SUR UN PARALLÈLE

de longitude les milles parcourus vers l'Est ou vers l'Ouest sur un cercle parallèle à l'équateur.

Le second lemme repose sur le principe suivant : l'étendue des degrés d'un parallèle est proportionnelle au rayon de ce parallèle. Si le rayon d'un parallèle est la moitié, ou le quart, ou toute autre fraction du rayon de l'équateur, l'étendue des degrés de ce parallèle sera réduite dans les mêmes proportions depuis la valeur de 60 milles au degré, à l'équateur, jusqu'à zéro à la latitude de 90°, c'est-à-dire au pôle.

Pour résoudre ce lemme, on se sert du même quadrant; mais dans ce cas le côté horizontal AB représente le rayon de

l'équateur et le côté AC le demi-axe de la terre; le quart de cercle CB étant le quart du méridien terrestre.

La latitude du point de départ et celle du point d'arrivée de la route étant connues par la solution du premier lemme, on considère le déplacement dans l'Est ou dans l'Ouest comme s'étant effectué dans une latitude moyenne à ces deux latitudes connues.

Supposons que le déplacement de 77,42 milles dans l'Est ait eu lieu par une latitude moyenne de 42°; on compte, sur le quart de cercle BC, 42 degrés à partir du point B, et l'on mène, par ce 42°, le rayon AD en tendant suivant cette direction le fil du quadrant (fig. 10).

Prenons maintenant sur le côté AB, ligne Ouest-Est, une longueur quelconque AY à laquelle nous attribuerons la valeur 77,42 milles, et sur le point Y imaginons une perpendiculaire qui coupe le rayon AD au point K; la ligne XK, parallèle à AY, a la même valeur.

Si maintenant l'on prend le quart de cercle APKE pour représenter le quart du méridien, le point P sera le pôle, la ligne AE ou AK sera le rayon de l'équateur, et la ligne XK ou AY le rayon du parallèle par 42° de latitude.

Or, de même que le cercle parallèle ayant pour rayon XK ou A Y comporte autant de degrés que le cercle de l'équateur ayant pour rayon AK, ainsi la longueur AY, que nous avons prise pour représenter le chemin parcouru dans l'Est, aura autant de degrés que la ligne AK à laquelle elle se trouve rapportée ou réduite, et qu'il s'agit de calculer par le procédé des triangles semblables.

Imaginons la ligne DR, sinus droit de l'arc BD, et nous aurons dans les deux triangles semblables ADR et AKY

AD AR AK " AY AK est la valeur x du chemin rapportée à l'équateur. AR est le cosinus dont la valeur est indiquée par la position de l'index G sur le fil ; cette valeur est 44,4.

A Y représente les 77,42 milles, et AD est le rayon = 60.

60 44 4 L'équation devient — = ' ' d'où a: = 104,62.

Les 77,42 milles parcourus sur le parallèle 42° équivalent à 104,62 milles sur Téquateur, ou à 104,62 minutes, ou à 1°44'37",2 en longitude.

Ces deux lemmes fournissent les donnése nécessaires à la résolution des problèmes qui ont pour objet la recherche de la longueur du chemin parcouru, de Taire de vent de la route, de la longitude et de la latitude du point d'arrivée, le point de départ et un ou deux des éléments du problème étant connus.

On remarquera que le dispositif du tracé du quadrant ne fournit que le sinus et le cosinus de Tare de Taire de vent considérée, mais ce sont les seuls éléments nécessaires pour la solution des problèmes proposés. Si nous avons complété le tracé par des lignes constituant les triangles semblables, c'est uniquement pour la démonstration; pratiquement, il n'y a pas à supposer Texistenee de ces lignes. Le navigateur n'avait à connaître que les formules auxquelles cette démonstration nous a conduits.

Un certain nombre de milles étant parcourus suivant une

aire de vent, on a :

t^ , 1 . vr « chemin parc, x sin arc rumb de route

Déplacement N. ou S. = ±- = r-r-î

r sinus total

~ , , . ™ r, chemin parc, x cos arc rumb de route

Déplacement E. ou O. = *- = t— n

F sinus total

Et la réduction x des milles parcourus sur un parallèle moyen en milles de Téquateur est obtenue par la formule :

sinus total x nombre milles parcourus ~" cos arc de latitude moyenne

Les seules valeurs à trouver sont le sinus et le eosinus de Tare considéré et le navigateur avait le moyen de les trouver immédiatement en tendant le fil sur le limbe au degré de cet arc, en amenant les index sur les deux demi-cercles et en reportant le fil le long de l'échelle graduée du quadrant.

Les valeurs de tous les termes de la formule étant ainsi connues, il ne restait plus qu'à exécuter les opérations de calcul élémentaire sur le papier.

Ces opérations se trouvent supprimées, quand on se sert d'un autre tracé qu'il est intéressant de rapprocher de celui de notre quadrant; nous voulons parler du quartier de réduction.

Dans le quartier de réduction, l'échelle qui existe sur un des côtés seulement de notre quadrant est répétée sur l'autre côté; et, par les divisions de ces deux échelles, sont menées des perpendiculaires qui se coupent à angle droit en couvrant la surface du quadrant d'un treillis à mailles carrées. Du centre, on trace encore des séries de quarts de cercles qui joignent les divisions de même rang et reportent ces divisions sur les rayons obliques du quadrant.

Les rayons obliques eux-mêmes ne sont pas tracés le plus souvent, car un fil qui part du centre du quadrant peut être tendu sur les degrés du limbe dans toutes les positions des rayons obliques.

Enfin, si le fil est muni d'index curseurs, ceux-ci remplissent l'office des cercles concentriques qui peuvent être supprimés.

Un tel tracé [pi. VIII) permet de réduire sans calcul toute longueur prise sur un rayon oblique en ses composantes horizontale et verticale, et inversement, car il donne par construction la longueur des trois côtés du triangle rectangle que ces trois lignes suffisent à former. On pourra ainsi résoudre mécaniquement les deux lemmes fondamentaux sur lesquels nous avons déjà insisté, c'est-à-dire, premièrement, connaître le déplacement vers le Nord ou le Sud et vers l'Est ou l'Ouest pour une route oblique donnée; et, secondement, réduire les milles parcourus sur un parallèle donné en milles de l'équateur, ce qui indique le déplacement en longitude au niveau de ce parallèle.

Soit, par exemple, un chemin de 47 milles parcourus dans le N.-E. 1 /4 N. ; on tend le fil suivant l'aire de vent de la route en le plaçant à 56°15' sur le limbe et on compte sur le fil 47 divisions marquées par les cercles concentriques à partir du centre, ce qui nous conduit au point P (pi. VIII). La ligne

horizontale qui part de ce point tombe sur l'échelle verticale à la division 39; le déplacement dans le Nord est donc de 39 milles ou de 39 minutes en latitude.

La ligne verticale qui part du même point P tombe sur l'échelle horizontale à la division 26; ce qui indique un déplacement de 26 milles dans l'Est.

Ces 26 milles étant supposés parcourus sur le parallèle moyen de 42°, le fil est tendu sur le degré correspondant du limbe, et la ligne verticale qui s'élève sur la division 26 de l'échelle horizontale rencontre le fil au point R. De ce point au centre du quadrant, on compte 35 divisions. Les 26 milles parcourus sur le parallèle 42° valent donc 35 milles à l'équateur ou 35 minutes de déplacement en longitude dans l'Est.

Les problèmes de route qui découlent des deux lemmes fondamentaux peuvent être résolus par un procédé analogue.

Si le nombre de milles proposés est supérieur à celui des divisions de l'échelle, on attribuera à chaque division la valeur de 2, 3, 4 milles, ou plus selon le besoin, pour que l'opération puisse être effectuée sur la surface du quadrant. Il sera facile aussi de partager à vue d'œil les intervalles des divisions proportionnellement aux fractions de milles, s'il y a lieu, et de mener des lignes occultes intermédiaires parallèles aux lignes du treillis.

Ce procédé pouvait-il être utilisé sur le quadrant que nous décrivons? Nous ne le croyons pas. Une seule échelle pourrait à la rigueur suffire, puisque le fil muni de ses index permet de reporter les divisions de cette échelle sur l'autre côté. Les index suppléent aussi aux cercles concentriques.Maisle treillis rectangulaire manque totalement, et il faudrait, à chaque opération, tracer des lignes perpendiculaires réelles et non occultes; ce qui est inadmissible comme procédé pratique.

Sans aucun doute, le procédé du quartier de réduction diffère entièrement du procédé applicable au tracé trigonométrique de notre quadrant, puisqu'on n'y fait pas usage des sinus.

Cependant, dans le quartier de réduction, les lignes du

treillis rectangulaire s'appuient par une de leurs extrémités sur la graduation du limbe, et cette construction permet de trouver sur la figure le rayon d'un arc, le sinus, le cosinus et la tangente de cet arc, lorsque l'une de ces grandeurs est connue. Nous sommes donc encore ramenés à la connaissance des sinus, comme avec le tracé de notre quadrant, mais par une construction différente.

Cette dernière est d'ailleurs fort ancienne. C'est celle du • cercle et du quadrant destour des Arabes, et elle figure sur un astrolabe arabe du xm e siècle décrit par MM. Sauvaire et J. de Rey-Pailhade (1).

Dans le quartier de réduction, aussi bien que sur le treillis donnant les sinus, les deux demi-cercles construits sur les deux côtés du quadrant n'ont plus d'utilité et disparaissent; cependant la communauté d'origine et la solidarité de ces trois constructions (le treillis trigonométrique, les deux demicercles et le quartier de réduction) sont manifestes, car on peut les trouver réunies sur un même quadrant. Nous avons signalé l'astrolabe arabe de 1334 décrit par W. Morley, comme joignant un demi-cercle au treillis; citons un autre exemple dans un astrolabe marocain de la fin du xvm e siècle décrit et figuré par M. Delphin (2). Sur cet instrument, on trouve un quart de cercle portant le treillis et les deux demi-cercles.

Des trois constructions qui se ramènent à deux, car le quartier de réduction n'est qu'une application spéciale du treillis, le compositeur du quadrans novus, dont notre instrument est un type, a choisi la plus élégante et la plus simple, puisqu'elle conduit au résultat cherché par deux demi-cercles seulement, alors qu'un tracé plus compliqué eût été impossible sur un tableau déjà chargé de lignes. Certains quadrants arabes qui sont munis du treillis donnant les sinus portent cette construction sur l'autre face, ou dos du quadrant, qui

(1) Cf. op. cit. suprà. Journal Asiatique, 1893.

(2) Delphin. L'Astronomie au Maroc. Journal Asiatique, 1891.

est alors dépourvue des tracés que nous avons trouvés sur le dos de notre instrument.

Les résultats obtenus par la manœuvre des index ne répondent certainement pas à des solutions d'une grande exactitude. Les astrolabes et les quadrants étaient, d'ailleurs, des instruments trop petits pour fournir des indications bien précises et celles-ci devaient être vraisemblablement contrôlées souvent par l'usage de Tables. Mais nous avons vu que nombre de problèmes pouvaient être résolus rapidement par une simple manœuvre mécanique ; et la caractéristique de ces ingénieux instruments n'est-elle pas de suppléer à la rigueur aux Tables, et, si l'on peut dire, de se suffire à eux-mêmes, ou bien d'évoquer par les tracés qu'ils portent les procédés de calcul particuliers à telle ou telle recherche?

L'instrument, rassemblant dans un petit espace le résumé de la trigonométrie, de la mécanique céleste et de la connaissance des Temps, devient ainsi le vade-mecum de l'astronome et du navigateur.