ETUDE THEORIQUE

Primes.

L'assurance ne peut se concevoir sans le versement d’une prime. Celle-ci représente « la part imposée dans l’ensemble des risques à chaque patrimoine considéré comme élément de contribution » (Chaufton) ou comme le dit plus techniquement de Courcy, c’est « l’expression de la probabilité de l’événement redouté ». Le calcul des probabilités est destiné à évaluer cette probabilité, calcul des chances favorables ou défavorables à la réalisation d’un événement incertain : « Dans une série d'événements indéfiniment prolongés, l’action des causes régulières et constantes doit l'emporter à la longue sur celle des causes irrégulières ». D’où l’application de cette règle dite « loi des grands nombres » qui exprime un résultat constant ou sensiviement constant.

Sans nous étendre sur les généralités concernant la prime d'assurance, disons simplement qu’elle représente la valeur du risque constatée par l'expérience et le calcul : c’est le prix de revient du risque. Elle s'appelle alors prime pure, ou encore prime nette ou prime théorique. Elle ne doit, en principe, procurer à l'assureur ni bénéfice, ni perte. Mais il s’y ajoute un certain nombre d'éléments, comprenant les frais généraux de gestion de l’entreprise d’assurance, les frais d'acquisition des contrats, les frais d’encaissement des primes, les frais de liquidation des sinistres, plus un certain bénéfice. Ces éléments se nomment les chargements et la prime majorée de ces chargements porte le nom de prime brute, ou encore prime chargée ou prime commerciale. La prime simplement majorée du chargement pour frais de gestion s'appelle prime d'inventaire.

Pour reprendre la formule simple de M. Hémard : « La prime pure est la valeur actuelle du risque pris en charge par l’assureur, d’après le calcul des probabilités sur la base des statistiques ». Cette valeur est loin d’être égale à sa valeur nominale ou à la somme assurée, car l'obligation de l’assureur de fournir la prestation n’est qu’éventuelle. Elle n’est qu’une fraction de cette somme, fraction exprimant l'évaluation des chances de réalisation du risque.

La prime représentant un état d'équilibre entre les engagements de l'assuré et ceux de l'assureur, il faut nous demander avant toute chose quels sont ces engagements en matière d'Assurance Complémentaire.

Les engagements de l'assuré consistent à payer, tant qu’il est valide et tant que le contrat-vie est en cours, une prime que nous appellerons, selon la notation actuarielle internationale Il”’x. Cette prime I’’x est la prime brute annuelle.

Les engagements de l’assureur consistent dans les diverses prestations que nous avons étudiées, à savoir :

1° Payer une indemnité mensuelle de maladie qui est égale au douzième de la prime-vie et au douzième de la prime complémentaire, donc égale, si nous appelons P’x la prime brute annuelle de l’assurance-vie, à P’x + I’

durée supérieure à K jours, étant entendu que ces paiements sont effectués par mois échus, le prorata au jour de la guérison étant acquis à l’assuré ;

et cela pour toutes les maladies d’une

2° Payer une rente mensuelle d'invalidité égale aussi P”’x ne IX.

jusqu’à confirmation de l’état d’invalidité ;

3° Payer une rente annuelie égale à la prime-vie P’x, à partir de la constatation de l’état définitif de

l’invalidité permanente et absolue, jusqu’au terme de la police-vie ;

4° Payer une rente annuelle Ci, également jusqu’à l'expiration du contrat d’assurance-vie.

: Ou, si l’on veut, en réunissant les paragraphes 2, 3 et 4, payer une rente d'invalidité annuelle égale à (P’x + Ci). Par mesure de simplification, on peut en effet admettre que cette rente est due dès le début de l’invalidité, la prime 11”’x cessant d’être due par l’assuré à ce moment.

Par conséquent, cela revient à calculer la valeur, au début de l’assurance, pour un individu d'âge X et de profession déterminée

a) D’une indemnité de maladie ; b) D'une rente d'invalidité.

Les statistiques utiles à ce calcul devraient comprendre les bases suivantes :

1° Une table de morbidité ;

2° Une table de mortalité générale ;

3° Une table d’entrée en invalidité ;

4° Une table de mortalité des valides ;

5° Une table de mortalité des invalides.

Et ceci par profession ou par groupe de professions similaires. En réalité il suffira de considérer :

1° Une table de mortalité générale qui tiendra lieu de table de mortalité des valides et de table de mortalité des invalides. En l’espèce, on choisira la table À. F. dont nous avons déjà parlé. Solution raisonnable si l’on observe qu’en fait les taux de la tabie A. F., par rapport à la mortalité réelle des assurés, représente une mortalité aggravée, se rapprochant, par conséquent, de la mortalité des invalides ;

2° Une table d'entrée en invalidité. — Nous avons inséré au chapitre II des extraits d’un certain nombre de tables. La partie la plus délicate sera justement de choisir la ou les tables convenables selon les catégories professionnelles envisagées : ainsi les tables de Zimmermann fourniront des données acceptables, bien qu’anciennes, l’une pour les professions sédentaires, l’autre pour les travailleurs manuels. Si la définition de l’invalidité, adoptée comme critérium de l’assurance, tient surtout compte de la profession, on peut utiliser la table dite Tables des Pensions Suédoises; si elle vise la définition physiologique, on peut adopter la table plus récente, établie en Amérique, dite Inter Company… etc. Dans l’article de l'Assurance Moderne, déjà plusieurs fois cité, l’auteur établissait une table arbitraire en partant de la table Inter Company, estimant,

à juste raison, que la multiplication des chiffres décimaux était pure illusion. Il arrivait ainsi à des résultats simplifiés, amplement suffisants pour un calcul qui doit, malgré tout, subir une certaine marge d’indétermination. Voici cette table : (taux pour mille, âge de cinq en cinq ans)

AGE TAUX AGE TAUX 20 1,7 45 2,3 25 1,7 50 2,9 30 17 55 3,9 35 1,8 60 6,6 40 ee

3° Une table de morbidité. — Outre la table de P. de Laffitte d’après Hubbard, dont nous avons déjà parlé, il existe la table Heym, table allemande dont les observations ont été fournies par les caisses mutuelles de Leipzig et qui a servi à l’évaiuation des charges de l’assurance sociale maladie de 1888 ; une table anglaise dite Table des actuaires anglais (Actuarial advisory Committee) qui est due à l’expérience, en 1912, des Sociétés de Secours Mutuels ; enfin la table suïsse de Kinkelin. C’est la table de P. de Laffitte qui indique les taux les plus bas : cela tient à ce qu’elle exclut les courtes maladies. Les résultats des autres tables sont assez voisins. Voici d’ailleurs quelques extraits de ces tables : (les chiffres indiquent le nombre de jours de

maladies à chaque âge)

ACTUAIRES

AGE De LAFFITTE HEYM KINKELIN ALL

Ayant alors choisi les tables utiles à notre calcul, il ne nous reste plus qu’à entreprendre celui-ci. Notre intention n’est pas d'étudier à fond le calcul actuariel appliqué à l’Assurance Complémentaire mais, en reproduisant sommairement les études techniques qui ont été faites à son sujet, démontrer que l’on peut parfaitement concevoir rationnellement l'assurance de ce type (!)

Reprenons donc les engagements de l’assuré et de l’assureur :

1° Engagements de l’assuré : payer la prime complémentaire I”’+, annuellement, tant qu’il reste valide 4 en considérant un contrat souscrit à l’âge x pour n années, les primes étant au nombre de k, k étant naturellement inférieur, au plus égal, à n, cet engagement s’écrira : (?)

dk — 1 a

(1) P.-J. RicHarr. Etude sur l’Assurance Complémentaire de l’Assurance sur la vie. Paris. 1911.

(2) Rappelons brièvement iles principes du calcul des intérêts

où a“ représente l’annuité pour une tête valide et T demeurant valide dans le cours de l’assurance,

2° Engagements de l'assureur :

a) Paiement d’une indemnité mensuelle égale à

composés. La valeur acquise par une somme C placée à intérêts composés au taux À au bout de n années est :

K=C(i+1 On appelle « valeur actuelle >» du capital K payable dans # années la somme qu'il faudrait placer actuellement à intérêts

composés pour avoir au bout de n années le capital Kn. Cette somme s'écrit donc :

Kn GED ‘Si l’on pose nl I TAN ere On a C = Kw”

On appelle « annuité certaine » «a la valeur actuelle d’une suite de versements égaux à 1 franc, effectués chaque année pendant # années. Donc, en supposant les versements effectués en fin d’année, on à :

a Le le + ...... v So (To io + ..... ) T — pr A enrges

{formule de la progression géométrique) Si les versements sont effectués au début de l’année en appelant A la valeur certaine, on à :

A" —1+v ele ee v D'où cette relation entre

a” et A”

AA Ua qui est fondamentale et valable également pour les annuités via- .&ères.

(Le Manuel technique et pratique de l'assureur-vie, par Paul EsvTiennx. Editions de l’Argus 1938.)

P’x + x rh } UPÉX A AT

1500 ou quotidienne égale à CT TE pour toutes les maladies survenant entre l’âge x et l’âge (x + k). Par conséquent, en admettant que le paiement est effectué à la fin de chaque mois et en supposant que les maladies commencent au milieu d’un mois civil, la valeur de ces paiements au début de l’assurance est

2 f} mit Pa — L: (ai) d 365 1k %

b) Paiement d’une rente annuelle d'invalidité égale à P’’x à partir de la fin de l’année où l’invalidité est constatée jusqu’à l’âge (x + k-I), époque du paiement de ia dernière prime. D’où sa valeur :

" ai La ll PEN

où «a représente l’annuité pour une tête valide

d'âge x devenant invalide;

c) Paiement d’une rente d'invalidité égale à Ci, intérêt conventionnel du capital versé par anticipation à partir de l’invalidité jusqu’à l’âge (x + n) ou jusqu’au décès de l’assuré. Pour la commodité du calcul les actuaires supposent que l’invalidité et le décès surviennent toujours au milieu de l’année. Il en résulte que la rente d'invalidité Ci sera payée au milieu de chaque année, le premier terme étant payable un an exactement après la constatation de l’invalidité et le dernier au moment même du décès, s’il survient avant l'expiration du contrat. Si, au contraire, l’assuré invalide est vivant à la fin de la même année, l’assureur reçoit, à ce moment, le capital qu’il a versé par anticipation et, le dernier terme de la rente ayant été, par hypothèse, versé six mois auparavant, l'assureur n’est

censé verser à la fin de la n° année que l'intérêt du capital C pendant une demi--année au taux annuel à,

soit :

C Re 1 Vi+i — ]

étant ce qu’on appelle le taux équivalent semestriel.

Nous avons vu que — %. Donc, la formule ci-des-

C (or 1)

Cet engagement a alors pour valeur :

a) La rente d'invalidité payable au milieu de l’année;

sus devient :

1 ‘ ai ua Ci a Un —1 zx

b) Le capital versé par anticipation, capital différé

E“ d'intérêt à | : 1 C (o RU 1)

comme nous venons de le voir. Au total :

vz Ci ln que l’on peut encore écrire, en transformant la formule :

Ave ai A ai vz Ci a —0C(l—vzlE ln æ n æ c) Enfin l'assureur doit couvrir ses frais généraux et payer les commissions aux agents. En supposant la commission réglée en une seule fois au début de l’assudance, de symbole <, « étant donc fraction de la prime, et en admettant que les frais généraux se montent à

un pourcentage > de la prime annuelle, tant que le contrat-vie est en cours, la valeur totale de ces frais se monte à :

1° Commission unique

LA

LA

2° Frais généraux totaux

# a A, ( +,,a) étant entendu que ce terme comprend également le chargement pour bénéfices.

Au total :

SEC RNTT (i + an) Nous possédons donc maintenant les éléments com-

plets du calcul de la prime complémentaire. Réunissonsles. Il vient :

1 ai EE ai “ + Civ ? FAC — cf — 0 2 ).E = I

+ NT (1 Mg ) D'où, en mettant Il”’x en facteur :

#” [ Po s I, [a à) ê ne HA a ET À eu Fe

] La PADUN, SAN) TE ter as — ç 365 nat He |

tr OV st 4 0(1-0+) Re 3 œ n

qui est la valeur actuarielle de la prime.

Si l’on fait application, par exemple, de cette formule à une assurance-vie entière à primes viagères, le facteur k disparaît et nous obtenons la valeur de la prime suivante :

[4 — —, ] = ne [a ( + an) — a" — me (2°) 1 — | TZ T T CE

1 A re =P.| (es)1 + «x A

M. P. J. Richard, en appliquant à ses formules les résultats des tables de Zimmermann, pour l’invalidité, Bentzien pour la mortalité des invalides, P. de Laffitte pour la morbidité et la table A. F. pour la mortalité - générale et en prenant 3,50 % comme taux de capitalisation obtenait le tarif complémentaire suivant :

(assurance-vie entière à primes viagères)