AB : BD :: BD : BC

ou 2a : 16,98 :; 16,98 : 12

Le produit des moyens sera égal à celui de^ extrêmes (moins une petite fraction qu'on peut négliger). ^ ^ , . .

Nous pourrions encore donner la solution de plusieurs autres problèmes; mais ceux que nous avons fait connaître suffisent pour passer à l'application de la géométrie à rarpentago. D'ailleurs nous n'avons point prétendu donner dans cet abrégé un cours complet de géométrie, mais seulement (comme nous l'avons annoncé), enseigner ce qu'il importe de savoir pour faire un bon arpentage, et se rendre raison des opérations géométriques.

DES PIANS GÉOMÉTPtîQUES.

TJart de lever les plans consiste à construire sur le papier des polygones semblables à ceux que forment sur le terrain les points dont on veut avoir la position respective. Ce procédé

70 PRATIQtE

se réduit donc en dernière analyse a concevoir des points déterminés en nombre suffisant, et liés entre eux par des triangles, et à mesurer sur les côtés de ces triangles autant d'angles et de côtés qu'il est nécessaire pour les rapporter sur le papier j ainsi qu'il sera expliqué dans cette partie.

Un plan géométrique est une figure équiangle proportionnelle, et par conséquent semblable au terrain qu'il représente. Cette ressemblance se prouve par la similitude des triangles. Nous prendrons pour exemple les figures 57 et 58. La première représente le terrain, et la seconde est le plan de ce terrain. Si l'on imagine les diagonales CA, CD, CE, le terrain sera divisé en quatre triangles CBA, CAD, CDE, et CEF; et si l'on tire les mêmes lignes dans la figure 58, on formera des triangles semblables (et en même nombre) à ceux tracés dans la première, sous le rapport des angles et sous celui des côtés proportionnels. On remarquera encore que ces triangles sont semblablement disposés ; et, les angles de ces triangles étant égaux chacun à chacun, j?^. 57 et 58, leurs côtés seront proportionnels. Il suit de ces deux propriétés que leurs côtés homologues doivent avoir même direction puisque la grandeur des angles dépend de Vécart ou de l'ouverture des lignes qui les forment (8).

(*) Homologue, Ce mot est tiré du grec, et signifie semblable ^ rapportj raison. Les côtés homologues sont ceux, entre lesquels il y a un rapport.

DE l'arpentage, 71

Le terrain et le plan sont donc en propor- Uon* Ainsi l'angle B est égal à l'angle et les côtés BG , BA , sont proportionnels aux côtés bc ^ ba» Alors, si le côté AB est de 470 mètres j ab contiendra aussi 470 parties en proportion avec le mètre (ces mesures se prennent sur une échelle de plan, j^^. 35 et 36) ; il en est de même à l'égard des autres angles et des autres côtés de ces figures.

Il est évident que toutes les lignes qu'on pourrait tracer sur le terrain, ainsi que sur le plan, formeraient des figures semblables ^ ou dont les côtés seraient homologues. C'est pourquoi les plans servent à la division des terrains j comme on le verra en son lieu.

DE LA MxlNlÈRE DE LEVER UN PLAN.

D'après ce que nous venons de dire sur les plans. ^ on voit que faire un plan^ c'est décrire sur le papier une figure qui soit semblable à celle du terrain qu'il représente.

Il se présente ordinairement trois cas : on peut parcourir librement ce terrain; ou l'on ne peut le parcourir en tous sens, et par conséquent y mesurer les diagonales nécessaires pour vérifier l'exactitude de l'opération, mais d'un des angles quelconques de ses côtés on peut apercevoir les signaux qu'on aurait fait placer aux sommets de ses autres angles; ou, enfin, des obstacles empêchent d'apercevoir d'un de ses angles les signaux ou jalons qu'on aurait fait placer aux sommets de ses autres angles.

Premier cas. Supposons qu'il faille lever le plan du terrain ABCFED, j^^; 57, gu'on peut parcourir en tous sens, et apercevoir d'un de ses angles les jalons ou signaux qu'on aurait fait placer aux sommets de ses autres angles; faites le tour de ce terrain, et dessinez-en à peu près la figure-, supposez que ce terrain est divisé en plusieurs triangles par des diagonales CE, CD, CA, tirées d'un de ses angles C à tous ses autres angles; tracez ces lignes sur le canel^'as^ et faites mesurer les côtés de ces triangles , dont vous coterez exacLement les mesures sur chaque ligne respective du canevas (*).

On fera observer que si les diagonales sont un peu grandes, il faut les faire jalonner avant de les mesurer.

Pour faire le plan de ce terrain , construisez une éclielle dont la longueur soit proportionnée à la dimension que vous voulez donner au plan; ensuite tracez une ligne cd^ à laquelle vous donnerez pour longueur autant de parties de réclielle que vous aurez trouvé qu elle contient de mètres sur le terrain; ensuite, du point c comme centre, et avec un rayon qui contienne autant de parties de Téchelle que la diagonale CE, Jig. 57, contir^it de mètres, décrivez un arc vers e: et du point d pris pour centre, et avec un rayon qui contienne autant de parties de Téclielle que DE contient de mètres, décrivez un arc qui coupe le pré-

{^) Voj. la note pag. 54.

DE l'arpeistage. 73 cèdent au point e ; de ce point pris pour centre, et avec un rayon qui contienne autant de parties de Féchelle que le côté EF contient de mètres , décrivez un arc vers f ; et du point c comme centre, et avec un rayon qui contienne autant de parties de l'échelle que CF contient de mètres, décrivez im arc qui coupe le précédent au point J; du point c toujours pris pour centre, et avec un rayon qui contienne autant de parties de l'échelle que la diagonale CA contient de mètres, décrivez un arc vers a; et du point d pris pour centre, et avec un rayon qui contienne autant de parties de l'échelle que le côté DA contient de mètres, décrivez un arc qui coupe le précédent au point a; enfin, de ce point pris pour centre, et d'un rayon qui contienne autant de parties de l'échelle que le côté AB contient de mètres, décrivez un arc vers b ; et du point c pris pour centre, et avec un rayon qui contienne autant de parties de l'échelle que CB contient de mètres, décrivez un arc qui coupe le précédent au point b; après avoir ainsi déterminé les points b ^ f^e^dj joignez ces points par des lignes droites , et vous aurez le plan du terrain ABCFED.

Cette méthode de rapporter les plans par des points d'intersection est expéditive et exacte. Elle est aussi fort commode, en ce qu'on n'a besoin sur le terrain que d'une chaîne, et au cabinet que d'un compas et d'une échelle. On obtient également par ce procédé les angles extérieurs du périmètre, puisqu'il existe un

7Ï PHATÎQUE

rapport entre les angles des triangles et leurs côtés (*) [48].

Remarque. Il est bien essentiel de ne point former sur le terrain des triangles qui auraient des angles trop aigus, ou (ce qui est la même chose) dont l'un des angles serait trop obtus, afin que le point d'intersection soit mieux déterminé : ce qu'on pourrait juger ^ à l'œil et avec la pratique du terrain, en formant des triangles dont l'un des angles serait un peu moins de 90 degrés. Ceux qui approchent le plus d'un triangle équilatéral sont préférables.

Afin de rendre cette méthode familière aux commençans, nous avons tracé plusieurs figures sur lesquelles ils pourront s'exercer, et dont le rapport sur le papier se ferait d'ailleurs comme pour la figure 57. Nous supposerons , comme on a fait pour la figure 57, que les figures 59, 60, 61, 62, 63, et 65, soient des terrains dont il faille lever les plans j mais, afin de simplifier les démonstrations , nous considérerons ces figures comme représentant à la fois le terrain ^ le canevas, et le plan.

Explication de la figure 59*

Après avoir examiné le terrain, faites-en le croquis; et, après avoir fait placer des jalons aux points A, B, C, D, faites mesurer les triangles ABD, ACD, et cotez exactement . ces

(*) Nous démontrerons , dans la Trigonométrie , que dans un triangle quelconque les côtés sont proporiionnels aux simis des angles qui leur sont opposés.

mesures sur le canevas au fur et à mesure que vous les obtenez sur le terrain.

Afin d'obtenir les courbes de la partie du ruisseau DC, faites planter des jalons à tous les angles saillans et rentrans du ruisseau, auxquels vous élèverez des perpendiculaires comme on le voit en la figure. Lorsque les angles sont un peu éloignés de la ligne de base, on se sert, pour élever ces perpendiculaires, d'une équerre d'arpenteur.

Il y a encore une autre manière que nous mettons souvent en usage : c'est (comme on le voit en la figure) de former des triangles sur la ligne de base qui aient leurs sommets aux angles principaux des ruisseaux , chemins ou rivières , puis d'élever sur les côtés de ces triangles des perpendiculaires avec un double mètre , pour obtenir les autres sinuosités des courbes.

Il sera facile, d'à près la méthode indiquée pour le rapport de la figure 57, de faire le plan de celle-ci. Supposons maintenant que cette figure soit le canepas sur lequel on aurait coté toutes les mesures obtenues sur le terrain : tracez une ligne AD, à laquelle vous donnerez pour longueur autant de parties de l'échelle que vous aurez trouvé que cette ligne contient de mètres sur le terrain, formez les triangles ABD et ACD, comme on l'a fait pour la figure 58; et sur le côté DC, rapportez les détails pris sur cette ligne. Pour avancer plus rapidement l'ouvrage, on marque sur cette ligne tous les points desquels on a élevé des perpendiculaires ; ensuite , avec une règle et une équerre, on élève, à ces

points et sur cette ligne, des perpendiculaires indéfinies auxquelles on donne des longueurs proportionnelles j chacun des sommets de ces perpendiculaires sera un des points de la courbe du ruisseau : ainsi il sera facile de la tracer, comme on le voit au plan de la figure 59.

On obtiendra d'autant plus exactement les sinuosités de la courbe de ce ruisseau, qu'on aura élevé un plus grand nombre de perpendiculaires à ses angles saillans et rentrans. Cette remarque s'étendant à toutes les courbes des chemins, rivières, terrains quelconques, nous ne la répéterons plus.

Explication de la figure 60.

Mesurez les triangles CAB, CDB, dont vous coterez les mesures sur un canevas; sur le côté AC du premier triangle, marquez le point E; fic^urez les haies et les arbres dans leurs places respectives, tels qu'ils le sont sur la figure 60. Pour faire le plan de cette figure, on rapportera les deux triangles CAB, CDB, ainsi quon la fait pour la figure 57, et l'on figurera les détails qui sont sur la ligne AC. L'inspection de la figure 61, sur laquelle on a tracé les hgnes d'opération, suffit pour faire connaître la manière de le lever et de le rapporter sur le papier.

Explication de la figure 62.

Faites le croquis de cette figure comme à l'ordinaire; et, ayant fait placer des jalons aux anales les plus saillans du terrain, mesurez les côtés des triangles ACB, CEE, et ADC; et sur le côté

DE LAR.PENTAGE. 77

AC de ce dernier triangle, marquez le point F de la courbe du terrain (on remarquera que les côtés AC et CB du triangle ACB servent de bases aux triangles ADC et CEE. On pourrait établir ainsi une suite de triangles sur les côtés de ces triangles secondaires et assujettis au triangle primitif ACB); sur AB levez la partie du ruisseau AHB; sur EB marquez la rencontre d de la courbe du terrain , et la perpendiculaire ç/, la rencontre c du terrain, et enfin le point E; sur EC marquez le point de rencontre b du terrain, puis le point C; sur CD élevez la perpendiculaire ghj marquez le point de rencontre a du terrain, élevez les perpendiculaires ik^ Im^ marquez la rencontre n du terrain, et enfin le point D. Le côté DA du triangle ADC est une des lignes du terrain. Mesurez aussi la diagonale ou la distance CH.

Nous ferons remarquer que les mesures partielles prises sur chacune des lignes AB, BE, EC, et CD, sur lesquelles on aura coté les détails, devront donner un résultat semblable au premier mesurage qu'on aura fait pour la construction des triangles qui servent de bases à cette figure.

ISota. On est dans Tusage de mesurer deux fois les grandes lignes d'opération. On les mesure d'abord sans interruption; ensuite on marque sur chacune d'elles les différens points de détail qui concourent à la formation du plan, comme on l'a vu pour les figures 59 et 62.

Pour faire le plan de cette figure, construisez par des points d'intersection les triangles ACB^

ADC, et CEB: élevez sur AB les perpendiculaires que vous aurez cotées sur le canevas, auxquelles vous donnerez des longueurs proportionnelles. Rapportez sur les autres lignes les détails que vous aurez marqués sur le croquis, c est -à- dire les points de rencontre du terrain, et les perpendiculaires que vous aurez élevées aux courbes saillantes et rentrantes de ce terrain; et, traçant des lignes de ces points de rencontre au sommet de chacune de ces perpendiculaires, vous aurez le plan de la figure G2. Cette explication se conçoit aisément à l'examen de la figure.

Remarque. Cette figure fera sentir la nécessité de faire un croquis qui donne à peu près la configuration du terrain. Par exemple, la partie CD du contour de la figure indique que la courbe dha est saillante , et que la courbe akmn rentre dans la figure.

On est souvent obligé d'élever des perpendiculaires tantôt à droite, et tantôt à gauche des lignes d'opération , et le croquis indiquant la direction des perpendiculaires aide beaucoup au rapport du plan.

Explication de la figure 63.

Après avoir fait le croquis de cette figure , faites placer des jalons aux points C, E, F, K. P, Q, et B; ensuite mesurez le côté BA du terrain, cotez le point C dans l'alignement de ED, et la longueur totale BA; sur CE cotez le point D, alignez les points E et H en F; sur EF cotez le point H; ainsi que les perpendiculaires

DE l'arpentagî:. 79 aux points I et X, puis la longueur totale E¥ ^ et mesurez la base CF du triangle CEF, commune au triangle CFBj mesurez le côté BK, ainsi que les deux autres côtés BQ, KQ, du triangle KQB (en mesurant BK, on aura coté le point F) 3 mesurez également BV et VQ, et sur BV élevez des perpendiculaires aux points K, S, T5 U; cotez aussi la longueur du côte QP (la perpendiculaire au point Y et son prolongement au point 0) du triangle KPQ, alignez ensemble les points N, F, et sur PK cotez la distance PN, ainsi que les perpendiculaires aux points Mj L, et la longueur totale PK,

D'après ce que nous avons dit sur le rapport des plans levés à la chaîne, on n'éprouverait sans doute pas de difficultés pour construire celui de la figure 63; mais nous allons encore donner cette explication en faveur des commencans.

Tracez une ligne indéfinie à laquelle vous donnerez une longueur proportionnelle BG, et sur laquelle vous construirez le triangle CFB;

(*) Afin de marquer avec plus de justesse les mesures prises smla ligne BV (ainsi des autres), on les cumule : par exemple , la distance de B à la perpendiculaire R est de 25 mèt., RS de 20 mèt.;, ST de 18 mèt., TU de 15 met, et UV de 33 mèt.

Vous prendrez sur l'échelle (%. 35) 25 mèt. pour déterminer îe point Ri /15 mèt. pour le point S, 63 mèt. pour le point T, 78 pour le point U , et 1 1 1 pour le point V, ou la longueur totale BV, et vous aurez tout ce qu'il faudra pour rapporter le plan de ce ferraîn.

Toutes ces mesures se trouveront ainsi cotées sur le canevas, si on les a prises de même sur le terrain , ce qu'il sera toujours très-facile de foire. Nous suivons ordinairement cette marche , comme étant la plus sûre et la plus expéditive.

Les figures 59, 60, 61 , et 62, sont rapportées sur une échelle de 1/2 000.

prolongez BF en K; sur BK formez le triangle KQB; sur le côté BQ construisez le triangle BVQ, et sur KQ faites le triangle KPQ; puis, ayant formé le triangle CEF sur le côté CF, vous aurez rapporté toutes les lignes nécessaires à la formation du plan. Nous passons aux détails.

Prolongez BC en A, et tracez AD et DE surEF^ déterminez le point H par la distance proportionnelle EH 5 élevez avec une équerre, et à leurs points respectifs, des perpendiculaires aux points I et X, auxquelles vous donnerez des longueurs proportionnelles qui détermineront ces points^ puis tirez HI, IX, et XK; sur BV élevez des perpendiculaires aux points R, T, et U; ayant déterminé ces points, tirez BR, RS, ST, TU et UV. VQ est dans l'alignement du chemin : donnez la longueur du prolongement PO , et sur QP élevez une perpendiculaire au point Y, puis tracez QY, YO, Sur PK déterminez le point N, par la longueur proportionnelle PN, et élevez des perpendiculaires aux points M, L; puis tirez ON, NM, ML, et LK. Vous aurez alors rapporté le plan de la figure 65 , avec tous ses détails.

Cette pièce de terre, levée en décembre 1824^ est située sur le territoire de Dijon.

Voici la figure d'un pré situé près Dijon, 65, qui est le résultat d'une leçon donnée en décembre 1824. Nous allons seulement expliquer d'une manière générale la construction des lignes qui ont servi de bases à l'opération, ainsi qu'au rapport du plan de cette figure.

DE l'arpentage. 81

Prolongez la ligne AC du terrain en B, où. vous ferez placer un jalon (ainsi des autres points sur AC déterminez les points K et C; du point K mesurez la ligne KM, sur laquelle vous coterez le point L; du point M dirigez-vous sur le point B 5 de ce point mesurez BD, ensuite DE et EC; delà revenez au point A, et mesurez AI, IK5 KL, et LL On suppose qu'on aura élevé sur les côtés DB, BM, ML, et LI, des perpendiculaires en nombre suffisant à toutes les sinuosités de la rivière, ou au moins à ses principales courbes saillantes et rentrantes. On voit aussi que les points I, L, M, B, et D, ont été choisis de manière à ce que les lignes qu'ils déterminent se rapprochent de la rivière autant qu'il est possible, afin de rendre moins longues les perpendiculaires élevées à son contour. Le plan de cette figure se fera comme celui de fa figure 63, c'est-à-dire que l'on construira d'abord le plus grand triangle KBM, et successivement les autres triangle secondaires dépendans du triangle primitif KBM 3 puis , rapportant les perpendiculaires sur les côtés IL, LM,MB, et BD, vous aurez le plan de la figure 65.

On pourrait aussi vérifier quelques diagonales dans la figure, comme BN ou DN, etc., aligner les points E et C en N sur le côté KM , coter la largeur CN, la distance NL, etc.

Ce que nous disons pour la vérification de cette figure doit s'appliquer à toutes les autres.

On a vu, par Texplication des figures 57, 59, 60, 62, 63, et 65, qu'on peut toujours obtenir le plan d'une figure quelconque lorsqu'on y

peut entrer. NoUiS allons donner actuellement quelques exemples de figures plus compliquées , et la manière de lever les plans de plusieurs autres, dans lesquelles on ne peut entrer, en ne se servant seulement que d'une chaîne, et dans certains cas de l'équerre, comme on l'indiquera pour la figure 68.

Explication de la figure 66.

Si un bois, un étang, un massif de maisons^ etc., se trouvent situés au milieu d'une plaine, il sera toujours facile d'obtenir les plans de ces figures, quoiqu'on ne puisse y entrer. Supposons qu'il faille lever le plan du bois représenté par la figure 66: déterminez la ligne ABj aux extrémités de laquelle vous élèverez avec une équerre les perpendiculaires AF, BK, et ce bois se trouvera renfermé dans un rectangle ABFBj ensuite déterminez sur ce rectangle des lignes qui se rapprochent du bois , telles sont CE, EG, etc. 3 vous formerez ainsi plusieurs triangles CAE , EFG , etc. \ et sur les côtés CE , EG, etc., vous élèverez des perpendiculaires en aussi grande quantité qu'il sera nécessaire pour obtenir toutes les sinuosités du bois; cotez toutes ces mesures sur un canevas, et les distances AC, CD, DB, DM, etc.

Le rapport de cette figure se fera facilement. Formez avec l'équerre et la règle un carré AFBK, proportionné sur l'échelle de plan que vous aurez adoptée. Déterminez par les mesures les points G, E, C, D^ etc.; et sur les lignes GE ,

DE l'arpenïage. 83 EC, etCj élevez des perpendiculaires auxquelles vous donnerez des longueurs proportionnelles : chacun des sommets des perpendiculaires sera une des sinuosités du bois , dont le plan se fera comme celui de la fig. 59 pour le côté CD.

On lèverait facilement aussi avec l'équerre les plans des figures 59, 60, 61, 62, 65, 65, et toutes autres dans lesquelles on pourra entrer (ou qui pourront être renfermées dans un rectangle, comme la figure 66, ou au moins par trois côtés du rectangle) , en déterminant une base au milieu du terrain, et élevant des perpendiculaires aux angles saillans et rentrans de ces figures.

On pourrait d^abord élever des perpendiculaires aux angles les plus saillans ; ensuite mesurer les lignes déterminées par les sommets de ces perpendiculaires (les mêmes mesures serviront aussi à vérifier l'opération), et sur ces lignes secondaires obtenir, en élevant des perpendiculaires avec le double mètre, toutes les sinuosités du terrain. Cette méthode devrait être d'un grand usage, en ce qu'elle est prompte, et qu'elle donne un résultat satisfaisant. Cependant, si, en ne se servant que de la chaîne , on voulait lever les plans ainsi que nous l'avons supposé jusqu'à présent, il faudrait avoir soin de ne former sur le terrain aucun triangle bien aigu, parce que l'intersection se ferait moins exactement. Ainsi que nous l'avons déjà fait observer, il faut aussi mesurer les côtés des figures qu'on arpente, prendre plusieurs largeurs, et toutes les précautions né-

cessaires pour s'assurer , autant qu'il est possible, de l'exactitude de l'opération.

Explication de la figure 67.

La figure 67 représente une cour, deux maisons, et des murs de clôture.

Faites planter un piquet au point C dans l'alignement de AB; mesurez les côtés des triangles CAD et CBE. Sur CD marquez le point Ji&u. mur; sur CE marquez le point i (il faut aussi mesurer la distance hi^^ et le point F, qui est dans l'alignement du côté D^ de la maison. Mesurez aussi F^, et ^D, ou FD, qui est Tun des côtés du triangle FDC. Ensuite , prolongez le côté AD en et cotez la mesure D^. Les mesures des deux côtés D^ et D^ de la maison (dont on a les directions et les mesures) doivent suffire, ce bâtiment étant rectangulaire. Sur ge marquez le point J ; cotez aussi la distance yiE. Sur le côté EB du triangle CBE, marquez les distances E^, et kl^ et prenez la largeur de la petite maison adjacente au mur. Il sera bon aussi de mesurer la diagonale AE , la distance ei^ et le prolongement du côté DF au mur de clôture, comme des moyens de vérification.

Yoici la manière de faire le plan de cette figure.

Tracez une ligne indéfinie AB, à laquelle vous donnerez une longueur proportionnelle (*).

(*) Nous avertissons le lecteur que dorénavant, lorsqu'il s'agira à'un plan , il devra concevoir les mesures dont nous parlerons

DE LARPENTAGE, 85

Déterminez le point C par la mesure AC; du point et sur CB, rapportez le triangle CBE; du même point, et sur CA, construisez le triangle CAD.

Sur le rayon CE déterminez le point F par la longueur CF : vous aurez le triangle du milieu CDF. Le point F se trouvant dans la direction de la ligne De^ déterminez le point e par la distance Fe : il restera eD pour la longueur de la maison. Prolongez le côté AD en dj au point et sur la ligne D^, élevez une perpendiculaire egj parallèle à Dd^ de même longueur, et tracez dg: vous aurez le plan de la maison Ddge. Sur ge marquez le point et , les points E, B, étant déterminés , tracez y^E et EB; sur EB marquez les points k et l ; de ces deux points élevez deux perpendiculaires dans la figure, auxquelles vous donnerez des longueurs proportionnelles (ayant égard à l'épaisseur du mur, qu'il faut ajouter); et à l'extrémité de ces perpendiculaires conduisez une ligne parallèle au mur, qui terminera le plan de cette maison. Sur CE marquez le point et tracez Bl ; sur CD déterminez le point /z; tirez Ahj et vous aurez le plan de la figure 67. Mais il sera bon de vérifier sur le plan la longueur de la diagonale AE, la distance eî^ le prolongement du côté DE au mur, et la largeur hl de la porte d'entrée.

comme étant toutes réduites sur une échelle proportionnelle» Cette remarque est pour éviter de répéter des expressions qui reviendraient trop souvent, et qui pouiraient nuire à la clarté du style.

Explication de la figure 68.

(L'explication de cette figure donnera un exemple de la mé^ Uiode indiquée à la i^age 83 ci-devant.)

Déterminez au milieu du terrain une base AB ; faites placer des jalons aux principaux sommets des courbes, comme aux points u^g^ hj etc.j prolongez la base AB en a^ et élevez les perpendiculaires (*) aVj xy ; puis, vous dirigeant vers B, élevez les perpendiculaires tu ^ de^ sgj qrj op j mh^ IK^Bi; et, prolongeant AB en élevez la perpendiculaire bc : ces principales perpendiculaires doivent être élevées avec une équerre»

Ensuite mesurez les lignes vu ^ ug^ gh y B/ (cette ligne sera mesurée deux fois, à cause des points de détail qu'on doit marquer), [il sera bon aussi de mesurer la distance KB], re ^ et ey.

Sur ces lignes secondaires , déterminées par les sommets des principales perpendiculaires, élevez-en d'autres à toutes les sinuosités du terrain, et en tel nombre qu'il sera nécessaire pour obtenir exactement tous les contours de cette figure.

Il est évident que les mesures de ces lignes secondaires sont une vérification de la première opération.

Lorsque les perpendiculaires sont courtes , on se sert , pour les élever^ d'un double mètre , qui est une règle longue de deux mètres, et divisée en parties égales, que l'on pose de manière à former un angle droit avec la chaîne, et sur le point où j l'on élève la perpendiculaire : ce procédé est aussi prompt que commode*

î)É i'arpentage. 87

Nous ferons aussi remarquer qu'on peut prolonger les perpendiculaires à droite et à gauche de la ligne de base : telle est la perpendiculaire df prolongée au point e. On obtient en même temps une des largeurs ef du terrain) mais pour la rapporter il faut prendre partielr lement les longueurs df de.

Cela étant fait, vous vérifierez les largeurs i/F, gÇi^ ED et /iK, et l'opération sera terminée.

Remarque. Afin d'éviter la confusion dans les mesures à coter sur le canevas, on pourrait d'abord figurer et lever tous les détails du terrain de la partie à droite, par exemple, de la ligne de base, mesurer une seconde fois la même base AB , et employer les mêmes procédés pour la partie du plan à gauche de cette ligne.

1.^ Pour faire le plan de cette figure, tracez une indéfinie AB , à laquelle vous donnerez une longueur proportionnelle prolongée en a et b. 2.^ Marquez sur cette ligne les points x ^

dj m y et Bj et de ces points éle-

vez, avec la règle et l'équerre, des perpendiculaires indéfinies, auxquelles vous donnerez des longueurs proportionnelles. 3.^ Liez par des droites les points de tous les sommets de ces perpendiculaires : vous déterminerez ainsi les lignes vu y ug ^ gh ^ etc. 4.° Sur ces lignes secondaires marquez les points de toutes les perpendiculaires que vous aurez élevées aux sinuosités du terrain , que vous déterminerez, comme à l'ordinaire, par des longueurs proportionnelles; puis, joignant les points des sommets de ces der-

88 PRAÎIQUË

nières perpendiculaires, vous obtiendrez le plan géométrique de la figure 68, dont on pourra vérifier les distances proportionnelles uY^gC^ ED, etc.

No/a* On voit qu'on a suivi dans le rapport de la figure 68 la même marche qu'on a indiquée pour faire l'opération du terrain.

Explication de la figure 69.

Voici une manière commode pour lever sans instrument le plan d^un étang, mare, etc. Après avoir fait le croquis de l'élang représenté par la figure 69, déterminez les lignes AB, BL, LG, GA, autour de l'étang; vous mesurerez les côtés AC, CE et EA du triangle CAE; vous en connaîtrez les angles par le rapport. Faites de mémè pour les triangles DBK, KLI, HGF; vous déterminerez ainsi les angles A, B, L, G, et par conséquent les directions respectives des lignes AB, BL, LG, GA (dont on cotera les longueurs), qui seront déterminées par les prolongemens des côtés AC, BK, LI, GE (8); ensuite vous élèverez des perpendiculaires sur ces lignes, ou sur d'autres auxiliaires, comme FH, EC, etc. ( la première est la corde (22) de l'angle HGF, et la seconde celle de l'angle CAE ), pour obtenir les sinuosités de l'étang.

Nous ferons observer, 1.° qu'il faut prendre les parties AC, AE (ainsi des autres triangles), les plus longues, et leurs extrémités C, E, les plus écartées qu'il sera possible; 2.^ que, pour déterminer les angles, il faut rapporter les lignes qui les forment sur une échelle d'une grande

DE l'arpentage. 89 dimension. Ils pourraient ensuite être mesurés avec un rapporteur.

Le rapport de cette opération se fera facilement. Tracez une ligne AB, à laquelle vous donnerez une longueur proportionnelle ; formez les triangles AEC, DKB ; prolongez BK en et AE en G : vous aurez les lignes BL, GL, dont vous vérifierez les longueurs proportion-, nellesj vous déterminerez sur ces lignes toutes celles que vous aurez mesurées sur le terrain j vous élèverez sur celles-ci des perpendiculaires avec une règle et une équerre, ainsi qu'on l'a fait pour la figure 66, et vous aurez le pîan de la figure 69. On aurait pu aussi renfermer cette figure dans un rectangle.

Remarquez que vous connaîtrez par l'échelle les distances MF, DI, ou quelques autres que ce soit 5 désignées sur les prolongemens des côtés des triangles. C'est pourquoi, s'il s'agit de connaître la distance AR^Jig. 70, il suffit, d'un point C pris à volonté, de mesurer les deux lignes CA, CB ( sur lesquelles vous marquerez les points D et E), et la transversale DE. Cela fait, vous rapporterez sur le papier le triangle ECD par les procédés ordinaires; vous donnerez à leurs prolongemens DA, EB, des longueurs proportionnelles, et vous connaîtrez ÂB (47 mètres) sur l'échelle du plan, Jig. 55. Nous ferons pour cette figure les mêmes observations que nous avons faites pour la précédente, relativement aux triangles et à la grandeur de l'échelle du plan.

Voici une autre méthode dont le principe

90 l^RATIQUE

repose sur les lignes proportionnelles , afin de connaître la distance du point D au point E, ligure 70 bis^ supposant une mare entre ces points. Il faut s'écarter en A, mesurer de A à B5 et de B à C, en faisant l'angle B droit; mesurer ensuite de B à D. De ces trois mesures connues, que nous supposons 24 , 12 et 15 mètres, il faut additionner 15 et 24, qui font 39, et l'on aura la proportion suivante :

ce qui exprime la distance du point D au point E ; le quatrième terme donne 19 mètres 5 dixièmes pour cette distance.

Par une seconde proportion vous obtiendrez la distance FG ( supposant encore entre ces deux points quelque autre obstacle), en disant :

AB + BD ou 39 : DE ou 19,5 :: AB + BD + DFou 66 :X ou àFG

ou, plus simplement,

Le quatrième donne 33 pour la distance FG.

Par une troisième proportion, on aura de même la distance HI, en disant :