M'F — MI M'D

cos lat. du lieu

La recherche de l'heure vraie de nuit par les étoiles marquées sur le quadrant s'effectue par la même méthode et c'est le thème de démonstration choisi par l'auteur du manuscrit de 1433 (1).

Après avoir déterminé l'arc de distance d'une étoile au méridien par le procédé que nous connaissons, l'auteur ajoute que, si on soustrait cet arc de la valeur du degré d'ascension droite de l'étoile, celle-ci étant visée à l'Orient, ou, si on additionne ces deux valeurs, l'étoile étant à l'Occident, le degré du zodiaque auquel correspond ce nouveau degré d'ascension droite est le milieu du ciel ou le commencement de la dixième maison céleste.

En ajoutant 90° à ce degré d'ascension droite, on obtient celui du degré du zodiaque qui marque l'ascendant ou le commencement de la première maison.

Enfin, si à ce dernier degré on retranche le degré d'ascension droite qui se lève sur l'horizon considéré avec le nadir du soleil (2), c'est-à-dire avec le point opposé à sa position dans le zodiaque, on obtient l'arc horaire parcouru depuis le coucher du soleil. Cet arc divisé par la valeur de l'heure inégale de nuit donne l'heure inégale du moment de l'observation. On peut trouver aussi l'heure égale de ce moment.

Application. — Dans la nuit du 19 novembre, à 49° de

(1) Ms. lat. 7294, fol. 28 verso : « Si per stellas fixas vis scire ascensiones et initia domorum et arcum horarum et horas noctis... »

(2) C'est ce que l'on appelait V ascension oblique du nadir.

latitude, on a observé l'étoile Rigel à FEst du méridien, et d'après la hauteur on a calculé que Tare de distance au méridien est 28°.

Cette étoile est portée sur notre quadrant qui nous indique que son ascension droite est 69°.

En retranchant 28° de 69°, on a 41°; et le quadrant nous montre que le point de l'écliptique, dont l'ascension droite est 41°, est 8°45' du Taureau. Pour l'astrologue, ce point est le milieu du ciel et le commencement de la dixième maison céleste.

Ajoutons 90° à 41°, et nous obtenons 131°; le point correspondant de l'écliptique est 8°30' du Lion. C'est Yascendant ou l'horoscope, le commencement de la première maison.

On trouve facilement, par raison de symétrie, les deux autres angles du ciel, puis le commencement des douze maisons, et le schéma graphique du thème généthliaque est constitué pour le moment de l'observation.

Pour trouver l'arc horaire parcouru depuis le coucher du soleil, il faut retrancher à 131° le degré d'ascension oblique du nadir du soleil au 19 novembre.

Le dos du quadrant nous montre que le 19 novembre le soleil est à 5°Sagittarius; le nadir de ce point est 5° Gemini.

Par la face du quadrant, nous savons que l'ascension droite de 5° Gemini est 63°, et, par la manœuvre du fil précédemment décrite, que 5° Gemini se lève, sur l'horizon de 49° de latitude, 25° avant son degré d'ascension droite, c'est-à-dire que l'ascension oblique de 5° Gemini est 63° — 25° = 38° par 49° de latitude Nord.

L'arc horaire parcouru depuis le coucher du soleil est donc 131° — 38° = 93°. Ce reste, divisé par la valeur de l'heure inégale de nuit, donne l'heure inégale du moment. Le soleil étant à 5° Sagittarius se couche 25° avant son degré d'ascension droite; l'arc semi-nocturne est donc 90° + 25° = 115° et l'heure inégale vaut ^° = 19°10'. L'heure inégale du moment est donc j^p = 4,85, ou 4 h $$.

Pour avoir l'heure égale, on observera que le soleil se couche 25° avant l'heure de son coucher équinoxial ou 6 h . Il faut

donc retrancher 25° à Tare 93° parcouru depuis le coucher du soleil, et le reste 68° marque l'arc horaire parcouru depuis 6 b du soir; cet arc vaut 4 h 32 m .

L'heure de l'observation est 6 h + 4 h 32 m = 10 h 32 m du soir.

Le même manuscrit de 1433 décrit le procédé de calcul pour trouver sur l'horizon droit et sur les horizons obliques la latitude du lever et du coucher du soleil aux différents jours de l'année, c'est-à-dire l'arc d'horizon compris entre le point Est ou Ouest et le lieu du lever ou du coucher (1); c'est l'arc d'amplitude du lever ou du coucher.

Ce procédé repose sur l'analogie suivante, dont la démonstration géométrique est aussi simple que celle des précédentes:

sin déclinaison x sin total

Sin amplitude

cos latitude du lieu

En application de cette formule, cherchons quelle est, sur l'horizon de 49° latitude Nord, l'amplitude ortive du soleil au 25 octobre qui, sur le quadrant, correspond à 10° du Scorpion.

Le quadrant indique, pour ce point : déclinaison 15° méridionale. On lit, d'autre part, que sin. droit arc 15° = 15,30 et que le complément du sin. verse ou cosinus de la latitude 49° = 39,3; le sinus total est 60.

L'équation donne ^r- = 23,3o.

D'après le quadrant, 23,35 = sin dr. arc 23°. L'amplitude ortive du soleil est donc 23° méridionale.

Les procédés de calculs et de maniement du quadrant dont nous venons de faire l'application à quelques exemples peuvent être étendus à d'autres problèmes de la Sphérique; et, selon les recherches à effectuer, le quart de cercle s'adaptera à tous les arcs considérés sur l'équateur, Fécliptique, le méridien, l'horizon, un vertical, un cercle horaire, etc. Mais il est

(1) Ms. lat. 7294, fol. 29 r°.

une application particulière que nous développerons, bien que les auteurs du Moyen Age qui ont écrit sur le quadrant n'y fassent pas la moindre allusion. C'est pourquoi, en traitant cette question, nous abandonnerons la notion du sinus verse pour la remplacer par celle du cosinus.

Nous voulons parler de l'application nautique du tracé trigonométrique du quadrant. Ce tracé permet, en effet, de résoudre les Routes de Navigation, telles qu'on les comprenait à l'époque où l'on ne possédait pas de moyen pratique pour trouver les longitudes en mer.

Le calcul de la route était alors établi sur la longueur estimée du chemin parcouru suivant une aire de vent indiquée par la boussole; et l'on réduisait cette route en ses composantes Nord-Sud et Est-Ouest, soit par la trigonométrie, soit par le procédé des triangles semblables, pour connaître le déplacement en latitude et en longitude.

Un quart de cercle, comme notre quadrant ABC (fig. 9), étant pris pour représenter l'un des quatre quarts de l'horizon, le côté AC sera la ligne du Nord ou celle du Sud, et le côté AB la ligne de l'Est ou de l'Ouest, suivant la direction de la route parcourue.

La longueur du chemin effectué dans une direction AE étant supposée AL, le déplacement dans le Nord ou dans le Sud sera mesuré par la ligne LM ; et le déplacement dans l'Est ou l'Ouest par la ligne AM.

Ces trois lignes forment un triangle rectangle semblable à un autre triangle AEH, dont les côtés sont formés par le rayon du cercle et par le sinus et le cosinus de l'arc qui mesure le rumb de vent de la route.

Le sinus et le cosinus étant connus par le dispositif du tracé du quadrant, il est très simple, après avoir établi la formule de proportion résultant de la similitude des triangles, de trouver le quatrième terme proportionnel cherché dans les problèmes de navigation, tels qu'on les concevait au xvn e siècle, au xvi e , et peut-être à une époque antérieure.

Les deux lemmes fondamentaux dont procédait la solution des problèmes de route peuvent être énoncés ainsi :

I. Connaissant le nombre de milles parcourus sur une aire de vent quelconque, trouver le nombre de milles parcourus dans la direction Nord ou Sud et aussi dans la direction Est ou Ouest.

IL Réduire en degrés de longitude les milles parcourus vers l'Est ou vers l'Ouest sur un cercle parallèle à l'équateur.

Nous prendrons ces deux lemmes comme exemples de

vo

\ YYyA

ri

Fig. 9. — Calcul de réduction d'une route oblique en mer

démonstration des calculs et de l'application du tracé du quadrant.

Lemme I. (Application) (fig. 9). — Un navire a parcouru 133 milles 1 /2 dans le N.-E. 1 /4 iV, combien a-t-il avancé dans le Nord et comMen dans l'Est?

Prenons le quadrant pour figurer le quart de l'horizon entre le Nord et FEst. Le côté AC représente la ligne Sud-Nord vers le Nord et le côté AB la ligne Ouest-Est vers FEst.

Tendons le fil suivant la direction AE dans Taire de vent N.-E. 1 ,/4 N. qui fait un angle de 56°15' avec la ligne de FEst, angle mesuré par Farc BE à partir du point B qui est FEst.

Les deux index du fil ayant été amenés sur les deux points F et G où le fil croise les deux demi-cercles, nous trouvons, en ramenant le fil sur l'échelle, 50 parties pour la valeur de AF qui est égal à EH, sin arc BE, et 33,3 pour la valeur de AG qui est égal à AH, complément du sinus verse ou cos arc BE.

Prenons maintenant sur la ligne AE une longueur quelconque AL, à laquelle nous attribuerons la valeur des 139,5 milles parcourus, et, par le point L, point d'arrivée du navire, supposons une perpendiculaire LM; cette ligne mesure le déplacement vers le Nord, tandis que la ligne AM mesure le déplacement dans l'Est.

Ce sont ces deux lignes dont il faut trouver la valeur.

Dans les triangles rectangles semblables AEH et ALM, AE EH AH 011 a AL " LM ~~ AM

Les quantités connues sont: AE, rayon du cercle, = 60 ;

AL, chemin parcouru, = 139,5; EH, sinus arc BE, = 50; AH, cosinus arc BE, = 33,3.

Nous avons donc, d'une part, pour le déplacement vers le Nord :

60 50 ,, N T1VT 139,5 X 50 AMr at .

ï3^ = m' d ou LM = 6o = 116 ' 25 -

Et, d'autre part, pour le déplacement vers l'Est :

60 33,3 , x A7V/r 139,5 x 33,3 ' • d'où AM = 2 — — — = 77,42.