XLVIII. — Nombres triangulaires, carrés et oblongs

Ceci nous est en outre confirmé par la tradition qui représente la grande révélation faite par Pythagore à l'humanité comme ayant été précisément une figure de cette espèce, à savoir la tetraktys, par laquelle les Pj^thagoriciens avaient coutume de jurer % et nous n'avons rien de moins que l'autorité de Speusippe pour nous affirmer que toute la théorie impliquée dans cette figure était authentiquement pythagoricienne '. A l'époque récente, il y avait plusieurs sortes de tetraktys^, mais la tetraktys originelle, celle par qui juraient les P)i;hagoriciens, était la «tetraktys de la décade ». C'était une figure du genre de celle-ci :

et elle représentait le nombre dix comme le triangle de

' Cf. la formule Où aà -rov àit-t-zipa Yïveà TiapaSovTa TsTpaxTÛv, qui est d'autant plus probablement ancienne qu'elle est mise dans la bouche de P^-thagore par celui qui forgea les Xpuaâ ït:tj. et qui le fait ainsi jurer par lui-même! Voir Diels, Arch. III, p. 457. Le dialecte dorien montre cependant qu'elle appartient aux générations récentes de l'école.

2 Speusippe écrivit sur les nombres pythagoriciens un ouvrage basé essentiellement sur Philolaos, et un fragment considérable nous en a été conservé dans les Theologoumena Arithmetica. On le trouvera dans Diels, Vorsokratiker, p. 235, 15 (32 A 13), et il est discuté par Tannery, Science hellène, p. 374 sq.

3 Voir à ce sujet Théon, Expositio, p. 93 sq. Hiller. La TS-cpaxT-J; employée par Platon dans le Tiniée est la seconde de celles que décrit Théon {Exp. p. 94, 10 sq.). Elle est sans aucun doute pythagoricienne, mais il n'est guère probable qu'elle soit aussi ancienne que Pythagore.

quatre de côté. En d'autres termes, elle faisait voir d'un coup d'œil que l-|-2+3-l-4=10. Speusippe nous parle de plusieurs propriétés que les Pythagoriciens découvrirent dans la décade. C'est, par exemple, le premier nombre qui renferme en lui un nombre égal de nombres premiers et de nombres composés. Quelle part de tout cela remonte à Pythagore lui-même, nous ne pouvons le dire ; mais nous avons probablement le droit de lui attribuer la conclusion que c'est en « se conformant à la nature » que Grecs et barbares comptent d'abord jusqu'à dix et ensuite recommencent.

Il est évident que la tetraktys peut être indéfiniment étendue, de manière à représenter sous une forme graphique les sommes des séries de nombres successifs ; ces sommes sont en conséquence appelées «nombres triangulaires ».

Pour des raisons analogues, les sommes des séries de nombres impairs successifs sont appelées « nombres carrés », et celles des nombres pairs successifs « nombres oblongs». Si des nombres impairs sont ajoutés à l'unité sous forme de gnomons, le résultat est toujours une figure semblable, à savoir un carré, tandis que, si l'on ajoute des nombres pairs, on obtient une série de rectangles S comme le montre la figure suivante :

Nombres carrés Nombres oblongs

' Cf. Milhaud, Philosophes géomètres, p. 115 sq. Aristote expose la question comme suit {Phys. F, 4. 203 a 13) : irEpiTt&sfAÉvtuv yàp twv yvculAovtuv Ttept tÔ êv xal X*"?'^ °^^ ^'^"^ olWo àei y^Y^'''^'^' '^° sISo;, otè Se ev. Cela est plus clairement exprimé par Ps. Plut. (Stob. I, p. 22, 16 : 'En 8è TTQ [AOvâSi Tûjv écosç^ç Ttepiaaûiv TispiTi^ep-svcuv ô Ytvô[j.svoç àet T£TpâY<uv6ç èart" Tûv 8è àpxîtuv 6[i.otu)ç TtspiTi&ejxévcuv ÉTepoiAi^xeiç xat àviaoi itâvxsç aitopaîvouaiv, 'aw; 5s toâxi; oùSsî;. Je ne suis satisfait d'aucune des explications qu'on a données des mots xa'i x*"P^î ^^ passage d'Aristote (voir Zeller, p. 351, n. 2) et je proposerais de lire taîç x^ûp^^'î' ^" comparant

Il est donc clair que nous sommes en droit de rapporter à Pythagore lui-même l'étude des sommes de séries, mais nous ne pouvons dire s'il alla au delà de l'oblong et étudia les nombres pyramidaux ou cubiques \