Voir chapitre i
2. L'air étant dans les mêmes conditions de température et de pression.
THÉORIE DE LAÉROPLANE
Valeur numérique de la résistance à la translation normale d'un plan mince. — Soit p la densité mécanique de Tair (masse de Tunitt^ de volume d'air) dans les conditions d'expérience ; posons
R =1 X p AV^ ;
la quantité X est de dimensions nulles, indépendante par conséquent du choix des unités. D'après Newton, X serait égala 1/2, d'après les raisonnements de la page 185, il serait égal ài. D'après Morin, Robert, Didion, von Lœssl, ce dernier nombre serait assez exact. Mais d'après les expériences plus récentes, plus variées et portant sur une plus grande échelle de vitesses, [expériences de Cailletet et Colardeau, d'Eiffel, etc.], X serait compris entre 0,55 et 0,64, selon la forme et les dimensions de la surface, et ce pour des vitesses variant de zéro à 40 mètres par seconde ^.
Admettons comme valeur approchée de X la valeur 0,64. D'autre part, à la température de 15**, à la pression de ^i^Qvam [conditions normales], en unités C. G. S. est égal
à 0,001 2 S =:= 7; — . D'où la formule :
(i) R = 4— AV=î (en C.G.S.).
I. Les lois précédentes ne sont qu'assez grossièrement approchées. D'après les expériences d'Eiffel, pour un disque donné le
rapport -^r '^= \i- "est pas constant, mais décroît quand V croît de
zéro à 33 mètres, et croît ensuite avec V, les variations relatives
de \x entre V ::= 26 et V =: .|o mètres étant de environ. Au voi-
sinagc de V = 33 mètres (ou 130 kilomètres à l'heure; jji passe par
un minimum et reste sensiblement constant.
De même, l'accroissement de R avec les dimensions des surfaces
scmhhhles, est plus marqué que ne l'indique la loi de similitude.
Tntin propose d'admettre que R croît proportionnellement non pas
à A, mais à A'»'. D'après Eiffel, cette correction est trop élevée;
R Tyr^ croit lentement quand 1 aire A, d abord petite, commence à
croître, mais semble tendre vers une constante quand les dimensions
de A deviennent grandes.
LES LOIS DE LA RESISTAyCE DE VAIR
Au système C. G. S. substituons le système L. F. T. où l'unité de longueur est le. mètre, Tunité de force F le kilogramme poids à Paris, Tunité de temps T la seconde et soient R', A', V les nouvelles mesures de R, A, V. On a :
R = 981.000 R', A=iu»A', V=io-îV',
d*où :
R' =: KA'V'-', avec K = 0,082.
Ce sont ces unités que nous adopterons dans ce qui suit, en prenant [vu l'incertitude des expériences] K =: 0,08. Nous représentons donc dorénavant par R la résistance mesurée en kilogramme-poids, par A Taire en mètres carrés de la paroi mince, par V la vitesse par secondes en mètres, et nous admettons comme formule de résistance à une translation normale :
(2) R :r:i KAV-, avec K = 0,08.
K est la résistance que rencontre dans l'air aux conditions normales un rectangle d'un mètre carré de surface, animé d'une vitesse de i mètre à la seconde perpendiculaire à son plan ; cette résistance est égale à 80 grammes.
Loi des densités. — Quand la température et la pression de l'air diffèrent des conditions normales, on admet que, toutes choses égales d'ailleurs, R varie proportionnellement à la densité de l'air. Autrement dit, soit xn le poids d'un mètre cube d'air à la température et à la pression de l'expérience, et soit g l'accélération de la pesanteur ; R est donné pour des disques semblables par la formule
À désignant un coefficient qui ne dépend que de la forme du disque. Pour les formes rectangulaires que nous considérons, X est égal à 0,64.
La formule définitive que nous emploierons sera donc ;
(,,} R=o,64-^AV^
THÉORIE DE L'AÉROPLANE
Elle est vraie quel que soit le système d'unités L. K. T. adoptées si m désigne le poids de l'unité du volume d'air ; en particulier, si l'air est aux conditions normales et si le système L. F. T* sont le mètre, le kilogramme poids et la seconde, la formule (4) coïncide avec la formule (2).
RÉSISTANCE DE l'aIR A LA TRANSLATION d'uN PLAN MINCE
INCLINÉ. — Soit i l'angle aigu (que nous appellerons angle d'attaque) de la vitesse V avec le plan II du disque ; soit O le centre de figure, OD la projection de V sur II. Quand le disque donné est un cercle, R ne dépend* que de i et de la valeur absolue de V ; mais quand le disque est, par exemple, un rectangle, R dépend non seulement de 1 et de V mais de la direction deOD par rapport au disque. Toutes choses égales d'ailleurs, R est plus grand quand OD est perpendiculaire au grand côté du rectangle que quand il est perpendiculaire au petit. Ceci se conçoit aisément : c'est surtout par les deux côtés latéraux que Tair tend ù. échapper à la déviation que lui impose le plan, et il s'échappera d'autant plus facilement que la longueur de ces deux côtés sera plus grande par rapport au périmètre total du rectangle.
Le vecteur V étant donné en grandeur et direction par rapport au disque, l'observation montre que R, pour les petites inclinaisons, varie proportionnellement à i ou sin 1 [et non à sin- î], et reste sensiblement constant à partir d'une certaine valeur /'o de i. Quant au centre de pressions C, à mesure que i diminue, il vient en avant du disque par rapport au centre de figure O, et tend vers une certaine position limite Co quand i tend vers zéro. Mais des expériences précises n'ont été faites que dans le cas où le disque est symétrique par rapport à OD ; dans ce cas, il est évident, par raison de symétrie, que C est sur la droite OD ; (juand i varie de 90^ à zéro, C varie sur OD à partir de ô en se rapprochant du bord antérieur, et tend vers une position Co pour i tendant vers zéro.
Cjs Ju rectangle. — Si le plan II est un rectangle, ceci
I. L'air étant dans des couditions données de température et de pression.
LES LOIS DE LA RÉSISTANCE DE L'AIR
s'applique au cas où V est perpendiculaire à un des côtés. Soient OA et OB les parallèles aux côtés du rectangle menées par son centre O ; supposons V et / constants et faisons varier OD de OA à OB; C passe d'une position Cj sur OA à une position Co sur OB, et décrit une courbe située dans Tangle AOB, courbe qui admet OA et OB comme axes de symétrie. En particulier [et cette remarque est importante pour les applications], si OD fait un petit angle avec OA, on peut remplacer les réactions de Tair par la force R appliquée en Cj et un couple formé par les deux forces R et — R appliquées respectivement aux points C et Cj ; Taxe de ce couple est sensiblement parallèle à OCj et il a le même sens que si C était sur la demi-droite OD (à l'intersection C de OD et du cercle de centre O et de rayon OC,). Dans une discussion qualitative, mais non quantitative, on peut donc admettre (et c'est ce que nos ferons plus loin) que C coïncide avec C.
Lois de la résistance pour un plan rectangulaire
OBLIQUE ANIMÉ d'UNE TRANSLATION PERPENDICULAIRE AU
GRAND CÔTÉ. — Quand V est perpendiculaire à l'un des côtés du rectangle, les résultats acquis jusqu'à ce jour se résument ainsi.
I. Loi du sinus (perfectionnée). — Pour les angles i ne lièpassant pas ^o", R [toutes choses égales d^ ailleurs) varie proportionnellement à sin i et R reste sensiblement constant pour i variant de ^&* à ço^.
Si Rgo est la résistance pour V normal au plan, cette loi se traduit par les égalités suivantes dans le cas d^ un carre.
^ R = 2 Rço sin /■ pour i ^ 30*^ ( R = R90 pour i compris entre 3o<> et 90''.
ou encore
i R = 1,28 AV^ sin / pour i ^ 30** ,
^ K =z 0,04 — AV- pour t compris entre 30^ et 90^'.
TUEOniE DE VAEROPLAAE
La première formule (6) peut encore s'écrire (Vn désignant la composante de V normale au plan) :
{G bis) R=i,28 — VV„ .
Remarquons que pour les faibles inclinaisons, la réaction est double de celle que donne la loi du sinus : R zn sin i R^^», appliquée à toutes les valeurs de /.
Pour un rectangle très allongé attaquant Vair par son grand coté, les valeurs d'Euler sont triplées, au lieu d'être doublées et Ton a sensiblement :
(6 ter) R z= 2 — AVVn .
ou R = 3 sin /■ Rqq pour i petit.
IJ'envergure [ ou grande dimension de 1 arête d'attaque par rapport à l'autre dimension ) accroît donc beaucoup R pour une surface S donnée. La formule (6 ter) s'applique si l'arête d'attaque égale 5 ou 6 fois l'autre côté [surfaces S aviation). Si le rectangle attaquait l'air par son petit coté, la formule d'Kuler R^sin/Rjjo s'appliquerait.
IL Variations du centre de poussée. — (Lois d'Avanzini (ît de Joëssel). — Soit 2 l la petite dimension du rectangle, X la distance de C au bord antérieur du plan, on a :
Les variations do C sont connues depuis longtemps des constructeurs de navires. La loi précédente a été adoptée en 1870 par l'ingénieur du génie maritime Jœssel à la suite dune série d'expériences concernant surtout des plans carrés. D'après cette loi, pour les très petites incidences,
C serait à nnv, distance du bord antérieur égale à — .
D'autres lois ont été proposées par Rayleigh, Kûmmer, Langley, Sorcau, etc. Pour l("s rectangles employés en aviation, la position du ccntnî des pressions correspondant
LES LOIS DE LA RÉSISTANCE DE VAIR
aux très petits angles est assez bien donnée par la formule
2 / de Jœssel x z=z — . Diaprés certains expérimentateurs
(Ci. Voisin notamment), C varie aussi et se rapproche
du bord antérieur quand V croit : il faudrait dans (7) multiplier le second membre par un facteur peu diflfêrent de i et décroissant quand V croît.
Plan animé d'un mouvement quelconque. — Les lois des pages 188-192 ne nous apprennent rien sur les résistances que rencontre un plan animé d'un mouvement quelconque, par exemple tournant autour d'un axe fixe. Un procédé qu'on emploie souvent consiste à sommer les pressions que Tair exerce sur chaque élément da du plan, en admettant que chaque pression élémentaire est la même que si à>7 était seul et animé d'une vitesse de translation W, [W vitesse vraie de Taffixe P de l'élément]. Mais une telle hypothèse est grossièrement inexacte : si elle était vraie le centre des pressions, dans le cas du simple mouvement de translation, coïnciderait toujours avec le centre de figure.
Il est toutefois des cas simples où ce mode de calcul peut donner du moins une indication.
Considérons un rectangle ahcd ou IT, d'aire A, dont le grand côté ab est hori- ,
zontal et qui est animé d'une vitesse de transla- ^^^
tion V horizontale, perpen- X "^v^ , ^
diculaire à ^ ^ et faisant y " ^^ /t>^\
avec la direction ascen- ^«^ iTyC /
dante ca à\x petit côté un V-* l/-J>-0 /
angle très faible i. Animons ''^^ /
le plan II d'une rotation ^^\/
autour d'une droite parai- ^
lèle à ^ ^ et située dans le Fig. 32.
plan 1: en avant de ab; à
une distance h de O, [fouettement de la queue d'un
oiseau]. Soit w la vitesse angulaire de cette rotation,
dont le sens est tel qu'elle accentue l'inclinaison de 11 ;
nous supposons la quantité w// ou V^ [vitesse commu-
^ 193 € PAINLEVÊ et BORBL. — I3
THÉORIE DE UAÉROPLANE
niquée à O par la rotation] très petite devant V, mais non pas devant V sin /. La vitesse W d'un élément dtr du plan d'affixe P est peu différente de V en valeur absolue, et sa composante normale Wn est V sin i -\- tar^ r désignant la distance de P à ^o ^o • Si on admet le mode de calcul ci-dessus, la pression qui s'exerce sur l'élément d<s d'affixe P est sensiblement augmentée [formule 6 ter] de
