CLXI. — L'Unité

Si nous soutenons que l'unité n'a pas de grandeur — et cela est requis par ce qu'Aristote appelle l'argument de la dichotomie ^ — alors chaque chose doit être infiniment petite. Aucune chose faite d'unités sans grandeur ne peut avoir elle-même une grandeur quelconque. D'autre part, si nous affirmons que les unités dont les choses sont formées sont quelque chose et non rien, nous devons soutenir que chaque chose est infiniment grande. La ligne est infiniment divisible; et, suivant cette opinion, elle consistera en un nombre infini d'unités, dont chacune a quelque grandeur.

Que ce raisonnement s'applique aussi aux points, cela

' Zeller suppose ici une lacune. Zenon doit certainement avoir montré que la soustraction d'un point ne rend pas une chose plus petite ; mais il peut l'avoir fait dans ce qui précédait le présent fragment.

- C'est là ce qu'Aristote appelle « l'argument de la dichotomie » {Phys. A, 3. 187 a 1 ; R. P. 134 b; DV 19 A 22). Si une ligne est laite de points, nous devrions pouvoir répondre à la question : m Combien de points y a-t-il dans une ligne donnée? » D'autre part, on peut toujours diviser une ligne ou une partie quelconque de cette ligne en deux moitiés ; de sorte que, si une ligne est faite de points, il y en aura toujours ua nombre plus grand que celui que vous lui assignerez.

2 Voir la note précédente.

est prouvé par un passage instructif de la Métaphysique d'Aristote^ Nous y lisons:

Si l'unité est indivisible, elle ne sera rien, suivant la proposition de Zenon. Ce qui, ni ne rend une chose plus grande quand on l'y ajoute, ni ne la rend plus petite quand on l'en soustrait, n'est pas, dit-il, une chose réelle du tout ; car évidemment ce qui est réel doit être une grandeur. Et si c'est une grandeur, il est corporel ; car cela est corporel, qui est dans chaque dimension. Les autres choses, c'est-à-dire la surface et la ligne, rendront les choses plus grandes si elles sont ajoutées d'une certaine manière, et ne produisent aucun effet, ajoutées d'une autre manière ; mais le point et l'unité ne peuvent d'aucune manière rendre les choses plus grandes.

De tout cela, il paraît impossible de tirer d'autre conclusion que celle-ci: le «un» contre lequel Zenon argumentait était le « un » dont un certain nombre constitue un «plusieurs », c'est-à-dire justement l'unité pythagoricienne.

CLXIl. — L'espace.

Aristote fait allusion à un argument qui paraît être dirigé contre la doctrine pythagoricienne de l'espace*, et Simplicius le cite sous cette forme ' :

S'il y a un espace, il sera dans quelque chose; car tout ce qui est est dans quelque chose, et ce qui est dans quelque chose est dans l'espace. Ainsi l'espace sera dans l'espace, et cela continue à l'inlini; c'est pourquoi il n'y a pas d'espace. — R. P. 135.

Ce contre quoi Zenon argumente en réalité ici, c'est la tentative de distinguer l'espace du corps qui l'occupe. Si nous soutenons qu'un corps doit être dans l'espace, alors nous devons aller plus loin et demander dans quoi est

» Arist. Met. B, 4. 1001 b 7 (DV 19 A 21).

2 Arist. Phys. A, 1. 209 a 23 ; 3. 210 b 22 (R. P. 135 a ; DV 19 A 24^

' Simpl. Phys. p. 562, 3 (R. P. 135). La versiou d'Eudèrae est donuée dans Simpl. Phys. p. 563, 26 (DV 19 p. 24) : à^ioî yàp nàv x6 Sv itoù etvaf 81 Se 0 TCiTioç Twv ôvTiuv, Ttoù âv eÎtj; oùxoOv sv àXXoj xoirto xotxeîvoç oh èv âXXw jcai ouTtoç eiç xo itpoow.

LES JEUNES ÉLÉATES 36i

l'espace lui-même. C'est un « renforcement» de la négation parménidienne du vide. Peut-être largument que chaque chose doit être « dans » quelque chose, ou doit avoir quelque chose en dehors d'elle, avait-il été opposé à la théorie parménidienne d'une sphère finie sans rien en dehors d'elle.

CLXIIl. — Le mouvement.

Les arguments de Zenon au sujet du mouvement nous ont été conservés par Aristote lui-même. Le système de Parménide rendait tout mouvement impossible, et ses successeurs s'étaient vus forcés d'abandonner l'hypçthèse raoniste à l'effet précisément d'éviter cette conséquence. Zenon n'apporte aucune preuve nouvelle de l'impossibilité du mouvement; il se contente de montrer qu'une théorie pluraliste, telle que celle des Pythagoriciens, est tout aussi incapable de l'expliquer que Tétait celle de Parménide. Considérés à ce point de vue, les arguments de Zenon ne sont pas de simples sophismes, mais marquent un grand progrès dans la conception de la quantité. En voici la teneur :

1. Tu ne peux pas arriver à rextrémité d'un stade ^ Tune peux pas franchir en un temps fini un nombre de points infini. Tu es obligé de franchir la moitié d'une distance donnée quelconque avant de franchir le tout, et la moitié de cette moitié avant de pouvoir franctiir celle-ci. Et ainsi de suite ad infinitum, de sorte qu'il y a un nombre infini de points dans n'importe quel espace donné, et tu ne peux en toucher un nombre infini l'un après l'autre en un temps fini-.

2. Achille ne devancera jamais la tortue. II doit d'abord atteindre la place d'où la tortue est partie. Pendant ce temps, la tortue prendra une certaine avance. Achille doit la regagner, et la tortue en profitera pour faire de nouveau un bout de chemin. Il s'en rapproche toujours, mais sans l'atteindre jamais*.

' Arist. Top. e, 8. 160 b 8 (DV 19 A 25) : Z^vtuvoç (Xô^oç), 5ti oÙz èvSÉ- -;(ETai xiv£î(j&ai oo8s to OTaStov SieX&sîv.

» Arist. Phys. Z, 9. 239 b 11 (R. P. 136; DV 19 A 25). Cf. Z, 2. 233 a 11; a 21 (R. P. 136 a ; DV ibid.).

» Arist. Phys. Z, 9. 2.39 h 14 (R. P. 137; DV 19 A 26).

L' « hypothèse » du second argument est la même que celle du premier, à savoir que la ligne est une série de points ; mais le raisonnement est compliqué par l'introduction d'un. objet qui se meut. La distance n'est plus, par conséquent, chaque fois la moitié de ce qu'elle était, mais diminue selon une raison constante. Ensuite, le premier argument montre qu'un objet qui se meut ne peut jamais franchir une distance, avec quelque rapidité qu'il se meuve; le second fait voir que, si lentement qu'il se déplace, il franchit une distance infinie.

3. Le trait qui vole est en repos. Car si chaque ctiose est en repos quand elle occupe un espace égal à elle-même, et si ce qui vole occupe toujours et à n'importe quel moment un espace égal à lui-même, il ne peut pas se mouvoir '.

Ici, une nouvelle complication est introduite. L'objet qui se itteut a lui-même une longueur, et ses positions successives ne sont pas des points, mais des lignes. Les moments successifs dans lesquels il les occupe sont cependant des points de temps. On aura peut-être plus de facilité à se représenter la chose, si nous faisons remarquer que la fuite du trait, telle qu'elle est représentée par le cinématographe, serait exactement de même nature.

4. La moitié du temps peut être égale au double du temps. Supposons trois séries de corps ^ dont l'une (A) est au repos, tandis que les deux autres (B, C), se meuvent avec une égale rapidité dans des directions opposées (Fig. 1). Au moment où ils sont tous à la même partie du stade, B a passé devant deux fois autant de corps de la série C que de la série A. (Fig. 2.)

1 Phys. Z, 9. 239 b 30 (R. P. 138) ; ib. 239 b 5 (R. P. 138 a ; DV 19 A 27). Ce dernier passage est corrompu, mais le sens en est clair. Je l'ai traduit selon la version de Zeller : eî ^âp, ^ri^iv^ ^^pejieî Tcâv oxav ^ xa-zà t6 îoov, eoTt 8'àel to cpspojxevov èv rtù vùv xaxà ro îaov, àxîvTjTOv x. t. X. Naturellement, àeî signifie « dans un temps quelconque » et non pas « toujours », et xarà to "oov littéralement « à la hauteur d'un espace égal (à lui-même)». Sur les autres leçons, voir Zeller, p. 598, n. 3; et Diels, Vors. p. 131, 44.

2 Le mot est ô^xoi; cf. chap. VII, p. 336, n. 1. Il est très bien approprié aux unités p3i;hagoriciennes, qui, comme l'avait montré Zenon, ont longueur, largeur et épaisseur (frg. 1).

LES JEUNES ÉLÉATES 367

Fig- 1- Fig. 2.

Donc, le temps qu'il lui faut pour passer devant C est deux fois aussi long que celui qu'il lui faut pour passer devant A. Mais le temps que B et C emploient pour atteindre la position de A est le même. Ainsi le double du temps est égal à la moitié K

Selon Aristote, le paralogisme dépend ici de ce que l'on admet qu'une grandeur égale, se mouvant avec une égale rapidité, doit se mouvoir pendant un temps égal, que la grandeur à laquelle elle est égale soit au repos ou qu'elle soit en mouvement. Il en est certainement ainsi, mais nous ne sommes pas tenus de supposer que ce point de départ soit de Zenon lui-même. Le quatrième argument est, en fait, exactement dans le même rapport avec le troisième que le second avec le premier. Achille ajoute un second point en mouvement au seul point qui se déplace dans le premier argument; cet argument ajoute une seconde ligne en mouvement à la seule ligne mouvante du trait qui vole. Les lignes, toutefois, sont représentées comme des séries d'unités, ce qui est précisément la façon dont les Pythagoriciens les représentaient; et il est tout à fait vrai que si les lignes sont une somme d'unités discrètes, et que le temps soit semblablement une série de moments discrets, il n'y a pas d'autre mesure de mouvement possible que le nombre d'unités que chaque unité franchit.

Cet argument a pour but, comme les autres, de faire ressortir les absurdes conclusions qui découlent de l'hypothèse que toute quantité est discrète, et ce que Zenon a

^ « Arist. Phys. Z, 9 239 b 33 (R. P. 139; DV 19 A 28). J'ai dû formuler l'argument à ma manière, car il n'a été donné complètement par aucune de nos autorités. En fait, la figure est d'Alexandre (Simpl. Phys. p. 1016, 14), si ce n'est qu'il représente les ô^-xoi par des lettres au lieu de points. La conclusion est^ clairement exprimée par Aristote (loc. cit.) : ouufoiveiv o'sTai 'oov eïvai );p6vov toj StitXaoiu) tov ^(iiouv, et, comment que nous formulions le raisonnement, il doit l'être de façon à aboutir à cette conclusion.

réellement fait, c'est d'établir la conception de la quantité continue par une réduction à l'absurde de cette hypothèse. Si nous nous souvenons que Parménide avait affirmé la continuité de l'un (frg. 8, 25), nous voyons combien exacte est l'analyse de la méthode de Zenon, que Platon met dans la bouche de Socrate.