AF 66 : FG 35 :: AH 125 : HI

ou simplement,

Le quatrième terme donne 62 mètres 5 dixièmes pour la distance HI.

DE l'arpeistàge. 91 L'échelle de la fig. 70 bis est la figure 35. On voit qu'il est toujours possible d'obtenir par analogie les mesures inconnues par les mesures que l'on connaît.

Les carrés des deux côtés du triangle rectangle qui embrassent l'angle droit, fîg^ 70 bis ^ étant ensemble égaux à celui du côté opposé au même angle, il s'ensuit que, pour connaître l'éloignement du point A au point I, il faut extraire ensemble la racine des carrés AH et HL Cette racine sera la distance du point I au point A.

Explication de la figure 84.

Il arrive souvent que des obstacles s'opposent à ce qu'on puisse prolonger suffisamment les lignes d'opération, comme on l'a fait pour la figure 69. Alors on pourra opérer de la manière suivante avec une équerre.

Supposez que la ligure 84 soit un étang qui se trouve dans le cas dont il s'agit : déterminez une ligne GH, aux extrémités de laquelle vous élèverez deux perpendiculaires HI, GF; sur Hî élevez la perpendiculaire IK, et sur celle-ci la perpendiculaire RL, qui servira elle-même de base à la perpendiculaire LM; continuez ainsi, en faisant le tour de l'étang; et si vous avez tien opéré (et que l'équerre soit juste), le rayon visuel ou la perpendiculaire élevée du point E sur la ligne DE passera par le point F.

Sur ces lignes, considérées comme bases, vous obtiendrez les sinuosités de l'étang suivant la manière indiquée dans l'explication de la figure

Le rapport de cette opération est si facile , qu'on en concevra le procédé à la seule inspection de la figure. Il consiste à tracer avec la règle el l'équerre des perpendiculaires l'une sur l'autre, auxquelles on donne des mesures proportionnelles. La direction de la dernière perpendiculaire devra, comme sur le terrain, passer par le point F, si l'on a pris pour base la ligne GH, et commencé le rapport du plan par la perpendiculaire HI.

Explication de la figure 85.

Nous allons encore donner un exemple de la manière de lever le plan d'une figure dans laquelle on ne peut entrer.

Supposez que la figure 85 soit un massif, un bois impénétrable, etc., et qu'il faille en lever le plan avec une chaîne seulement.

Mesurez les longueurs des lignes AB, BC, etc., du polj/gone ou de la figure 85; ensuite prolongez suffisamment les côtés GA en a^ BA en CB en AB en etc.

On a vu ('i'ï) que les angles opposés au sommet sont égaux: donc, si l'on mesure les prolongemens kh ^ Ka^ làc ^ B^^ etc., et les lignes ba^ cd^ etc., on pourra toujours rapporter les angles BAG égal à hAa^ et ABC égal à c^d. Il en est de même pour tous les angles saillans de ce polygone (comme on le verra dans le rapport de la figure). Quant à l'angle rentrant BCD, ne pouvant prolonger ses côtés BC, CD, dans l'intérieur de la figure , on en prendra les mesures, et la longueur BD comprise entre l'extrémité de ces côtés.

On remarquera que^ si l'on faisait Ab égal en longueur à AB, et Ka égal en longueur à AG, on formerait sur le terrain un triangle semblable à BAG (page kl) 5 ce qui vaudrait mieux pour le rapport du plan, et ce qu'il faudra toujours faire si aucun obstacle ne s'y oppose.

Pour faire le plan de cette figure (qu'il faudra rédiger dans un rapport un peu grand afin de mieux déterminer les angles), tracez une indéfinie AB, à laquelle vous donnerez une longueur proportionnelle; prolongez AB en b et et donnez à ces prolongemens leurs longueurs respectives. Du point A pris pour centre, et d'un rayon égal à Ka^ décrivez un arc vers a; puis, du point b et d'un rayon égal à ba^ décrivez un arc qui coupera le premier au point a* Faites de même aux points B et d; ensuite prolongez le côté ak ( du triangle aAb ) en G, et donnez à ce prolongement la longueur proportionnelle AG3 prolongez en G, et donnez à ce prolongement la longueur BC. Du point C pris pour centre, et d'un rayon égal à la longueur CD, décrivez un arc vers D; puis, du point B et d'un rayon égal à BD, décrivez un arc qui coupera le premier au point D; prolongez CD en Jj et donnez à ce prolongement une longueur proportionnelle qui déterminera le point f. De ce point, et d'un rayon égal à Je^ décrivez un arc vers et du point D un autre arc dont la section déterminera le point e; prolongez eD en E, faites ce prolongement égal à la mesure DE : vous déterminerez le point E; prolongez DE en et,

des points E et h pris successivement pour centres, décrivez deux arcs proportionnels dont la section déterminera le point g ; prolongez gE en F, donnez à ce prolongement une longueur réduite égale à EF, et vous aurez déterminé le point F; prolongez EF en et, ayant déterminé le point K par la longueur FK, des points F et K pris successivement pour centres, décrivez deux arcs proportionnels dont la commune section déterminera le point i; prolongez ÏF en G : ce dernier prolongement 5 ou la direction zF, doit passer par le point G déterminé, et la longueur GF doit être proportionnelle à celle du terrain (ainsi que tous les autres côtés du polygone). -C'est ce qu'on appelle fermer un -plan*

On voit, sans qu'il soit besoin d'en donner la démonstration, qu'il est avantageux de prendre les prolongemens kh ^ Aa, etc., les plus grands qu'il sera possible (s'ils n'égalent pas les côtés prolongés), puisqu'ils doivent déterminer les lignes qui forment le polygone.

On espère qu'au moyen des explications que nous venons de donner, on sera à même de lever les plans de toutes sortes de figures avec une chaîne seulement, ou avec la chaîne et Féquerre. Il pourrait encore se présenter quelques obstacles imprévus, et qu'il est impossible de faire connaître en détail dans un abrégé, puisque le traité le plus complet ne peut les prévoir tous; mais avec l'usage et le raisonnement on parviendra toujours à résoudre ces sortes de problèmes.

DE L'ARPEr^'TAGE. 95

Nous avons enseigùé particulièrement la manière de lever les plans avec une chaîne et par des points d'intersection, parce que ce procédé, étant aussi prompt que commode , doit être aussi d'un grand usage , cependant en ayant égard au choix des triangles ^ comme nous l'avons déjà dit {page 78^

Mais lorsque les figures sont d'une grande étendue, ou lorsqu'on ne peut y entrer, il est souvent plus expéditif de se servir d'un instrument pour mesurer les angles : ainsi nous allons actuellement faire connaître l'usage des principaux* instrumens de géométrie dont on se sert pour lever les pians.