Peu importe ici leur genèse

4. Sur la question des géométries non euclidiennes et de l'espace à n dimensions, voir plus loin, pp. 388-389.

Et maintenant, si le principe d'identité s'applique, dans le temps et dans l'espace, au phénomène, — considéré en tant que multiple et non comme offrant telle ou telle qualité, — que va-t-il se produire? Il en résultera la inathématique, science pure de l'espace et du temps.

La mathématique apparaît comme la science qui étudie les propriétés de la grandeur numérique et figurée. Que faut-il entendre par là? Voici, sans doute : la mathématique, prenant pour point de départ un élément de l'espace et du temps, considère les accroissements qu'il peut recevoir dans le multiple de l'espace et du temps et les combinaisons qui peuvent résulter de ces accroissements. Comme l'espace et le temps rayonnent à partir du moi qu'ils enferment et prolongent, ainsi la grandeur se dénombre et s'étend à partir d'une unité — d'ailleurs arbitraire dans la pratique \ mais qui dans la pensée est runité, et dont l'office, comme son nom l'indique, dérive du rôle joué par le moi. L'unité mathématique — l'un ou le point — devient, en quelque sorte, le substitut du moi : par ce mouvement qui est l'addition ou par cette addition qui est le mouvement se forment le nombre et la figure"; et dans le nombre et la figure la pluralité se trouve traitée d'une façon particulière, — dans son rapport avec cette unité qui est le substitut du moi, et avec le temps et l'espace qui en sont l'extension. — Si tout cela est exact, voici ce qu'implique, en définitive, la mathématique. L'unité

1. On peut voir sur l'iinilé de longueur et de temps Sir W. Tliomson, Conf. scie7iti figues, II, Unités é/eclrii/ues.

2. « Le mouvement d'un objet dans l'espace ne fait pas partie d'une science pure, ni par conséquent de la géométrie; parce que nous ne pouvons pas savoir a priori, mais seulement par l'expérience, que quelque chose est mobile. Mais le mouvement comme description d'un espace est un acte pur de la synthèse successive de la diversité dans l'intuition externe en général par l'imagination productive et n'appartient pas à la géométrie seulement, mais encore à la philosophie transcendantale. » Kant, Crit. de la Raison pure, Log. transe, § 169^ note. Cf. § 152 : « Si je veux connaître quelque chose dans l'espace, par exemple une ligne, je dois la tirer, et par conséquent exécuter synlhétiquement une certaine liaison de la diversité donnée, de telle sorte que l'unité de cette action soit en même temps l'unité de conscience.... » Cf., d'ailleurs, toute l'Esthétique transcendantale. Toute cette analyse formelle de Kant, il faudrait la reprendre en la rendant ontologique.

mathématique est quelque chose, pour ainsi dire, d'incorruptible comme le moi ; se multiplie-t-elle dans le nombre et la figure, son incorruptibilité se communique au nombre et à la figure : on retrouve l'unité identique à elle-même au cœur de la figure et du nombre, et les propriétés qui résultent de sa multiplication dans tel nombre et telle figure se retrouvent elles-mêmes dans n'importe quelle partie du temps et de l'espace. Mais la mathématique, dans sa plus haute généralité, peut se définir par rapport au temps et à l'espace tout ensemble : n'applique-t-elle pas aussi bien le temps à l'espace que l'espace au temps ', et peut-on concevoir temps et espace l'un sans l'autre -?

La mathématique, d'une façon générale, met la continuité dans le discontinu; elle est une sorte de projection du moi dans une sorte de simplification des phénomènes : création mitoyenne qui doit relier moi et non-moi, si elle y réussit,

1. « Descaries eut cette idée de génie que le rapport établi par les géomètres anciens entre les formes et les nombres : 1" pouvait être retourné, de telle sorte qu'au lieu de tirer seulement des conclusions numériques de l'élude d'une figure de géométrie on pourrait encore tirer des conclusions géométriques de l'examen d'une formule; et 2" qu'il pouvait être généralisé, de telle sorte qu'à toute figure correspondit une équation et à toute équation une figure. » Lalande, Lectures sur la philosophie des sciences, p. 91-

2. M. Bergson, dans son Essai sur les données immédiates de la conscience, a fort ingénieusement distingué la durée concrète et le temps homogène. Le temps homogène, dit-il, c'est l'espace introduit dans la durée.

— Oui, mais l'espace est lui-même la durée concrète introduite dans le multiple : ou plutôt c'est le concret, le moi, l'un, appliqué au multiple; et, d'autre part, le moi, l'un, n'est durée concrète que par le multiple : sans le multiple du non-moi, il n'y a pas de multiplicité interne, il n'y a pas de moments, il n'y a pas de durée. Qu'est-ce que la durée purel 11 ne faut pas dire que le temps homogène est créé à l'instar de l'espace homogène : car cette homogénéité de l'espace provient du moi, — M. Bergson lui-même le montre finement, p. 73, — et ce n'est pas l'homogénéité qui passe de l'espace au temps, mais la multiplicité. M. Bergson estime que le temps, c'est la durée extériorisée, spatialisée, si l'on peut dire; mais le temps dillère de la durée, ou plutôt de la mémoire, de la même façon que l'espace dilTère de la co^nesthésie. Le temps et l'espace sont le prolongement du moi continu — qui déjà implique le non-moi — introduit sous le multiple extérieur pour l'unifier comme le multiple intérieur s'unifie dans le moi. La mathématique est une méthode pour retrouver partout la réalité une de la conscience; comme dans l'espace le multiple est plus apparent, la mathématique spatiale

— la géométrie — y fait plus sentir la continuité; comme dans le temps la continuité est plus apparente, la mathématique temporelle — l'arithmétique

— y fait plus sentir la discontinuité. Dans la mathématique générale, dans J'analyse, c'est surtout l'identité qui éclate.

elle prolonge par là même dans le non-moi l'êlre du moi. Et voici, en définitive, ce que la mathématique est destinée à prouver par un biais : Hors du moi ce qui est est, et ce qui est hors du moi ne fait qu'un avec le moi. Elle est la science de l'unité statique.

Science parfaite dans l'esprit, puisqu'elle est faite de l'essence même de l'esprit et d'un minimum emprunté au non-moi, — abstrait et transformé par l'esprit', — il n'y a pas à s'étonner qu'elle soit née de bonne heure, qu'elle ait progressé assez vite, qu'elle ait été nommée la science par excellence. Il n'est pas nécessaire ici d'insister sur ses méthodes et ses divisions, sur le caractère des définitions et des axiomes, — analytiques ou synthétiques, — sur la nature de la démonstration mathématique - : dans le progrès de ses méthodes

1. Pas plus que l'I ou le point, le nombre et la ligure n'existent en réalite dans l'objet.

2. Un des mérites de la Revue de métapliysiqtie et de morale est d'avoir publié un certain nombre d'articles intéressants sur la mathématique. Pourtant la plupart se rapportent plutôt à la méthode qu'à la philosophie des mathématiques. Je dois ajouter que, lorsque ces pages étaient écrites, j'ai cru en trouver la confirmation, sinon en ce qui concerne la portée nouménale ib' la mathématique, du moins sur des points importants, dans un travail de MM. E. Le Roy et G. Vincent sur la Mélhode mathématique (sept, et nov. 1894) : j'en ai été d'autant plus heureux que je ne m'avance ici qu'avec quelque appréhension; ce sont questions qui n'appartiennent pas aux seuls professionnels des mathématiques, mais qui intimident nécessairement les profanes. ■• La conscience, dans son progrès, élimine autant qu'elle le peut le contenu ou matière (de la perception) qui ne dépend pas d'elle en tant que faculté de connaître et d'opérer mentalement et qui dès lors échappe à ses prises... (p. 510). Le concept du nombre entier est la perception de pluralité réduite à l'état schématique... (p. 512). L'unité..., c'est la forme sous laquelle est perçu le moi : c'est donc une fonction logique, indéfinissable en elle-même et servant à tout définir. L'unité est le type de ces intuitions élémentaires, de ces atomes de pensée qui doivent seuls entrer dans la construction d'une forme pour que celle-ci soit ce que nous avons appelé une forme pure. On peut dire que l'objet mathématique, la donnée sur laquelle le calcul opère, c'est l'unité... (p. 516). L'unité est forme pour la perception, mais matière pour la raison... (p. 522). La valeur de l'analyse est la valeur même de l'esprit humain, puisqu'elle en vient tout entière au point de n'en être en quelque sorte qu'une extériorisation et qu'elle est construite uniquement à l'aide de la loi fondamentale de la raison... (p. 528). L'analyse achevée serait comme notre raison même étalée devant nous avec les creux constitutionnels dans lesquels doivent se placer et se mouler les choses pour être entendues de nous (p. 530). » Ils semblent avoir raison en disant que la géométrie est, à considérer son expression graphique, une malhématifpie appliquée dont la solidité repose sur une géométrie plus abstraite. Considérées dans la pratique, les figures ne sont que des graphiques.

comme dans la conslilution do ses alg-orilhmes, la mailiémalique cherche à toujours acquérir un degré plus haut de généralité, une souplesse croissante : elle devient plus propre à s'appliquer, plus elle est épurée, sur la réalité même, comme un réseau ductile; et plus est réduite la matière extérieure sur laquelle elle opère, plus elle manie un schème surabstrait, mieux elle fait éclater la continuité, l'identité, l'égalité. Ce petit signe =, c'est un symbole commode qui élcnd à tout, qui insinue partout le moi.

Peut-être y a-t-il quelque subtilité ou quelque chose de puéril en apparence dans cette remarque : c'est parmi les mathématiciens que l'hérédité semble jouer le plus grand rôle ', et c'est chez eux aussi que l'aptitude se révèle le plus tôt; Pascal, Clairaul, Gauss, Jacques, Jean et Daniel Bernouilli étaient déjà des géomètres à un âge où d'habitude on apprend encore les éléments des choses. Or, — si l'influence du monde extérieur est variable et la connaissance du monde extérieur lente, — ne conçoit-on pas, au contraire, qu'un certain sentiment intense de l'être et de sa continuité puisse se transmettre aisément et se manifester d'assez bonne heure? Et, pour considérer non les seuls individus, mais un peuple entier, le génie mathématique des Hindous, la passion avec laquelle ils cultivèrent le calcul alg-ébrique ou analytique -, ne sont-ils pas bien en rapport avec leur obsession spéculative de l'Etre, avec leur hallucination du multiple, — mais unifié par la notion de cet être qui apparaît dans le moi, — avec leur histoire — ou plutôt leur absence d'histoire et leur immobilité contemplative? Il n'y a rien pour les Hindous que cela qui est; et, en fait de science, on ne peut découvrir chez eux que

el des noms qui revêtent pour la commodité la mathématique de l'espace. Mais considérées génétiquement, ces ligures appartiennent bien dans l'esprit à la mathématique spatiale pure.

1. 8 Bernouillis; Léonard et Albert Euler; Clairaut, fils d'un professeur de maihématiques, etc. Voir de Candolle, Hist. des savants, et Galton, Hereditary genius.

2. Voir Rev. gén. des sciences, 15 août 1894, Léon Autonne résumant Moritz Cunlor : Vorlesungen ûbev Geschichte der Mal/iematik, I, 2° Auflage.

celles qui traitent de l'Éternel '. Cherchez donc la mathématique chez le Japonais primitif, toujours tout entier à la sensation présente : « C'est dans ses yeux que s'est réfugiée son àme, ne lui laissant de pensée que pour ce qui est capable d'un aspect visible et matériel ^ »; cette petite âme distraite s'égare et se laisse prendre à chaque phénomène. Comme on pourrait appliquer au Japonais celte phrase de Montaigne : « Je ne peins pas l'être, je peins le passage » ! — Il y aurait à faire une psychologie concrète delà mathématique, qui sérail, semble-t-il, singulièrement instructive.

La mathématique, dans son complet épanouissement, appliquant l'unité du moi au Temps et à l'Espace tout entiers, implique, appelle l'unité de l'Etre : Unité absolue, tel est le postulat et tel serait l'achèvement de la mathématique. Un Descartes, un Spinoza ont voulu clore par un coup de génie l'entreprise en cours d'exécution, et — malgré les difficultés qu'introduit dans leur système du monde la notion de l'infini — ils ont, l'un créé, l'autre complété une conception mathématique des choses. Or, à considérer le « Monde » et r « Homme » de Descartes, il y a, sans doute, une étrange témérité dans cette imperturbable déduction qui prend pour point de départ l'être découvert dans la conscience : il n'en est pas moins vrai que la mathématique s'applique à un nombre toujours croissant de phénomènes et qu'elle s'achemine patiemment vers cette prise de possession totale que le génie de Descartes avait pressentie avec raison et à tort voulu précipiter. Faut-il rappeler, d'une part, combien de découvertes mathématiques — qui, d'ailleurs, ne sont devenues définitives qu'en se rattachant dans l'esprit à la mathématique abstraite — sont nées de constatations empiriques; et combien, d'autre part, les déductions de la mathématique abstraite ont fait réaliser de découvertes expérimentales''?

i. Voir Chcvrillon, Dans Pliule.

2. De Wyzewa, les Japonais, Rcv. des Deux Mondes, 1" juillet 1890.

3. Sans parler des origines du calcul (calculus. Voir Taine, de l'Intelligence, II, IV, d) ou de la géomélrie (qui i)rocédc en partie de l'arpentage), l'analyse

Par Descaries et par Spinoza a éclaté l'invincible ambition de la mathématique : et la science tend à devenir tout entière mathématique dans un eiïort tantôt apparent, tantôt secret. N'a-t-on pas vu, depuis deux siècles, le nombre et la mesure gagner peu à peu les phénomènes qui y semblaient le plus réfractaires , par la découverte successive de caractères propres à être exprimés en grandeurs*?

Mais, dit-on, la mathématique universelle est une chimère; fût-elle réalisée, elle ne serait jamais qu'approximative et grossière, comme elle l'est a présent là même oii elle réussit; et enfin s'appliquàt-elle aux phénomènes de façon plus parfaite, elle n'aurait pas cette portée ontologique qu'il est ici question de lui attribuer. — Si la mathématique ne semble pas absolument adéquate à cela même où elle s'applique, peui-être y a-t-il moyen d'en rendre raison — comme, d'ailleurs, on le verra plus loin — sans que sa valeur s'en trouve amoindrie : c'est, pour l'instant, cette valeur qu'il importe de bien fixer.

Est-il vrai que le principe d'identité et, par suite, tout ce qui repose sur ce principe n'ait pas de portée objective-? Nous déclarons que deux plus deux ne sauraient faire cinq ou qu'un carré ne saurait être rond : est-ce simplement parce que l'expérience ne nous a jamais montré quelque chose qui fût cinq en même temps que deux plus deux ou quelque chose qui fût à la fois carj^é et rondl Évidemment non, quoi qu'en dise Stuart Mill : « Considérez le cas que voici : il y a un monde où toutes les fois que deux couples de choses sont placées à proximité l'une de l'autre ou exami-

€lle-même est plus ou moins tributaire des suggestions de l'expérience. Et quant au rôle de la déduction, il suffit de citer l'astronomie, où Laplace [Système du monde) a montré que les plus grands progrès viennent de l'application de l'analyse et de la mécanique.

1. Voir, par exemple, Duhcm, Quelques réflexions au sujet des théories physiques; Berthelot, la Re'volution chimique.

2. Pour toutes ces objections, voir Milhaud, Essai sur les conditions et les limites de la certitude logique.

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nées ensemble, une cinquième chose est immédiatement créée et amenée sous l'examen de l'esprit au moment où il unit deux à deux. Assurément ce n'est pas inconcevable, car nous pouvons en concevoir le résultat, en pensant aux levées des jeux de caries. On ne peut dire davantage que cela dépasse le pouvoir de la Toute-Puissance. Eh bien! dans ce monde assurément deux et deux feraient cinq, c'est-à-dire que le résultat auquel arriverait l'esprit en considérant deux fois deux serait de compter cinq. On voit par là qu'il n'est pas inconcevable que deux et deux puissent faire cinq; mais d'autre part il est très aisé de voir pourquoi dans ce monde nous sommes tout à fait certains que deux et deux font quatre. 11 n'y a probablement pas un moment dans la vie où nous n'en fassions l'expérience ' » ; et de même pour le carré rond. — Or on pourrait demander à Stuart Mill si la preuve que deux plus deux = cinq est inconcevable, ne se trouve pas dans le passage môme où il soutient le contraire : on y voit plus ou moins bien, à l'aide d'hypothèses étrangères à la mathématique, comment il se pourrait, par une sorte de prestidigitation divine, qu'on rencontrât toujours dans l'expérience 2 -j- (2 -]- 1) = .j, mais non pas comment il se pourrait que dans l'esprit on comptât 2-1-2=5.

Et pourquoi, dira-l-on, des définitions subjectives de deux, de quatre, de cinq, pourquoi de la définition du carré et du rond, tirerait-on des conséquences objectives? « Pourquoi l'impossibilité de réaliser, dans l'intuition, la simultanéité de deux images devrait-elle prendre une signification plus haute que l'impossibilité de n'importe quelle sensation inconnue? Le rond et le carré reçoivent bien en géométrie des définitions précises, mais il nous est interdit d'y faire appel, sous peine de céder à la tendance subjective ^ » — Évidemment, si le principe d'identité est considéré, — je ne dis môme pas comme une sorte de résidu de l'expérience, — mais comme