CXLIV. — Les éléments des nombres

Aristote parle de certains « éléments » (rjTOiyiïoi) des nombres, qui étaient aussi les éléments des choses. Ce n'est là, évidemment, que sa façon à lui de présenter la question; mais nous aurons là évidemment aussi la clef du problème si nous pouvons découvrir ce qu'il veut dire. Premièrement, les «éléments des nombres» sont l'Impair et le Pair, mais il n'y a rien là qui semble nous être d'un grand secours. Nous constatons, cependant, que l'Impair et le Pair étaient identifiés, non sans quelque violence, avec la Limite et l'Illimité, qu'il y a, nous l'avons vu, des raisons de regarder comme les principes fondamentaux de la cosmologie pythagoricienne. Aristote nous dit que c'est le Pair qui donne aux choses leur caractère illimité, quand

« Arist. Met. A, 5. 987 a 15.

* Met. ibid. 986 a 15 (R. P. 66 ; DV 45 B 5).

3 Met. A, 6. 987 fc 27 : 6 '[ièv (nXircuv) toÙî àpt^tAOJ; uapà xà aîtj&TjTa. ol i (o't fl'j&aYopsio'.) àpi&aO'Jc slvaî çaoïv aùxà xk a'iabr^râ.

il est contenu dans elles et limité par l'Impair S et les commentaleurs sont unanimes à interpréter cette phrase en ce sens que le Pair est, en une certaine manière, la cause de l'infinie divisibilité Ils se heurtent pourtant à de grandes dilficultés quand ils essayent de montrer comment cela peut être. Simplicius nous a conservé une explication, due selon toute probabilité à Alexandre, et d'après laquelle ils appelaient le nombre pair illimité «parce que tout pair se divise en parties égales, et que ce qui se divise en parties égales est illimité sous le rapport de la bipartition ; car la division en égaux et demies continue ad infinitum. Mais si l'impair y est ajouté, il le limite, car il empêche sa division en parties égales ^. » Or il est évident que nous ne pouvons imputer aux Pythagoriciens l'opinion que les nombres pairs puissent être indéfiniment divisés par deux. Ils avaient étudié avec soin les propriétés de la décade, et ils ne peuvent avoir ignoré que les nombres pairs 6 et 10 n'admettent pas cette division. En réalité, l'explication doit être trouvée dans un fragment d'Arisloxène où nous lisons que « les nombres pairs sont ceux qui se divisent en parties égales, tandis que les nombres impairs se divisent en parties inégales et ont un milieu * ». Nous trouvons de ceci un nouvel éclaircissement dans un passage cité par Stobée et qui, en dernière analyse, remonte à Posidonius. En voici la teneur: «Quand l'impair est divisé en deux parties

' Met. A, 5. 986 a 17 (R. P. 66 ; DV 45 B 5) ; Phijs. F, 4. 203 a 10 (R. P. 66 a ; DV 45 B 28).

2 Simpl. Phijs. p. 455. 20 (R. P. 66 a; DV 45 B 28). Je dois les passages que j'ai utilisas pour élucider ce point à W. A. Heidel, flipa; und àitetpov in der Philosophie der Pythagoreer (Archiv, XIV, p. 384 sq). Le principe général de mon interprétation est aussi le même que le siea bien que, en mettant le passage en rapport avec les figures numériques, je croie avoir évité la nécessité de regarder les mots t^ ■^ào etç laa xai v^utaiT) S'a'-pîatc eî; aTietpov comme une « tentative d'explication ajoutée par Simplicius ».

V s Arisoxène, frg. 81, op. Stob. I, p. 20, 1 (DV 45 B 2) : ix tûv 'Apta-

TO^évo'j rispt àp(rtuT)T(x:^ç .... tûv Sa àpn^uwv àprioi [iév eîatv ol eîç Isa 8iaepoùfAEvot, TiEptaaoi 5s O'. stç aviaa -/.aï [iÉaov syovtsç.

égales, il reste une unité au milieu ; mais quand le pair est ainsi divisé, il reste un champ vide, sans maître et sans nombre, montrant qu'il est défectueux et incomplet^». A son tour, Plutarque dit: «Dans la division des nombres, le pair — partagé dans n'importe quelle direction — laisse en quelque sorte au dedans de lui... un champ; mais quand la même opération est faite sur l'impair, la division laisse toujours un milieu ^ ». Il est clair que tous ces passages se rapportent au même objet, et que ce ne peut guère être autre chose que ces arrangements de « pions » en figures, avec lesquels nous sommes déjà familiers (ji 47). Si nous songeons à ces figures, nous verrons dans (juel sens il est vrai que la bipartition continue ad infînilum. Si grands que soient les nombres, il n'y a jamais une unité au milieu d'un nombre pair.