DÉFINITIONS

Nous avons dit « qu'un angle a pour me-

» sure le nombre de degrés renfermés dans » l'arc compris entre ses côtés, et décrit de son :» sommet comme centre (18); » mais ce ne sont point les angles mêmes qu'ion emploie dans le calcul des triangles : on leur substitue des lignes qui sont proportionnelles aux côtés des triangles : ces lignes, que Ton appelle des sinus ^ servent à déterminer la grandeur des angles ; nous allons les faire connaître.

61. On di^^e\[e sinus droite ou simplement sinus d'un angle ou d'un arc^ la perpendiculaire abaissée de Vune des extrémités de cet arc sur le rayon qui passe par ï autre extrémité du même arc* Ainsi l'angle DCA, fig. 92, ou l'arc DA (de 45 degrés) aura pour sinus la ligne droite DE.

On peut dire encore que le sinus d'un angle ou d'un arc est la moitié de la corde qui soustend le double de cet arc : car DE est moitié de DF, qui sous-tend l'arc DAF, double de l'arc DA (^).

62. Un angle et son supplément ont le même sinus : car on voit par la figure que la droite DE , sinus de l'arc AD (61), est commune aussi à l'arc GHD, supplément (19) de l'arc AD.

Le complément d'un arc est la différence de cet arc au quart de la circonférence (19). Ainsi

(^) Le sinus KL de l'angle KCG, de 50 degrés, est égal à la moitié du rayon CG ou CA: car ce sinus est moitié de la corde KM, qui sous-tend l'arc RGx\I de 60 degrés; mais cette corde est égale au côté de l'hexagone régulier, que nous avons vu être luimême égal au rayon (60, f\g. 26 ) : donc le sinus d'un arc de 50 degrés est égal à la moitié du rayon.

Tare Dx4l est le complément de Tare ÏID; et réciproquement, l'arc HD est celui de l'arc DA.

63. Le sinus du complément d'un arc s'appelle cosinus : DI sera le cosinus de l'arc AD»

64. La partie AE, Jig. 92 , du rayon , comprise entre le sinus et l'extrémité de Tare, s'appelle slnus-versej HI est le cosinus-verse de l'arc AD.

65. La partie AB de la perpendiculaire élevée à l'extrémité du rayon CA, et interceptée entre le rayon CD prolongé j s'appelle iangénie (*).

On nomme cotangenie la tangente du complément d'un angle. HB est la cotangente de l'arc AD.

66. La ligne CB, ou le rayon CD prolongé jusqu'à la rencontre de la perpendiculaire AB, est la sécante de l'arc AD; celle du complément CN s'appelle cosécanie.

67. Il résulte de la définition que l'on vient de donner des sinus, que le sinus d'un angle droit est égal au rayon : car, plus l'arc AD sera grand , ou plus le point D se rapprochera du point H,jÇg-. 92, plus aussi son sinus DE augmentera; et son cosinus DI diminuera jus-

C^) La tangente de 45 degi^és est égale an rayon : car, si l'angle BCA est de A5 degrés, l'angle CaB étant droit, l'angle CBA vaudra aussi 4^5 degrés; le triangle BCA sera isocèle. A des angles égaux répondent des cotés égaux (/19) : donc AB égale AC.

On démontrerait de même que la tangente d^un arc et celle de son supplément sont égales : car la tangente de l'arc DKG, supplément de l'arc AD, est GN; les triangles NGC et BAC ^ont égaux : donc GN est égal à AB; donc aussi la tangente d'un arc plus grand que 90 degrés est égale à celle du suppléraeni de cet arc.

qu'à ce qu'enfin le point D tombe sur le point H, auquel cas l'arc ADH, ou l'angle ACH, de 90 degrés, aurait pour sinus la ligne CH, ou le rayon; mais, comme le rayon est le plus grand de tous les sinus, c'est par cette raison qu'on l'appelie sinus iotah

68. îl suit de cette démonstration que la tangente AB augmente' en raison de la grandeur de l'arc AD 5 et que la cotangente diminue dans la même proportion , jusqu'à ce que, l'arc AD étant devenu de 90 degrés, la tangente est infinie, et la cotangente est zéro.

69. Supposez que le rayon d'un cercle soit divisé en IO5OOO5OOO parties égales (ou tout autre nombre qu'on voudra), et que l'on ait calculé le nombre que chaque sinus, chaque tangente et chaque sécante de tous les arcs, depuis une minute jusqu'à 90 degrés, contient de ces parties égales (^y^ qu'ensuite on ait écrit par ordre dans une colonne toutes les minutes pour le quart du cercle, et que l'on ait écrit aussi dans une colonne, et vis-à-vis de chaque minute, le nombre de parties égales que le calcul aura déterminé*, vous aurez alors une idée des tables des sinus, tangentes et sécantes.

Ces nombres ou ces lignes , étant proportionnels aux côtés des triangles, sont employés pour fixer la grandeur des angles. On peut^ par

(^) Si l'on suppose le demi-diamètre CG divisé en 10,000,000 parties égales, et l'arc KG de 30 degrés, le sinus d'un arc (61) étant la moitié de la corde, ou sous-tendante du double d'un pareil arc , la corde RM, de 60 degiés, étant égale au demi-diamètre (ou au côte de rhexagone régulier) CG, KL, qui est le sinus de 50 degrés, sera égal à la moitié de CG : il sera donc de 5,000,000 parties.

KECTÏLIGNE. 161

le moyen de cette table 5 assigner quel est le nombre de degrés d'un angle dont le nombre de parties du sinus serait connu ; et réciproquement, connaissant le nombre de degrés et minutes d'un angle, on peut assigner le nombre de son sinus.

70. Les nombres qu^on a trouvés d'après le rayon qui a servi à construire les tables, s'appliquent aux sinus, tangentes et sécantes de tel autre cercle qu'on voudra, dont le rayon sera connu, suivant ce principe : Dans les cercles inégaux^ les sinus^ tangentes et sécantes des arcs semblables ont même raison aux rayons de leurs cercles. (Euclide)*

Les rayons AC, Ali. ^fig^ des deux portions de cercle ACEF, AKLG, sont inégaux; mais les arcs CE, KL, étant semblables, ou d'un même nombre de degrés, il y a même raison du sinus BE au rayon AE, que du sinus IL au rayon AL. Il y aura aussi même rapport de la tangente CD au rayon AC, que de la tangente KM au rayon AK, etc. (Voyez les lignes proportionnelles, problèmes XVI et suivans.)

Après avoir calculé les sinus, tangentes, etc., on a aussi calculé leurs logarithmes, qu'on emploie dans le calcul des triangles, comme nous le ferons voir bientôt. C est pour cette raison qu'on a fait des tables qui renferment les logarithmes des sinus et ceux des nombres naturels (*).

C'") Les tables des logarithmes des nombres les plus élendues^^ ne vont que jusqu'à 20^000; les tables ordinaires ne yont qu'à 10,000 ou 10,800.