IV. Trouver le diamètre de Vune ou Vautre des deux ombres

OH (diam. omb. vert.) = y/ôp 2 + FH 2 = \J\kk + omb. vert. 2

OM (diam. omb. horiz.) = ^/qg 2 + GM 2 = v/l44 + omb. horiz. 2

Si Ton mesure la hauteur du soleil avec le quadrant, le fil à plomb donne, d'une part, sur la graduation du limbe, r angle d'inclinaison de la ligne de visée sur l'horizon; et, d'autre part, sur l'échelle altimètre, le rapport entre la longueur du style, ou gnomon horizontal ou vertical, et celle de son ombre.

Ce rapport porte en trigonométrie le nom de tangente, si l'angle de visée est plus petit que 45°, et de cotangente, si cet angle est compris entre 45° et 90°. h' ombre verse est donc la tangente et Y ombre droite la cotangente de la hauteur du soleil (1).

En généralisant, on obtient le rapport qui existe entre la

(1) La hauteur du soleil étant mesurée par l'arc d'altitude AE ou FI (fig. 4), FH, ombre verse, est la tangente; et GM, ombre droite, est la cotangente de l'arc d'altitude FI. Par la disposition des deux échelles du carré des ombres, l'échelle des tangentes FL sert jusqu'à 45° d'altitude et l'échelle des cotangentes GL entre 45° et 90°.

hauteur d'un édifice et la longueur de son ombre portée sur le sol horizontal, et le carré des ombres devient une échelle altimètre qui, dans la pratique, fournit un moyen rapide de mesurer les hauteurs.

Si la hauteur du soleil est de 45°, le fil tombe sur le terme 12 commun aux deux échelles et la longueur de l'ombre est égale à celle du style vertical et du style horizontal.

La hauteur du soleil étant supérieure à 45°, si le fil tombe, par exemple, sur le point 8 de l'échelle d'ombre droite, la longueur d'ombre est égale à ^ de celle du style vertical ou de la hauteur de l'édifice considéré.

Dans un autre exemple, le fil tombant sur le point 6 de l'échelle d'ombre verse, la longueur d'ombre n'est que les ^ de celle du style horizontal ou est égale à ~ de celle du style vertical. L'ombre portée par un édifice sera alors le double de la hauteur de cet édifice.

Pratiquement, pour mesurer la hauteur d'un édifice, il n'est pas nécessaire de prendre la hauteur du soleil, on vise seulement le faîte de l'édifice, et la position du fil sur l'une des échelles indique le rapport qui existe entre la hauteur du point visé et la distance qui sépare l'observateur du pied de l'édifice. Il faut naturellement supposer la paroi verticale, le sol horizontal, et rapporter dans ce cas les mesures au centre de l'instrument, c'est-à-dire qu'il faut ajouter à la hauteur trouvée la distance qui existe entre ce centre et le sol.

Sur certains quadrants comme sur certains astrolabes, le carré des ombres est remplacé par un arc de cercle divisé, parallèle au limbe, ou quart de cercle d'altitude, et dont la graduation donne les tangentes de l'arc d'altitude. Il en est ainsi sur l'astrolabe arabe décrit par MM. Sauvaire et de Rey- Pailhade (1), sur le quadrant arabe de W. Morley (2) et sur un quadrant arabe daté de l'an 1254 de l'hégire (A. D. 1838) que nous possédons.

Sur d'autres instruments, on trouve deux graduations

(i) Journal Asiatique', 1893.

(2) Journal of the Asiatic Society, t. XVII, 1860.

partant chacune de chaque extrémité de l'arc du quart de cercle et se rencontrant à 45°. Ces deux graduations, qui donnent Tune la tangente de Tare d'altitude jusqu'à 45° et l'autre la cotangente entre 45° et 90°, conservent les noms d'ombre droite et d'ombre verse. Cette disposition existe sur un quadrant décrit et figuré par P. Apian et reproduit par Repsold (1).

L'échelle altimètre divisée en 12 parties, aussi bien que les échelles des tangentes et des cotangentes, qui peuvent porter un plus grand nombre de divisions, donne des solutions seulement approximatives; mais par un procédé mécanique rapide. La graduation du limbe du quadrant sur laquelle le fil à plomb marque en même temps la valeur des angles permet d'obtenir, par le calcul, des résultats plus précis.

L'échelle altimètre se prête également à la mesure des lieux élevés dont le pied est inaccessible, des profondeurs, etc. Tous les détails de la pratique de ce tracé sont exposés dans les traités classiques anciens de l'astrolabe; nous ne nous y arrêterons pas plus longuement. Rappelons seulement qu'on en trouve une description intéressante dans la Practica Geometriœ de Léonard de Pise (2) né vers 1175.

§ IV. — Le Planisphère (pi VII)

Le quadrant, que les auteurs du Moyen Age appelaient quadrans vêtus, portait seulement les deux derniers tracés que nous venons d'examiner; celui que nous étudierons dans le présent paragraphe est particulier au quadrans novus.

Ce système est un tracé de projection identique au planisphère de l'astrolabe circulaire ou astrolabe plan équinoxial. Il emprunte, en effet, des éléments à la fois à l'araignée mobile et aux tableaux fixes de latitude de l'astrolabe circulaire, mais se présente sur le quadrant avec une disposition parti-

(1) J.-A. Repsold. — Zur Geschichte der astronomischen Messwerkzeuge\ Leipzig, 1908, fig. 11.

(2) Edit. Boncompagni; Rome, 1857-1862, t. II, p. 202-206.

culière qui apparaît bien quand on opère le développement du tracé (pi VII).

Avec une ouverture de compas égale au rayon du quadrant, on décrit d'abord un cercle qui est la projection du tropique du Capricorne sur un plan passant par l'équateur, et le centre de ce cercle représente le pôle Nord.

Le cercle est divisé en quatre parties égales par deux diamètres perpendiculaires qui figurent le colure des solstices et le colure des équinoxes.

On trace ensuite, selon les procédés de la projection stéréographique appliqués à la construction de l'astrolabe plan équinoxial, un second cercle qui est Yéquateur; puis un troisième plus intérieur qui est le tropique du Cancer; enfin Yècliptique qui coupe Féquateur sur la ligne des équinoxes et définit, par ses signes du zodiaque, les quatre quadrants du printemps (I), de Y été (II), de Yautomne (III) et de Y hiver (IV).

Des quatre quadrants ainsi délimités, le quadrant matériel ne présente en position normale que le quadr. I ou le quadr.III. Supposons que ce soit le quadr. d'automne; les trois autres ont été reportés sur ce quadrant matériel par le procédé suivant : On a ramené le quadr. de printemps sur le quadr. d'automne en le faisant pivoter autour du centre, dans le plan de la figure, jusqu'à coïncidence des rayons des deux secteurs. Les quadr. d'été et d'hiver ont été rabattus par un mouvement de charnière autour du rayon qui forme la limite de chacun d'eux du côté du quadr. d'automne.

Par suite de ce mouvement, les images du quadr. d'été et du quadr. d'hiver sont retournées sur le quadrant matériel. Les mouvements que l'on considérera sur ces deux quadrants devront être analysés dans l'ordre inverse au sens normal; ainsi les signes: Cancer, Leo y Virgo; et Capricornus, Aquarius, Pisces, se succèdent sur la figure dans le sens rétrograde, et les mouvements en ascension droite subissent le même renversement.

Les deux sortes de graduations inscrites sur le quart de

cercle, qui forme le limbe de l'instrument, sont conformes à cette disposition et se liront dans un sens ou dans l'autre suivant le quadrant auquel elles appartiennent.

La graduation externe du limbe correspond aux degrés de Véquateur ou degrés d'ascension droite, et est accompagnée d'une numérotation en quatre séries alternantes pour les 360 degrés de l'équateur.

La graduation interne donne les degrés des signes du zodiaque et sert à compter les degrés de longitude de récliptique; les limites des signes sont indiquées par des traits gravés sur le cercle du zodiaque.

Le rapprochement des deux cercles gradués d'ascension droite et de longitude, sur le limbe, permet de reconnaître immédiatement l'ascension droite de chaque degré de récliptique et, par conséquent, l'ascension droite du soleil pour tous les jours de l'année, puisque le quadrant fournit, d'autre part, le moyen de trouver la longitude du soleil pour chacun de ces jours.

On obtient ainsi, pour les trois premiers signes, les données suivantes :