DE LA GÉOMÉTRIE. 25 PROPRIÉTÉS DES TRIANGLES

48. Dans tout triangle le plus grand angle est toujours oppose au plus grand côté; et, réciproquement, le plus grand côté est opposé au plus grand angle. L'angle B du triangle ABC^fig, 10 j qui est le plus graild angle de ce triangle ^ est opposé au côté AC, qui est aussi le plus grand côté de ce triangle. L'angle A, plus grand que l'angle C, est opposé au côté CB, plus grand que le côté AB. Enfin l'angle Cj le plus petit de tous les angles de ce triangle , est opposé au côté AB, qui est aussi le plus petit côté de ce même triangle.

Pour démontrer qu'un plus grand côté est opposé à un plus grand angle, on ne ferait que répéter l'inverse de la proposition précédente*

49. Il suit de ce principe, 1.^ que si dans un triangle tous les angles sont inégaux, tous les côtés sont aussi inégaux, jÇ^. 15; 2.^ que si deux angles d'un triangle sont égaux, ce même triangle a de même deux côtés égaux, fig. 14; 3.° que si tous les angles d'un même triangle sont égaux, tous les côtés le sont également, Jig. 13.

50. Dans quelque triangle que ce soit, deux côtés pris ensemble sont toujours plus grands que le troisième. Cette proposition se démontre facilement par la construction du triangle : car un triangle est un espace renfermé par trois lignes; or, si les lignes AB et CB du triangle ABC, ^g. 11, n'étaient pas plus grandes, prises ensemble, que la ligne AC , le triangle ne pourrait avoir lieu, puisque les lignes AB et CB, partapt des points A et C, ne pouvant se rencontrer, ne fermeraient jamais un espace.

51. Les trois angles d'un triangle quelconque^ étant pris ensemble ^ valent toujours autant que deux angles droits^ cest-à-dire 180 degf^és.

Ce principe est la base de la trigonométrie rectiligne, comme on le verra en son lieu.

Nous passons à la démonstration :

Prolongez indéfiniment le côté AB vers E (^Jîg- 23 ), et tracez la ligne BD parallèle à AC: Tangle CAB est égal à l'angle DBE (45), à cause des parallèles AC et BD. L'angle ACB est égal à 1 angle CBD : donc les deux angles BCA et ACB valent ensemble autant que les deux angles CBD et DBEj c'est-à-dire autant que l'angle CBE ( il est facile d'obtenir la preuve de cette démonstration, en lisant la valeur des angles cotée sur la Jîg. 23 ). Mais CBE est supplément de BCA (21): donc les deux angles CAB et ACB forment ensemble le supplément de BCA : donc ces trois angles valent ensemble 180 degrés«

52. La démonstration qui précède prouve, 1.^ que V angle extérieur CBE (de 125 degrés) vaut la somme des deux intérieurs CAB et ACB qui lui sont opposés ;

2. ^ Quun triangle rectiligne ne peut apoir qiiun seul angle droit ;

3. ^ Quil ne peut apoir^ à plus forte raison, quun seul angle obtus;

HP Qu'il peut avoir tous ses angles aigus ;

5.° Que y connaissant la somme de deux angles d'un triangle on connaît le troisième cfngle^ en retranchant dç 180 degrés la somme

des deux angles connus. Exemple : Les deux angles connus du triangle ACB ^ Jig. 23, valent ensemble 125 degrés ; le troisième vaut donc 55 degrés;

6.^ Que lorsque deux angles d'un triangle sont égauxy le troisième angle est nécessaire-^ ment égal à chacun des deux autres ;

IP Quun des trois angles d'un triangle équilatéral vaut 60 degrés^ parce que, les trois angles étant égaux, leur somme égale 180 de-* grés, dont le tiers est 60 degrés;

8.^ Que les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont réciproquement complémens (19) : car ils ne peuvent valoir que 90 degrés.

PROPRIÉTÉS DES QUADRILATERES.

55. En général, les quatre angles d'un quadrilatère quelconque valent toujours 560 degrés, puisqu'il peut être partagé en deux triangles,^^. 16 et 20; et nous avons démontré (51) que les trois angles d'un triangle valent 180 degrés : alors les angles de deux triangles vaudront, pris ensemble, 560 degrés; donc la proposition est vraie.

54. Lorsque, dans un quadrilatère quelconque, deux côtés sont égaux et parallèles, les deux autres côtés ont aussi ces mêmes propriétés; leurs angles opposés sont égaux, et la diagonale tracée d'un de ces angles à celui opposé le partagera en deux triangles égaux, 17 et 19.

55. Lorsqu'un quadrilatère a un angle droit, et que les deux côtés qui forment cet angle sont

égaux, les trois autres angles sont droits , et les quatre côtés sont égaux : c'est alors un carré parfait, 16, Il en est de même pour tous les parallélogrammes : s'ils ont un angle droit, leurs côtés étant parallèles, tous leurs angles seront droits, etc.

56. Tous parallélogrammes qui ont même base et même hauteur, Jig. 24, sont égaux en surface. Cette règle est générale. Nous en donnerons la démonstration dans la quatrième partie de cet ouvrage.