PROPRIÉTÉ DES POLYGONES

57. Tous les angles intérieurs d'un polygone valent toujours^ pris ensemble^ autant de fois 180 degrés quil y a {dans cette figure^ de côtés moins deux.

Nous prendrons pour exemple la figure 25 : elle peut être (ainsi que tout polygone quelconque) partagée, par des diagonales ïnenées d'un de ses angles , en autant de triangles moins deux qu'elle a de côtés, comme on le voit en cette figure : donc, pour avoir la somme des angles intérieurs d'un polygone quelconque , il faut prendre 180 degrés autant de fois qu'il y a de côtés moins deux; car il est certain que la somme des angles intérieurs du polygone ABCEDF est la même que celle des triangles AFD,DAB, etc. Mais on a démontré (51) que les angles d'un triangle valent 180 degrés: donc, etc.

Tous les angles de la figure 25, qui a six côtés, valent donc 720 degrés, ou quatre fois 180 degrés; et ceux de la fig. 72, qui a cinq cô-

tés, valent 540 degrés, ou trois fois 180 degrés. (La grandeur des angles étant cotée sur cette dernière figure, on en peut obtenir facilement la preuve arithmétique).

58. Il suit encore de ce principe, que si Ton prolonge dans le même sens les côtés d'un polygone qui n'a point d'angles rentrans , la somme de tous les angles extérieurs vaudra 360 degrés, quel que soit le nombre de côtés de ce polygone. (Voyez la j*?^. 72 : la grandeur des angles intérieurs et extérieurs de cette figure étant cotée, on peut soi-même acquérir la preuve mathématique de ce principe.)

59. Remai^que : a Dans la fig. 76 bis^ l'angle » CED 5 pour être compris dans la règle généy> raie, doit être compté non pas pour la partie » CED extérieure au polygone, mais pour la » partie CED composée des angles AEC et BED: » c'est un angle de plus de 180 degrés, et qu'on » ne doit pas moins considérer comme angle, » que tout autre au-dessous de 180 degrés. » ÇBezout^ Géom.^ /. 2.)

Nous ajouterons que si aucun obstacle n'empêchait de mesurer les angles des triangles AEC, AEB,etBED, dont se compose la figure 76, qui est un pentagone irrégulier, la somme des angles de ces triangles vaudrait toujours, pris ensemble, autant de fois 180 degrés qu'il y a de côtés dans cette figure moins deux, ou 540 degrés.

{^') L'angle saî]lant est celui dont le sommef est hors de la figure. La figure 25 a tous ses angles saillans. L'angle rentrant est au contraire celui dont le sommet QxilyQ dans la figure. L'angle CED de la fig-ure 76 est rentrant.

Donc le principe énoncé ci-dessus est général ^ et s'applique à tous les polygones quelconques, sans aucune exception.

60. Si le polygone est irrégulier , comme, par exemple, celui de la figure 26 , on peut toujours le considérer comme étant circonscrit dans un cercle qui aurait pour point central E , et dont les extrémités de la circonférence seraient les points ABCDHG3 et, d'après la définition que nous avons donnée des angles et de leur mesure (17), nous dirons que dans tout polygone régulier j, î angle au centre est toujours égal au quo-tient de 360 degrés divisés par le nombre des côtés de ce polygone ; et que V angle à la circonférence est égal à la différence de Vangle au centre à deux angles droits ou à degrés.

Nous allons démontrer ce principe par un exemple : il est évident que tous les angles AEG, GEII, IIED, DEC, CEB, et BEA, 26 , valent ensemble, pris au centre, autant que la circonférence (17), c'est-à-dire 360 degrés. La figure étant régulière, tous les angles sont égaux : donc, si l'on divise 360 degrés par le npmbre des côtés de cette figure, le quotient donnera la valeur de chacun des angles de ce polygone. L'angle au centre de l'hexagone régulier (fig. de 6 côtés) vaudra 60 degrés, et l'angle à la circonférence DHG (et chacun des autres) vaudra le double de Tangle au centre, ou 120 degrés. L'angle au centre d'un pentagone (fig. de 5 côtés) régulier, vaudra 72 degrés, et l'angle à la circonférence 108 degrés ^

or il en est de même pour tous les autres polygones réguliers.

Nous parlerons des surfaces de ces ligures dans la quatrième partie de cet ouvrage.

Il nous resterait encore à expliquer les différentes propriétés des lignes par rapport au cercle 5 etc., de la mesure des angles dont le sommet est à la circonférence j et de ceux placés entre le centre et la circonférence (ces deux espèces d'angles sont en usage en arcliitecture ). Mais, outre que les angles qu'on mesure sur le terrain ne se trouvent point dans cette hypothèse, et qu'ils rentrent tous dans la règle générale que nous avons indiquée (18), nous n'avons pas prétendu faire un traité complet de géométrie (*), mais seulement , nous le répétons, exposer les principes généraux de cette science, qui servent de base à la matière que nous traitons. Nous terminerons donc ici la première partie de notre ouvrage, pour passer à l'application des principes que nous venons d'exposer.

C^) Les personnes qui désireraient faire une étude plus approfondie de cette science, peuvent recourir aux Traités de Géométrie de Bezoutj Legendre, Lacroix, Ozanam, Chompré, etc.