XLVII. — Les Figures
Un des renseignements les plus remarquables que nous ayons sur le Pythagorisme, c'est celui qui nous est fourni sur Eurytos par l'incontestable autorité d'Archytas. Eurytos était disciple de Philolaos, et Aristoxène le mentionnait expressément — en même temps que Philolaos — parmi ceux qui avaient instruit les derniers Pythagoriciens, hommes avec lesquels il entretenait luimême des relations personnelles. Il appartenait donc au commencement du IV^ siècle avant J.-C, époque vers laquelle le système pythagoricien était complètement développé, et ce n'était pas un enthousiaste excentrique, mais l'un des philosophes les plus éminents de l'école \ Donc, on nous dit de lui qu'il avait l'habitude d'indiquer les nombres de toutes sortes de choses, par exemple du cheval et de l'homme, et qu'il représentait ces nombres en arrangeant des cailloux d'une certaine manière. Il faut noter, en outre, qu'Aristote compare ce procédé à celui qui consiste
1 A part l'histoire racontée par Jamblique (7. Pyth. 148) qu'Eurytos entendit sortir du tombeau la voix de Philolaos bien des années après la mort de celui-ci, il faut noter qu'il est mentionné après Philolaos dans l'indication que nous avons citée d'Aristoxène (Diog. VIII, 46 ; R. P. 62 ; DV 32 A 4).
à traduire les nombres en figures telles que le triangle et le carré K
Or ces indications, et spécialement la remarque d'Aristote que nous venons de citer, semblent impliquer l'existence, à cette date, et déjà plus tôt, d'un symbolisme numérique, distinct, d'une part, de la notation par lettres, et, de l'autre, de la représentation euclidienne des nombres au moyen de lignes. La première se prêtait mal aux buts arithmétiques, précisément parce que le zéro fut une des rares choses que les Grecs n'inventèrent pas, et qu'ils étaient par conséquent dans l'impossibilité de développer, en le basant sur la position des lettres, un symbolisme numérique réellement avantageux. La représentation euclidienne, on va le voir, est étroitement liée à cette absorption de l'arithmétique par la géométrie, qui est pour le moins aussi vieille que Platon, mais ne peut être primitive -. Il semble plutôt que les nombres étaient représentés par des points arrangés en dessins symétriques et facilement reconnaissables, dont la marque des dés à jouer ou des dominos nous donne la meilleure idée. Et ces dessins sont, en fait, la meilleure preuve que nous avons là une méthode vraiment primitive de représenter les nombres, car ils sont d'une antiquité dont nous ne pouvons nous faire une idée, et remontent au temps où les hommes ne pouvaient compter qu'en arrangeant les nombres d'après de tels modèles, dont chacun devenait, pour ainsi dire, une
1 Arist. Met. N, 5. 1092 b 8 (R.P. 76 a ; DV33,3). Aristote n'invoque pas ici l'autorité d'Archytas, mais la source de son indication ressort très clairement de Théophr. Met. p. VI a 19 (Usener) : toùto yàp (se to [atj |té](pt Tou TpoeX&ôvxa irajso&ai) tôXÉo-j xa'i œpovoOvToç, oi^-P Ap)(UTaî tiot sçt] Ttoteîv E'jpuTOv Statidîvta -civàç (jjvjtpo'jc" Xéyîiv yàp duc oSe ixîv àvôpujiiou 6 àpi&[AÔç.,o8â Sa Iiriiou, o8s 8' àXXou tivoç ru^xâvît.
3 L'aritlimétique est plus ancienne que la géométrie, et elle était beaucoup plus avancée en Egypte, quoiqu'elle fût encore plutôt ce que les Grecs appelaient Xo^toTixi^ qu'une àpt&u.T]TizTj proprement dite. Platon lui-même, dans la République, place l'arithmétique avant la géométrie par respect pour la tradition. Toutefois sa propre théorie des nombres suppose le renversement de cet ordre, que nous trouvons réalisé chez Euclide.
nouvelle unité. Cette manière de compter est peut-être aussi ancienne, si ce n'est même plus ancienne que l'emploi des doigts à cet effet.
Il est donc très significatif que nous ne trouvions aucune explication adéquate de ce qu'Aristote peut avoir entendu par «ceux qui traduisent les nombres en figures telles que le triangle et le carré » jusqu'à ce que nous en arrivions à certains écrivains postérieurs, qui se nommaient eux-mêmes pythagoriciens, et qui firent revivre l'étude de l'arithmétique comme science indépendante de la géométrie. Ces hommes, non seulement abandonnèrent le symbolisme linéaire d'Euclide, mais ils regardaient la notation alphabétique, dont ils usaient, comme une chose conventionnelle et inadéquate à la représentation de la vraie nature du nombre. Nicomaque de Gérasa dit expressément que les lettres employées pour représenter les nombres n'ont de signification que par l'usage et la convention des hommes. Le moyen le plus naturel serait de représenter les nombres linéaires ou premiers par une série d'unités, les nombres polygonaux par des unités arrangées de manière à représenter les [diverses figures planes, et les nombres solides ou cubiques par des unités disposées en pyramides, etc. ^ Il nous donne donc des figures comme celles-ci :
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Or il est évident que ceci n'est pas une innovation mais, comme tant de choses dans le Néopythagorisme, un retour à l'usage primitif. Naturellement, l'emploi de la lettre alpha pour représenter les unités est dérivé de la notation con-
1 Nicomaque de Gerasa, Introd. Arithm. p. 83, 12, Hoche : IIpoTepov Se èTtiYvœuTÉov on êxaotov Ypâ[Ap.a (o aYjfieioûp.e&'a àpiOfiôv, oiov to i, iu to Séxo, TO X, tp Ta etxooi, xo lu, «u rà ôxtaxoota, v6[iu) xal auvôi^fiaxt àvôpcuuîvwi àXX' où çùoet oTjaavttxov èan toO àptôp-où x. t. X. Le même symbolisme est employé par Théon, Expositio, p. 31 sq. Cf. aussi Jambl. Introd. p. 56, 27, Pistelli : îaTÉov ^^p ù>ç to itaXaiôv (puoixwxepov oî iipôa&ev £OTjp.aîvovxo xàç Toy àpidjioù itoaoxTjxoç, àXX' 005^ wauep ol vûv oupjîoXixtûç.
ventionnelle ; mais, à part cela, nous sommes évidemment en présence d'un système qui appartient à la plus ancienne phase de la science — et qui, en fait, donne la seule clef possible pour l'intelligence de la remarque d^Aristote et de ce que l'on nous dit de la méthode d'Eurytos.
