LI. — Proportion et harmonie

Ces dernières considérations montrent que, s'il est tout à fait légitime d'attribuer à Pythagore la substance du livre I d'Euclide, l'arithmétique des livres VII à IX, n'est cer-

^ Arist. An. Pr. A, 23. 41 a 26 : on àaû[i.[i.aTpoc t] SiâfAerpo; Stà to ^^T" vîoOat rà itepiTTà laa. toîç àpTÎoi; (Juu.aiTpo'j Ts&s(air)ç. Les preuves données à la fin du livre X d'Euclide (vol. 111, p 408 sq. Heiberg) tournent sur le même point. Elles ne sont pas euclidiennes, et peuvent être en substance pythagoriciennes. Cf. Milhaud, Philosophes géomètres, p. 94.

2 Platon, Théétète, 147 d 3 sq.

^ Combien nouvelles ces conséquences étaient, cela ressort du fait que, dans les Lois, 819 d 5, l'étranger athénien déclare ne s'en être réellement rendu compte qu'à un âge avancé.

^ Cette version de la tradition est mentionnée dans Jamblique, V. Pyth. 247, et paraît plus ancienne que l'autre, sur laquelle nous aurons l'occasion de nous arrêter plus loin (S 148;. Hippasos est l'enfant terrible du Pythagorisme, et les traditions qui le concernent sont très instructives.

tainement pas de lui. Elle opère avec des lignes ou des surfaces au lieu d'unités, et les rapports qu'elle établit tiennent par conséquent bon, qu'ils soient, ou non, susceptibles d'expression numérique. C'est sans doute pourquoi l'arithmétique n'est traitée dans Euclide qu'après la géométrie plane, interversion complète de l'ordre originel. Pour la même raison, la théorie des proportions que nous trouvons dans Euclide ne peut être pythagoricienne, et est en réalité l'œuvre d'Eudoxe. Cependant, il est clair que les premiers Pythagoriciens, et probablement Pythagore lui-même, étudièrent les proportions à leur manière, et que les trois «moyennes» en particulier, remontent au fondateur, étant donné surtout que la plus compliquée d'entrés elles, r « harmonique » est en relation étroite avec sa découverte de l'octave. Si nous prenons la proportion harmonique 12 : 8 : 6 S nous trouvons^que 12 : 6 est l'octave, 12 : 8 la quinte et 8 : 6 la quarte, et l'on ne peut guère mettre en doute que ce fut Pythagore lui-même qui découvrit ces intervalles. Les histoires qui nous sont parvenues à ce sujet, et d'après lesquelles il aurait observé les intervalles harmoniques dans une forge, et qu'ensuite il aurait pesé les marteaux qui les produisaient ou suspendu à des cordes d'égale longueur des poids correspondants à ceux des marteaux, sont en réalité impossibles et absurdes, et c'est pure perte de temps que d'essayer d'en tirer une indication raisonnable -. Pour notre dessein, leur absurdité est leur principal mérite. Ce ne sont pas histoires qu'un mathématicien ou un

> Platon (Tim. 36 a 3) définit la moyenne harmonique comme t»)v...

raÙTtÇ [lépei tûv àxpcuv aùrûv 6'7t£pé)(ooaav xal ûitspe^o^evijv. La moyenne

harmonique de 12 et de 6 est donc 8, car 8 = 12 ^=6-|---

, 2 Sur ces histoires, et pour leur examen critique, voir Max C. P. Schmidt, KuUurhistorische Beitràge, 1. p. 78 sq. Les marteaux de forge sont du domaine des fables, et il n'est vrai ni que les notes seraient déterminées par le poids des marteaux ni que, si cela était, elles seraient produites par des cordes égales auxquelles on aurait suspendu des poids respectivement égaux à ceux des marteaux. Ces inexactitudes ont été relevées par Montucla (Martin, Etudes sur le Timée, I, p. 391).

musicien grec aurait pu inventer, mais de vrais contes populaires qui témoignent de l'existence d'une tradition réelle, suivant laquelle Pythagore était l'auteur de cette importante découverte.

LU. — Les choses sont des nombres.

Ce fut aussi, sans aucun doute, cela qui amena Pythagore à dire que toutes choses étaient des nombres. Nous verrons que, à une date postérieure, les Pythagoriciens identifiaient ces nombres avec des figures géométriques ; mais le simple fait qu'ils les appelaient «nombres», est suffisant — si nous le mettons en rapport avec ce que nous savons de la méthode d'Eurytos — pour montrer que ce n'était pas là le sens originel de la doctrine. Il suffit de supposer que Pythagore raisonnait à peu près comme suit. Si les sons musicaux peuvent être ramenés à des nombres, pourquoi n'en serait-il pas de même de toutes les autres choses? Il y a dans les choses beaucoup d'analogie avec les nombres, et il se peut fort bien qu'une heureuse expérience, pareille à celle qui amena la découverte de l'octave, révèle leur véritable nature numérique. Les écrivains néopythagoriciens, remontant sur ce point comme sur les autres à la plus ancienne tradition de l'école, s'abandonnent à leur imagination et énumèrent une infinie variété d'analogies entre les choses et les nombres; mais nous sommes heureusement dispensés de les suivre dans ces rêveries. Aristote nous dit expressément que les Pythagoriciens n'expliquaient que quelques choses au moyen des nombres S ce qui veut dire que Pythagore lui-même ne laissa pas de doctrine développée sur le sujet, tandis que les Pythagoriciens du V'' siècle ne se faisaient pas faute d'ajouter n'importe quoi de ce genre à la tradition de l'école.

> Arist. xMet. M, 4. 1078 b 21 (R. P. 78 ; DV 45 B 4); Zeller, p. 390, n. 2. Les Theologoumena Arithmetica, faussement attribués à Nicomaque de Gérasa, sont pleins de théories fantastiques sur ce sujet (R. P. 78 a ; DV A 12). Alexandre, in Met. p. 38, 8, donne quelques définitions qui peuvent être anciennes (R. P. 78 c).

Aristote implique, cependant, que, suivant eux, le « bon moment» (xaipoç) était sept, la justice quatre, et le mariage trois. Ces identifications, et quelques autres, nous pouvons les rapporter en toute sécurité à Pythagore ou à ses successeurs immédiats, mais nous ne devons pas y attacher grande importance. Ce sont de simples jeux de l'imagination analogique. Si nous voulons comprendre la cosmologie de Pythagore, ce n'est pas de là que nous devons partir, mais de toutes les indications à nous connues, qui présentent des points de contact avec l'enseignement de l'école milésienne. Celles-là, nous pouvons le conclure en toute sécurité, appartiennent au système dans sa forme la plus primitive.

LUI. — Cosmologie.

Or l'indication la plus frappante de cette espèce est une de celles que nous devons à Aristote. Les Pythagoriciens soutenaient, nous dit-il, qu'il y avait un « souffle illimité en dehors des cieux, et que ce souffle était inhalé » par le mondée En substance, c'est la doctrine d'Anaximène, et il devient pratiquement certain que c'était celle de Pythagore, si nous constatons que Xénophane la niait ^ Nous pouvons en inférer, doncj que le développement ultérieur de' l'idée est aussi dû à Pythagore lui-même. Une fois la première unité formée — de quelque façon que ce phénomène ait pu se produire — la partie la plus voisine de l'Illimité fut, nous dit-on, d'abord entraînée et limitée% et c'est justement l'Illimité ainsi inhalé qui maintient les unités séparées les unes des autres ^ Elle représente l'intervalle qui s'étend

1 Arist. Phgs. A, 6, 213 b 22 (R. P. 75 ; DV 45 B 30).

2 Diog. IX, 19 (R. P. 103 c; DV 11 A 1, 46). Il est vrai qu'ici Diogène puise plutôt à une source biographique qu'à une source doxographique (Dox. p. 168), mais ce trait ne peut guère être une invention.

•^ Arist. Met. M, 3. 1091 a 13 (R. P. 74; DV 45 B 26).

* Arist. Phys. A, 6. 213 b 23 (R. P. 75 a; DV 45 B 30). Dans les mots ItopîCst tôç (PÛaetç, on a vu une difficulté qui ne s'y trouve pas, parce qu'on a supposé qu'ils attribuent à ràiteipov la fonction de la limita-

entre elles. C'est là une manière très primitive de décrire la nature de la masse discontinue.

Dans les passages d'Aristote que nous venons de citer, il est aussi parlé de llllimité comme du vide. Cette identification de l'air et du vide est une confusion que nous avons déjà rencontrée chez Anaximène, et nous ne devons pas être surpris de la trouver aussi ici K Nous y trouvons également, comme nous pouvions nous y attendre, des traces distinctes de l'autre confusion, celle de l'air et de la vapeur. Il semble certain, en fait, que P}i;hagore identifiait la Limite avec le Feu, et l'Illimité avec l'Obscurité. Aristote nous apprend qu'Hippasos faisait du Feu le principe premier^, et nous verrons que Parménide, en discutant les opinions de ses contemporains, leur attribue cette opinion qu'il y a deux «formes» primordiales, le Feu et la Nuit*. Nous trouvons aussi que la Lumière et l'Obscurité figurent dans la table pji:hagoricienne des oppositions sous les titres respectifs de Limite et d'Illimité *. L'identification ici impliquée de la respiration avec l'Obscurité est une forte preuve du caractère primitif de là doctrine ; car, au Vie siècle, on tenait l'obscurité pour une espèce de vapeur, tandis qu'au V^ la vraie nature en était bien connue. Avec son tact historique habituel, Platon fait dire au Pythagoricien Timée que le brouillard et l'obscurité sont de l'air

tion. Aristote fait voir très clairement que son opinion est celle que nous avons exprimée dans notre texte. Cf. spécialement les mots ^(uptuuoù Ttvo; Tûv s(p£^-^î xaî Sioptasiuç. Le terme SiwpiapiÉvov est exactement l'opposé de ajve^Éç. Dans son livre sur la philosophie pythagoricienne, Aristote emplo3'ait au lieu de cela la phrase SioptCst ràî '/cûpaç (Stob. I, p. 156, 8 [I, 18,1 c]; R. P. 75; DV 45 B 30). qui est également tout à fait intelligible, si nous nous rappelons ce que les P\i:hagoriciens entendaient par X'ûp'ï ^cf. p. 117, n. 2).

ï Cf. Arist. Phys. A, 6, 213 a 27 : oî S'àv&ptonoi... çaaiv èv <Z oXujç (itjSév ÈOTt, tout' elvai xevôv, Zi'o xb itX^peç àépoc zevov eivai ; de Part. An. B, 10. 656 fc 15 : To YÔp zevov xaXoJ[j.£vov àépoç iiXTjpÉç éati ; de An. B, 10. 419 b 34 : 8oz£t fàp ei^<ït xôvov ô àïjp.

2 Arist. Met. A, 3. 984 a 7 (R. P. 56 c ; DV 8, 7).

?■ Voir chap. IV, | 91.

* Arist. Met. A, 5. 986 a 25 (R. P. 66 ; DV 45 B 5).

condensée Nous devons donc nous représenter un « champ » d'obscurité ou de souffle limité par des unités lumineuses, tableau que le ciel étoile devait naturellement suggérer. Il est même probable que nous devons attribuer à Pythagore la conception milésienne d'une pluralité de mondes, bien qu'il n'eût pas été naturel pour lui de parler d'un nombre infini. Nous savons du moins que Pétron, un des anciens Pythagoriciens, disait qu'il y avait exactement cent quatrevingt-trois mondes arrangés en triangle ^ et Platon, en faisant poser en principe par Timée qu'il n'y en a qu'un, lui fait reconnaître qu'on pourrait avancer un argument en faveur de l'opinion qui en admet cinq, comme il y a cinq solides réguliers ^