nombre de côtés du polygone , et

DiyliiZCc! bj

r,BroN VII.

on cherchera la surface de chacpie triaB^le, comme au n». 196.

N®. 201. Trouver l' aire d’une figure irrégulière. On divisera la figure en rectangles et en triangles, et l’on mesurera chacune de ces figures comme ' on l’a fait au n“. 196, et l’addition provenant du produit de tous ces triangles et rectangles sera l’aire demandée.

Exemples des opA-ations de calcul pmir lesjigures M, N, O, P, etc. , n». 201.