XI. — Les Mathématiques égyptiennes

Ce serait cependant tout autre chose de dire que la philosophie se développa tout à fait indépendamment des influences orientales. Les Grecs eux-mêmes croyaient que leur mathématique était d'origine égyptienne, et ils ont sans doute aussi connu quelque chose de l'astronomie babylonienne. Ce ne peut pas être par un simple accident que la philosophie prit naissance en lonie juste au moment où les relations avec ces deux pays étaient le plus faciles, et il est significatif que l'homme même qui, à ce que l'on dit, introduisit d'Egypte la géométrie, est aussi regardé comme le premier des philosophes. Il est donc de toute importance pour nous de nous rendre compte, si nous le pouvons, de ce qu'étaient les mathématiques égyptiennes. Nous verrons que, dans ce domaine également, les Grecs furent réellement originaux.

Un papyrus de la collection Rhind, au British Muséum, nous donne un renseignement instructif sur la manière dont on concevait l'arithmétique et la géométrie sur les rives du Nil. C'est l'œuvre d'un certain Aahmes, et elle renferme des règles de calcul dans ces deux sciences. Les problèmes d'arithmétique portent, pour la plupart, sur des mesures de grain et de fruits ; il s'agit, en général, de diviser un nombre donné de mesures entre un nombre donné de personnes, de savoir combien de pains ou de jarres de bière contiendront certaines mesures, et quels sont les salaires dus aux ouvriers pour une certaine somme de travail. Cela correspond exactement, en fait, à la description que Platon nous a donnée de l'arithmétique égyptienne dans les Lois, où il nous dit que les enfants apprenaient en même temps que leurs lettres à résoudre des questions relatives à la distribution de pommes et de couronnes à des nombres plus ou moins grands d'individus, à l'appariement de lut-

teurs et de boxeurs, etc. ^ C'est là, évidemment, l'origine de l'art que les Grecs appelaient Âoyiarixri, et qu'ils empruntèrent, à n'en pas douter, à l'Egypte ; mais on y chercherait en vain trace de ce qu'ils nommèrent àpiôfxr/Tîxr^, ou étude scientifique des nombres.

La géométrie du papyrus Rhind offre pareillement un caractère utilitaire, et Hérodote est évidemment bien plus près de la vérité quand il nous dit que la géométrie égyptienne eut pour origine la nécessité de remesurer les champs après les inondations, qu'Aristote quand il prétend qu'elle fut un fruit du loisir dont jouissait la caste sacerdotale ". Nous voyons, en effet, que les règles données pour calculer les surfaces ne sont exactes que si celles-ci sont rectangulaires. Comme les champs le sont généralement plus ou moins, cela devait suffire dans la pratique. La règle pour trouver ce qu'on appelle le seqt d'une pyramide est pourtant d'un niveau plus élevé qu'on ne s'y attendait ; car les angles des pyramides égyptiennes sont égaux en fait, et il doit y avoir eu quelque méthode pour obtenir ce résultat. Le problème revient à ceci. Etant donnée la « longueur à travers le sol du pied», c'est-à-dire la diagonale de la base, et le piremus ou arête, trouver un nombre qui représente le rapport entre ces deux quantités. Ce nombre s'obtient en divisant la moitié de la diagonale de la base par la hauteur, et il est évident qu'une telle méthode pouvait très bien être découverte empiriquement. C'est, semble-t-il, un anachronisme de parler de trigonométrie élémentaire à propos d'une règle comme celle-là, et rien ne fait supposer que les Egyptiens soient allés plus loin*. Il

1 Platon, Lois, 819 b, 4 : ^nf.wi te t'.vo>v S'.avoaaî zal o-sç'ivujv TtXîîoîitv oijjia xai ÈXi-xoa'.v âpuoT-ovrwv ao'.&fiûv tùjv aÙTûv, xal ti'jxtiov xal -îia/vatarùv sœîSpS'.a; ts xa\ o'jÀXtjçîcuç èv [iépst xai saiîçf.ç xat (ûç ite'pûxaoi yÎY^s^^'- *<ïi OTj xai TaiCovTsç, 'jiâ/.aç â(xa ■jrpuaoO xa: yT.Kxo'i zal àpY'JpO'j xal toioÛtojv x'.vûv àXXiuv xspàvv'jvTîç. 01 2s xai oÀaç itioç StaStSovTî;. Ce passage implique, par son contexte, qu'on ne pouvait rien apprendre de plus que cela en Egypte.

2 Herod., II, 109; Arist., Met., A. 1, 981 b, 23.

^ Pour un exposé plus complet de cette méthode, voir Gow, Short History ofGreek Mathematics, p. 127 sq., et Milhaud,Scjence grecque, p.99.

est extrêmement probable, comme nous le verrons, que les Grecs apprirent cela d'eux, mais, comme nous le verrons aussi, à partir d'une période relativement ancienne, ils le généralisèrent de façon à s'en servir pour mesurer les distances d'objets inaccessibles, par exemple de vaisseaux sur la mer. Ce fut probablement cette généralisation qui suggéra l'idée de la science géométrique, laquelle fut en réalité la création des Pythagoriciens, et une remarque qui nous a été conservée de Démocrite nous fait voir combien les Grecs surpassèrent bientôt leurs maîtres. Ildit(frg.299D) : «J'ai entendu les discours de beaucoup d'hommes instruits; personne encore ne m'a surpassé dans la construction de figures au moyen de lignes, accompagnées de preuves, pas même les harpedonapts égyptiens, comme on les appelle ^)) Or, le mot àpTcsSovdirrriCi n'est pas égyptien, mais grec. Il signifie « noueur de cordes * », et, par une frappante coïncidence, le plus ancien traité de géométrie hindou s'appelle Çulvasutras ou «règles de la corde». Cela fait supposer qu'on se servait du triangle dont les côtés mesurent trois, quatre et cinq unités, et qui a toujours un angle droit. Nous savons que ce triangle était employé à une date déjà ancienne chez les Chinois et les Hindous, qui le reçurent sans aucun doute de Babylone, et nous verrons que Thaïes en apprit probablement l'usage en Egypte ^ Il n'y a aucune raison quelconque de supposer que l'un ou l'autre de ces peuples ait pris la peine de donner une démonstration théorique de ses propriétés, quoique Démocrite eût certainement été capable de le faire. Pour finir, nous devons noter le fait hautement significatif que tous les termes mathématiques sont d'origine purement grecque *.

-' Le sens exact de âpiîESovâuTTjc a été déterminé en premier lieu par Cantor. Le jardinier traçant un parterre de fleurs est la vraie image moderne des « harpedonapts ».

3 Voir Milhaud, Science grecque, p. 103.

4 On a souvent supposé que le mot Ttupap-î; était dérivé du mot piremus, employé dans le papyrus Rhind, et qui ne signifie pas « pyramide », mais