ET A L'HORIZON

Recherchons, par exemple, à quelle heure Fétoile Rigel passe au méridien le 21 février.

La disposition des lettres du nom de Fétoile sur l'instrument montre qu'elle appartient au quadr. I du planisphère, R' (fig. 5) ; en tendant le fil sur Fétoile R du quadrant matériel, on lit sur le limbe que cette étoile marche avec 11° de Gemini, dont l'ascension droite est 69°.

D'autre part, par le dos du quadrant,^on voit que le

21 février, le soleil est à 11° de Pisces, dont l'ascension droite est 342°30\

Le 342°30, de Féquateur passant au méridien à midi, le 360°, puis le 69° y passeront dans les heures suivantes, et la différence entre l'heure de passage sera :

Rigel passe donc au méridien à 5 h 46 m du soir le 21 février (calendrier julien du xm- siècle).

Cor leonis dont l'ascension droite est 140°45' y passera à 17°30'+ 140°45' = 158°15' = 10 h 33 m du soir, etc.

On trouvera l'heure du passage des étoiles et des degrés de Fécliptique à l'horizon oriental (lever) et à l'horizon occidental (coucher) par un calcul analogue, mais il faut alors tenir compte de la différence ascensionnelle résultant de l'obliquité de l'horizon.

Pour la position droite de l'horizon(latitude 0° ou de Féquateur), il n'y a pas de différence ascensionnelle; l'horizon se confondant avec la ligne de VI heures, l'astre arrive sur l'horizon en même temps que son degré d'ascension droite pris sur Féquateur. C'est à cette particularité même que le degré de Féquateur qui se lève en même temps qu'un astre sur l'horizon de la sphère droite doit son nom d'ascension droite de l'astre.

Dans la position oblique de l'horizon, au contraire, l'astre arrive sur l'horizon un certain temps avant ou après le passage de son degré d'ascension droite par la ligne horaire de VI heures (1), et le temps qui s'écoule entre ces deux passages, ou son équivalent en arc, est la différence ascensionnelle. On la trouve très facilement sur le quadrant.

Cherchons, par exemple, l'heure du coucher de l'étoile

(1) Pour l'hémisphère Nord, les astres à déclinaison boréale se lèvent avant et se couchent après leur degré d'ascension droite, et le contraire a lieu pour les astres à déclinaison australe.

Rigel le 21 février pour la latitude de 49° B, dont la ligne d'horizon est tracée sur le quadrant.

L'étoile et son degré d'ascension droite (69°) parviennent en même temps sur la ligne de VI heures, 5 h 46 m après le soleil, c'est-à-dire à ll h 46 m du soir; mais, à la latitude de 49°, l'étoile R" (fig. 5) arrive sur l'horizon un certain temps avant le degré P de l'équateur qui marche avec elle et nous trouverons la valeur de ce temps de la façon suivante :

Nous tendons le fil sur l'étoile Rigel (R) du quadrant matériel et nous faisons glisser un index sur le fil jusqu'à coïncidence avec l'étoile. Puis nous tournons le fil tendu jusqu'à ce que l'index rencontre l'horizon oblique de 49° de latitude et nous voyons que le fil traverse le limbe à 12 degrés de la ligne de VI heures. Ces 12 degrés valent 48 minutes représentant la différence ascensionnelle ou le temps que l'étoile arrive sur l'horizon occidental avant le degré de l'équateur qui marche avec elle.

L'étoile Rigel se couche donc à ll h 46 m — 48 m = 10 h 58 m du soir.

Une méthode analogue nous fera connaître l'heure du lever et du coucher du soleil, ainsi que la durée du jour aux différentes époques de l'année. Nous voulons savoir, par exemple, à quelle heure se lève le soleil le 1 er mai (1) sur l'horizon de 49° de latitude.

Nous trouvons d'abord par le dos du quadrant que, le 1 er mai, le soleil est à 17° du Taureau. Retournant l'instrument, nous plaçons le fil dans le signe du Taureau et au point 17 de la graduation qui lui correspond sur le limbe. Puis, nous poussons l'index curseur sur le fil au point où il croise récliptique dans le signe du Taureau. Tournant ensuite le fil tendu jusqu'à amener l'index sur l'horizon de 49°, nous voyons que le fil coupe la graduation du limbe à 20 degrés d'ascension •droite au-dessous de l'horizon droit ou ligne de VI heures. Ces 20 degrés valent l h 20 m ; c'est le temps que le soleil se lève avant

(l)Le 1 er mai sur le quadrant correspond au 8 mai actuel,puisque l'équinoxe de printemps est au 13 mars sur l'instrument.

l'heure du lever à l'époque de l'équlnoxe, c'est-à-dire qu'il se lève le 1 er mai à 5 h 40 m ; et la durée du jour est

12h 4. (Ih20») X 2 = 14 h 40 m .

Ce procédé permet, en somme, de mesurer l'arc diurne et l'arc nocturne d'une des étoiles marquées sur le quadrant, ou du soleilpour tous les jours de l'année. En divisant l'arc diurne du soleil par 12, on a la valeur, en arc ou en heure égale, de l'heure inégale de jour; et, en divisant le même arc par 15, on a la durée du jour en heures égales. Ainsi l'arc diurne du soleil au 1 er mai est de 180° + 20° X 2 = 220°.

220 degrés divisés par 12 donnent 18 degrés 20 minutes, qui valent l h 32 m 20 s représentant la durée de l'heure inégale.

220 degrés divisés par 15 donnent 14 h 40 m pour la durée du jour artificiel.

Le même procédé est applicable à l'arc nocturne.

Les quelques exemples que nous venons de présenter à la suite de la description du tracé de projection du planisphère du quadrant nous paraissent suffisamment démonstratifs pour que la signification de ce système n'offre plus d'obscurité. Sans pousser plus loin l'étude de ses usages, nous passons à l'analyse du dernier tracé gravé sur le même quadrant.

§ V. — Le^Tracé trigonométrique (pi. III et fig. 1)

Le dernier des tracés que nous trouvons sur le quadrant est certainement le plus intéressant, et la simplicité des lignes qui le composent forme un contraste remarquable avec l'importance des résultats mathématiques auxquels il conduit.

La base du système est une échelle double construite sur l'un des côtés du quadrant : l'échelle RTA (recta) divisée en 60 parties égales, de zéro à 60, à partir de l'angle du quadrant, et l'échelle VSA (versa) divisée de 60 à 120 suivant une direction inverse de celle de la première échelle.

Ces deux échelles sont associées au quart de cercle dont

la division en 90, 180, 270 et 360 degrés est indiquée par la graduation marginale du limbe du quadrant.

Un fil à plomb fixé à l'angle du quart de cercle peut être tendu sur tous les degrés de ce quart de cercle; et il est muni de deux index curseurs qui permettent de reporter sur l'échelle double tous les points de la surface du quadrant.

Enfin deux demi-cercles, construits sur les rayons perpendiculaires du quadrant et s'entrecoupant au point D, font partie de ce système.

Avant d'expliquer le mécanisme du tracé, nous rappellerons quelques conceptions de trigonométrie ancienne, en partie délaissées aujourd'hui, mais nécessaires à l'intelligence du sens de l'échelle RTA, VSA.

Nous devons nous reporter à une époque où les logarithmes n'étaient pas encore inventés et où les lignes trigonométriques usuelles étaient la corde droite (corda recta) et la corde verse (corda versa). Ce sont ces termes qui s'appliquent aux abréviations R TA, VSA, que nous trouvons sur l'échelle double de notre quadrant; ce sont ceux que les auteurs du Moyen Age emploient dans leurs démonstrations et que l'anonyme de 1433 fait figurer en toutes lettres sur l'image du quadrant qu'il reproduit.

Mais le mot corda, dont usaient les mathématiciens du Moyen Age, était pris dans le sens du mot sinus qu'on ne commença à employer en Europe qu'au xv e siècle. Les Arabes avaient, dès le x e siècle, à la suite des travaux d'Albategni, substitué effectivement les sinus aux cordes dans leurs calculs, et les Latins, adoptant les méthodes mathématiques des Arabes, reçurent le sinus auquel ils conservèrent le nom de corde.

Voyons maintenant le sens des deux fonctions, sinus droit et sinus verse.

Décrivons le demi-cercle ABA' (fig. 6) et considérons l'arc AM. Cet arc a pour sinus droit la ligne MP, c'est-à-dire la longueur de la perpendiculaire abaissée de Y extrémité M de l'arc sur le rayon passant par V origine A, et pour sinus verse

la ligne AP, c'est-à-dire la longueur comprise entre le pied du sinus droit et le point où le diamètre rencontre la circonférence.

Quand Tare varie de zéro à 90°, le sinus droit augmente de zéro à OB, et le sinus verse de zéro à AO, c'est-à-dire de zéro au rayon ou sinus total.

Si Tare croît de 90° à 180°, le sinus droit diminue du sinus total à zéro, tandis que le sinus verse augmente de AO à AA' c'est-à-dire du rayon au diamètre. Le rayon OB est donc divisé en 60 parties en commençant au point 0, et le diamètre AA' en 120 parties à partir de A.

Considérons un arc compris entre 90° et 180°, soit l'arc

Fi£. 6. — Echelle des sinus droit et verse

ABM'. Le sinus droit de l'arc ABM' est MP' égal à MP, sinus droit de son supplément. Le sinus verse du même arc ABM' est AP'; et, pour en déterminr la valeur, on prend l'arc supplémentaire qui est A'M' ou AM, on mène le sinus droit MP et on porte la distance OP de P en P',ou en C si OA' est relevé sur l'échelle recta. Le nombre que rencontre P' sur l'échelle versa horizontale ou C sur l'échelle versa relevée donne la valeur du sinus verse.

Les deux moitiés de l'échelle versa étant relevées sur l'échelle recta, la première moitié formera une échelle descendante de zéro à 60, et la seconde une échelle ascendante de 60 à 120. Cette disposition est nettement indiquée dans le traité de

Profatius (1), qui ajoute que les cordes (sinus) verses des arcs compris entre 0° et 90° ou entre 180° et 270° seront trouvées sur l'échelle descendante, tandis que les cordes verses des arcs compris entre 90° et 180° ou entre 270° et 360° seront lues sur l'échelle ascendante.

Sur la figure représentée dans le manuscrit 7294 (a 1433), on trouve la partie descendante de à 60 de. l'échelle; sur notre quadrant, au contraire, nous avons l'échelle ascendante de 60 à 120. Dans la pratique, il est facile avec un peu d'attention de suppléer à la partie manquante de l'échelle versa.

Avant de montrer l'usage de ces échelles sur le quadrant, nous ferons encore une observation qui nous permettra à l'occasion de les adapter aux procédés actuels de calcul.

Pour simplifier le raisonnement et abréger les calculs, nous pourrons, dans des opérations ultérieures, remplacer le sinus verse AP par son complément OP, c'est-à-dire par ce qui manque au sinus verse pour valoir le sinus total ou rayon.

Cette ligne OP que les mathématiciens du xvi c siècle appellent le second sinus droit (sinus reclus secundus) est aujourd'hui connue sous le nom de cosinus, c'est le sinus droit de l'arc complémentaire.

De cette façon, l'arc AM a pour sinus MP ou OQ et pour cosinus OP ou OC; puis l'arc ABM' a pour sinus M'P' ou OQ et pour cosinus — OP' ou — OC, puisque le cosinus est égal au rayon R moins P'A, c'est-à-dire kR — (R + OP') =— OP.

Le cosinus varie donc de + R à — R quand l'arc croît de zéro à 180°; et est égal à zéro pour l'arc de 90°.

Cette transformation une fois admise, nous pourrons user de l'échelle recta seule en négligeant l'échelle versa et ainsi le demi-cercle pourra être ramené pour tous les calculs à un quadrant.

Le sens de l'échelle RTA, VSA étant bien déterminé, nous

(1) Ms. lat. 7437, fol. 160 recto : apartés cordœ versœ descendunt us que ad 60 et ascendant usque ad 120. «

passons à Fexamen des deux demi-cercles qui sont l'élément vraiment ingénieux du système. Ils possèdent, en effet, la propriété de fournir la valeur du sinus droit, du sinus verse et du cosinus de tous les arcs considérés sur le limbe du quadrant.

Si, au moyen du fil tendu sur le limbe, on intercepte un arc BE (fig. 7) dont la valeur est indiquée par la graduation,

Fig. 7. — Le tracé trigonométrique du quadrant

ce fil rencontre le demi-cercle ADC au point F, et le demi-cercle ADB au point G.

On démontre que AF est égal à EH, sinus droit de Tare BE ; que GE est égal à HB, le sinus çerse des anciens; et que AG est égal au complément AH de ce sinus verse, complément que nous appelons aujourd'hui le cosinus.

Démonstration : 1° AF = s in arc BE : Abaissons la perpendiculaire EH, sinus droit de l'arc BE; et joignons, par des droites, les points F et C, G et B. Les deux triangles AEH et ACF sont semblables; en effet

l'angle AHE est droit par définition; l'angle AFC est droit aussi comme

inscrit au demi-cercle; en outre, les angles GAF et AEH sont égaux comme alternes formés par les parallèles AG et EH; le troisième angle

de chaque triangle est donc égal à l'angle homologue de l'autre triangle

et les deux triangles sont semblables, donnant la proportion — = — jv

Comme AE et AG sont ravons d'un même quadrant, AF — EH, sin arc BE.

2° AG = cos arc BE : les deux triangles BAG et AEH sont semblables ;

ils ont, en effet, un angle commun en A et les angles AGB et AHE sont

droits. On peut donc écrire — = tû ; et, comme AB et AE sont rayons

égaux, on a AG = AH qui est cos arc BE.

3° Si, à deux rayons égaux AE et AB, on soustrait deux quantités égales AG et AH, on a GE = HB, c'est-à-dire que GE = sin verse arc BE.

Si, après avoir fait glisser les curseurs aux points F et G, on ramène le fil sur l'échelle double, on lira sur l'échelle RTA la valeur des lignes AF et AG, c'est-à-dire du sinus et du cosinus; et sur l'échelle VSA la valeur de la ligne GE, c'est-à-dire du sinus verse de l'arc considéré.

Inversement, si l'on donne la valeur d'un sinus, on tendra le fil le long de l'échelle et l'on fera glisser un index jusqu'au point indiqué par cette valeur, puis, en faisant tourner le fil sur le quadrant jusqu'à ce que l'index coïncide avec le demicercle des sinus, on lira sur le limbe, au point croisé par le fil, le degré de l'arc correspondant. On trouvera de la même façon l'arc d'un cosinus donné en amenant l'index sur le demi-cercle des cosinus.

Notons que le demi-cercle ADC donne le sinus, et le demicercle ADB le cosinus et le sinus verse pour les arcs dont Y origine est au point B. Un seul demi-cercle pourra servir aux deux usages, à condition de placer l'origine des arcs, dont on cherche le sinus verse ou le cosinus, à l'extrémité du rayon portant le demi-cercle, et l'origine des arcs, dont on cherche le sinus droit, à l'extrémité du rayon opposé. On trouve, d'ailleurs, des quadrants sur lesquels un seul demi-cercle est tracé.

En résumé, l'échelle RTA, recta, droite, verticale, est le rayon ou sinus total divisé en 60 parties selon les principes des Arabes; l'échelle VSA, versa, couchée, n'est que le diamètre horizontal redressé.

L'origine des arcs étant fixée au point B, sinus verse est toujours placé sur le diamètre horizontal; et, comme il varie

de zéro à + 2 /?, l'échelle VSA qui lui correspond est divisée en 120 parties.

Ces échelles, associées à la graduation du limbe et aux deux demi-cercles, servent donc à trouver le sinus droit, le sinus verse et le cosinus d'un arc, puis ceux de son complément et de son supplément.

Supposons Tare de 47°; la manœuvre du fil du quadrant indique, sur l'échelle RTA, 44 pour la valeur du sinus droit et 41 pour la valeur de cos arc 47° ou de sin arc 43° (arc complémentaire).

On a ainsi 60 — 41 = 19 pour sin. verse arc 47°; et 60 — 44 = 16 pour sin. verse arc 43°.

Ces deux derniers termes pourraient être lus directement sur l'échelle VSA possédant ses deux moitiés (descendante et ascendante). On voit comment on pourra considérer, soit le sinus verse, soit le cosinus, suivant la méthode de calcul adoptée.

Les éléments que nous venons d'analyser présentent, au point de vue des calculs trigonométriques, un intérêt général qu'il n'est pas nécessaire de faire ressortir; cependant, nous nous arrêterons à quelques exemples.

Nous commencerons par une application tirée des anciens textes; et, pour en suivre les termes, nous conserverons la notion du sinus verse.

Profatius décrit, parmi los usages du quadrant, une méthode empruntée aux Arabes pour trouver l'heure vraie de jour ou de nuit par la connaissance de la hauteur du soleil ou d'une étoile et par la connaissance de l'arc semi-diurne décrit par l'astre.

Voici la traduction commentée de ce passage (1) un peu long, mais intéressant à connaître comme exemple de calcul pratiqué au Moyen Age.

(1) Ms. lat. 7437, fol. 160 verso : Cap. 13. De scientia horœ per altitudinem solis et arcum meridtei. ., .

Connaissance de l'heure par la hauteur du soleil et Varc semi-diurne.

Posez le fil du quadrant sur le limbe au degré de la hauteur du soleil observée et amenez un index [1] sur le demi-cercle de six heures ou de midi.

Posez ensuite le fil sur le degré correspondant à la valeur de Varc semi-diurne et amenez Fautre index [2] sur le demicercle opposé au demi-cercle de six heures.

Portez le fil avec ses deux index sur Féchelle double ; les index marqueront :

[1] Le sin. droit de la hauteur observée;

[2] Le sin. verse de Tare semi-diurne.

Multipliez l'un par Fautre et retenez le produit.

Posez alors le fil sur le degré de la hauteur méridienne du soleil et amenez un index [3] sur le demi-cercle de six heures.

En portant le fil sur Féchelle RTA, vous lisez le sin. de la hauteur méridienne.

Divisez par cette dernière valeur le produit que vous avez noté et soustrayez le quotient ainsi obtenu de la valeur du sin. verse arc semi-diurne indiquée par.Findex [2].

Considérez sur Féchelle VSA la valeur que représente le reste de cette soustraction, posez le fil sur Féchelle et amenez un index [4] sur le chiffre de cette valeur.

Le fil étant alors ramené sur le limbe jusqu'à ce que l'index [4] rencontre le demi-cercle opposé au demi-cercle de six heures, le degré du limbe sur lequel s'arrête le fil marque Farc horaire qui sépare le moment où vous êtes de Fheure de midi.

Cette longue formule se ramène à la suivante :

sin vers, arc dist. du Soleil au méridien =

. ,. sin dr. haut, observ. x sin vers, arc semi-di. sin vers, arc semi-di. sTn^^T^iiO^HdïSin^

Si l'observation est faite avant midi, il faut soustraire cet arc de Farc semi-diurne ou de six heures inégales; si Fobservation est faite après midi, il faut, au contraire, additionner ces deux valeurs.

Le résultat de cette opération donne Farc horaire parcouru

par le soleil depuis son lever jusqu'au moment de l'observation.

Prenons un exemple concret d'application de cette formule et montrons comment le problème est entièrement résolu par le seul moyen du quadrant.

Application. — Le 9 mai (v.st.) correspondant à notre 16 mai, puisque sur le quadrant l'équinoxe est au 13 mars, à 49° de latitude, on prend la hauteur du soleil dans la matinée et on la trouve de 26°; on demande quelle heure égale il est et quelle heure inégale.

Notions préalables fournies par le quadrant. — Par le dos du quadrant, on sait que, le 9 mai, le soleil est à 25° du Taureau; et, par le tracé de projection de la face de l'instrument, on reconnaît que l'arc semi-diurne du 25° du Taureau sur l'horizon de 49° de latitude est de 114°.

Cet arc vaut 7 h 36 m ; on en déduit que le soleil se lève à 4 h 24™ et que l'heure inégale vaut li^p*: = lhl6 m .

On reconnaît aussi par le quadrant que la déclinaison du soleil à 25° du Taureau est 19° septentrionale.

Ces 19 degrés ajoutés à 41° (colatitude de 49°) donnent 60° pour la hauteur méridienne du soleil.

Il ne reste plus qu'à chercher sur l'instrument les sinus des arcs donnés et à effectuer les opérations. On trouve :

Sin dr. arc 26°, haut, observée = 26,30.

Sin vers, arc 114°, arc semi-diurne = 84,50.

Sin dr. arc 60°, haut, méridienne = 52.

2222,35 divisé par 52 donne 42,74.

41,76 = sin vers, arc 72°12' qui est la distance du soleil au méridien.

Ces 72°12' valent en temps : 4 h 48 m 48 s . Il est donc au moment de l'observation : midi — 4 h 48 m 48 s = 7 h ll m 12 s du matin. D'autre part, l'arc horaire parcouru par le soleil depuis son

lever est 114° — 72°12' = 41°48' qui valent en temps d'heure égale 2 h 47 m 12 s , et, comme la durée de l'heure inégale est de l h 16 m , l'heure inégale du moment de l'observation est:

^ifllP 1 = 2hl /5 ( heure légale).

L. Am. Sédillot décrit (1), d'après Aboul-Hhassan, un instrument arabe qui permet de trouver sans calcul le temps vrai de jour et de nuit, d'après une simple observation de la hauteur du soleil ou d'une étoile dont on connaît l'ascension droite ou la déclinaison.

Cet instrument, dont la forme rappelle celle du quadrant, porte un tracé combiné de manière à remplacer les calculs par une simple manœuvre mécanique au moyen d'un fil attaché au centre de l'instrument et muni d'un index curseur.

Sédillot fait remarquer que la construction et l'usage de cet instrument résultent des deux analogies suivantes :

, ,. ... sin haut, méridienne

1° Sin verse arc semi-diurne = — nnn 1r ,.-. — j — r-— —

cos latit. du lieu

, . , sin haut, mérid. — sin haut, observ.

2° Sin verse dist. au mend. = cos latit. du lieu

Nous pouvons rapprocher, dans une même démonstration géométrique, ces deux relations et celle que nous trouvons dans la composition de Profatius. Ce rapprochement révèle encore une source arabe du traité latin.

Soit une sphère (fig. 8) dont le centre est en O et dans laquelle nous considérons les données suivantes :

Le point M représente le lieu de l'astre observé ;

PHP'H' est le méridien;

HABH\ l'horizon;

BMM', l'arc semi-diurne dont le sinus verse est M'C ;

HM', la hauteur méridienne dont le sinus droit est M'F;

AM, la hauteur observée dont le sinus droit est MI;

M'M, l'arc de distance au méridien, dont le sinus verse est M'D.

(1) L. Am. Sédillot. Mémoire sur les instruments astronomiques des Arabes; Paris, 1841, in-4°, p. 52 et suiv.

La lignejMI étant projetée orthogonalement en DR, on a DR = MI; et, dans lesfdeux triangles CM'F et GDR,

M'D = M'G — DC PC DR MI " M'F ~~ M'F MI x M'G

et

M'G d'où DG =

M'F MI x M'G

Fig, 8. — Calcul de l'heure vraie par la hauteur d'un astre

C'est l'analogie dont nous avons donné l'application en suivant le texte de Profatius.

Les deux relations évoquées par Sédillot s'interprètent aisément.

Traçons NO, ligne d'intersection du plan de l'équateur avec celui

du méridien. NZ est l'arc de latitude, NH l'arc de colatitude, et l'angle

NOH = l'angle M'CF.

La première relation résulte du triangle M'CF dans lequel on a, d'après la première proposition relative aux triangles rectangles en trigonométrie rectiligne

M'F M'C = — ^==z sin M'CF

Sin M'CF = sin NOH qui est le sinus de la colatitude, et le sinus de la colatitude étant le cosinus de la latitude,

on a M'C

cos lat. du lieu

La deuxième relation résulte du triangle M'DS formé en menant DS telle que SF = DR = MI.

D'après la proposition récemment invoquée, ce triangle donne :

M'D= M 3^ sin M'DS

Comme M'S = M'F — SF et comme sin M'DS = sin SfCF,

M'F — SF

on a M'D =

sin M'GF

Pour les raisons connues, sin M'CF = cos latitude du lieu; et, comme

SF = MI, on a enfin: