AGE CATÉGORIE I | CATÉGORIE I
En 20 20 % fonction 25 24 % de la 30 29N7 prime 35 35 % vie. 40 * 43 % Garantie I — Combinaison complète.
Garantie II — Exonération des primes seulement.
Et pour une assurance mixte 20 et 30 ans :
AGE MIXTE 20 ANS | MIXTE 30 ANS En 20 25 % 4 % fonction 25 34 % 62 % de la 30 49 % 84 % prime 35 7,6 % 12,6 %
vie. 40-474 | 11,6 % 25,5 %
Ii en concluait avec juste raison qu’il est illogique d'appliquer le même taux de surprimes, pour des assurances d’une durée donnée, quel que soit l’âge d’entrée, que pour des assurances de durées très différentes comme les mixtes de 20 et 30 ans.
L'auteur de l’article paru dans l'Assurance Moderne, dont nous avons déjà cité l'étude approfondie, faisait la même remarque et donnait l’exemple suivant :
1° Mixte 25 ans, pour un âge de 25 ans, de 10.000 fr. Prime : 335 fr. Rente : 5 %, soit 500 francs. La prestation totale est donc 835 francs, soit la prime plus 149 Z de cette prime;
2° Mixte 30 ans, pour un âge de 25 ans, de 10.000 fr. Prime : 278 francs. Rente : 5 %, soit 500 francs. La prestation totale est donc 778 francs, soit la prime plus 180 % de cette prime.
Ce qui prouve bien que lorsqu'on calcule la prime complémentaire en % de la prime-vie on n’obtient pas une mesure proportionnelle.
Il en concluait que, même si l’on ne voulait pas
entrer dans les calculs compliqués, il fallait essayer de faire mieux que les estimations grossières actuellement utilisées. Et il donnait un exemple de calcul simplifié qu’il nous faut reproduire, parce qu’il représente exactement un moyen terme utile entre le calcul actuariel complexe et l’empirisme pratiqué.
Posons a" annuités à servir à partir de l’âge
æ: + ; s à x + k d'entrée en invalidité. Le taux d’entrée en invalidité étant ?, } x, la prime du risque s’écrira :
es im —k)
fa + k LA + k
C’est la prime pure « schématique » puisqu'on y néglige le mode de paiement des prestations. Pour avoir la prime commerciale 17” il suffira d’ajouter deux chargements < pour les frais d'acquisition, x pour les frais de gestion. Sachant que le chargement des frais de commission s’ajoute à la prime brute IT” et le chargement des frais de gestion à la prime pure II nous avons donc :
"= x + Àx + II” =NH(l+àù +" d'où I’ (1—<s)—=I(1 +) et ju. II (1 +2) ep (lee)
Ce qui nous donne, en attribuant à sa valeur déjà calculée, la prime commerciale :
ÿ in —k ee (1 + à Fa PR }
(lis)
Mais cette prime commerciale, puisqu’elle comporte le facteur x + k, est variable d’année en année, selon Pâge atteint x + k. Pour des raisons pratiques et com-
merciales il est cependant préférable d’avoir des primes. constantes. Il faut donc préciser le mode de calcul :
Soit an (! Jes annuités à servir à un invalide. Elles: ont pour ‘valeur la différence entre
1° La valeur a” des annuités à servir pendant n années à un assuré d'âge initial x, sans tenir compte de son état d'activité ou d'invalidité ;
20 La valeur y“ des annuités qui seraient ser-
vies pendant l’activité seulement.
Donc :
ar in { & n po = 9° — AN C’est la mesure de la prime unique.
Pour avoir la prime annuelle il suffit de penser qu’elle n’est à payer que pendant l’activité : par conséquent si À représente des annuités payables d’avance, en réalité les primes remboursées, on aura pour la prime pure :
ai (n) AT À, d’où la prime annuelle commerciale :
»s (l+2x) a” 1 AN LS ES
C’est une formule notablement simplifiée par rapport à la formule Richard, mais dont l’ordre de grandeur
est suffisant pour une application pratique facile.
IT
Réserves.
Il faut dire quelques mots aussi des réserves et de leur mode de calcul en Assurance Complémentaire.
La loi du 17 mars 1905 et celle du 19 décembre 1907 ont rendu obligatoires la réserve mathématique et la
réserve de garantie en matière d’assurance sur la vie et de capitalisation.
Rappelons que la réserve mathématique est la somme que prélève l’assureur sur la prime encaissée et qu’il « capitalise afin de maintenir l'équilibre entre les. valeurs respectives des engagements de l'assureur et de l’assuré » (1). Elle est égale à « la différence entre les valeurs des engagements respectivement pris par les assureurs et les assurés » (?). À chaque instant la valeur de cette réserve ajoutée à la « valeur actuelle » des primes que l’assuré a encore à verser, doit permettre de satisfaire aux engagements futurs de l’assureur. On donne également ce nom au capital que doivent constituer les compagnies d'assurance contre les accidents pour garantir le paiement des rentes au profit des victimes d’accidents : ainsi cette réserve a été rendue obligatoire par la loi du 9 avril 1898 sur les Accidents du Travail, et par le décret du 3 juin 1936 en matière d’accidents d'automobiles.
La réserve de garantie, que nous laisserons de côté, est destinée à parer aux écarts qui peuvent se produire entre les prévisions des assureurs et les réalités en ce qui concerne, soit la mortalité, soit les revenus des fonds placés. Les conditions de constitution de cette réserve sont déterminées par des décrets de 1906 et de
- La réserve mathématique est calculée sur la prime d'inventaire, c’est-à-dire la prime pure majorée d’un seul chargement : celui des frais de gestion. Elle est négative pendant un certain temps, parce que la commission escomptée versée à l’intermédiaire absorbe la
(1) SUMIEN. Traité théorique et pratique des Ass. Terr, Dalloz
(2) Lois de 1905 et 1907.
première prime presque entièrement. Elle est fonction de trois éléments : le cœæfficient de mortalité, le taux d'intérêt et le chargement commercial de la prime. A noter que la réserve n’est pas individualisée, c’est-à-dire que chaque assuré n’a pas sur elle un droit personnel et individuel : c’est une réserve globale des contrats de même espèce, affectée indivisément au bloc des assurés.
Son calcul s’effectue simplement puisqu'il est la différence entre les valeurs d'engagements de l’assuré et de l'assureur. Si P’’x est la prime annuelle d’un contrat et a l’annuité viagère correspondant aux conditions de paiement de P'’xet si l’on remarque que la valeur actuelle des engagements de l’assureur n’est autre que la prime unique II du contrat considéré, supposé souscrit au moment où l’on calcule la réserve, on a pour la valeur v, de la réserve :
Vs=Il—P a.
Le calcul des réserves de l'assurance Complémentaire s'effectue d’après les mêmes principes. Reprenons, comme pour le calcul de la prime, les engagements de l’assureur et de l’assuré, en examinant le cas général d’un contrat d’assurance-vie de n années comportant le paiement de Æ primes.
1°) Engagements de l'assureur, immédiatement avant le paiement de la (6 +I)ème prime :
a) payer en cas de maladie ultérieure la prime vie P’x et la prime complémentaire IF”’x ;
b) payer en cas d'invalidité la prime P’'x et la rente (ES:
c) se couvrir des frais de gestion pendant la durée de paiement des primes P”x : Al;
2°) Engagements de l'assuré : payer la prime complémentaire IT’x pendant toute sa validité.
La 6 ème réserve du contrat est la différence entre les valeurs actuelles de ces engagements, donc :
