A V co 7i r= aRo , si Ro désigne la réaction pour
0) = o et a le rapport s-, — : — . ou 77 — ?" — . . De plus, le cen-
^^ V sm î V sm ^ '^
tre de pressions C recule d'une longueur égale à 0,6 / -^ .
Par exemple, si V = 20*", h =: lo"", / = i"*, / z= 5" et si le plan fait deux tours à la minute, R est plus que doublée par la rotation lo et le centre C recule de 7 centimètres.
Il est bien certain que ces conclusions sont exactes au moins qualitativement^ et même assez approchées quant à l'évaluation de R si to n'est pas trop grand. Elles expliquent, comme nous le verrons plus loin, le rôle amortisseur de la queue -.
RÉSISTANCE DE l'aIR A LA TRANSLATION D*UN CORPS
QUELCONQUE. — Soit maintenant S un corps solide de forme quelconque animé d'un mouvement de translation. Comment calculer les résistances que l'air lui oppose? Obtiendra-t-on une évaluation acceptable de la somme géométrique R de ces résistances, en adoptant le mode de calcul du numéro précédent et en appliquant la loi du sinus à chaque élément de surface frappé par l'air?
1 . Si le plan II tourne en sens inverse. R décroît de la même quantité pour la nicnic valeur absolue de (o et change de sens quand (t> est sulti^ainnient grand; le centre de pression avance sur le plan II.
1. DeN remarques analogues s*af>pliqueraient à une rotation autour d'une parallèle aux petits cotés du rectangle [battement d'aile du
haut en bas).
LES LOIS DE LÀ RÉSISTANCE DE LAIR
La comparaison avec rexpérience montre que la force
R ainsi calculée est en çénéral très différente de la réaction vraie. Dans certains cas, Técart est assez faible. Dans d'autres cas, la loi du sin- conduit à des résultats plus exacts. Mais dans la plupart des cas, aucune des deux lois no donne une détermination approchée de R.
Il est chimérique d'espérer formuler une loi élémentaire faisant connaître, même grossièrement, la pression subie par un élément da d'une surface solide, d'après la seule donnée de V et de / [inclinaison de V sur f/d], et sans rien savoir quant au reste de la surface. Lorsqu'un solide se meut parallèlement à lui-même dans l'air calme, les mouvements et les pressions de l'air au voisinap^e de «a surface S dépendent de l'étendue et de la forme intégrales de la surface S, et la pression que subit chaque élément de S dépendra non seulement de V et /, mais de tout le reste de S.
La surface S étant donnée ainsi que l'orientation de ^ par rapport à S, l'expérience montre que la somme géométrique R des réactions de l'air sur S croît proportionnellement^ à V- [Loi du carré de la vitesse]. Si on compare deux surfaces semblables, V gardant la même valeur et la
même orientation par rapport à S, les deux forces R sont dans le même rapport que les aires des deux surfaces, c'està-dire proportionnelles au carré de leurs dimensions [Loi de similitude].
Quand S est une sphère, R est indépendant de l'orientation de V, tandis que dans les autres cas elle varie très notablement avec cette orientation.
Lorsque S présente un plan de symétrie, et que V est contenu dans ce plan, il est évident par raison de symétrie que les réactions de l'air admettent une résultante unique
OR située dans le même plan; le point d'application de cette résultante doit être déterminé expérimentalement. Dans les autres cas, ces réactions équivalent à nue force
et à un couple.
I. L'air étant dans des conditions données de température et de
pression.
THÉORIE DE V AÉROPLANE
Lorsque S présente un axe de symétrie OZ auquel V est parallèle, les réactions de l'air admettent une résultante unique OR dirigée selon cet axe, en sens inverse de V. Si on pose alors R i= cV^, il sufi&t de connaître la constante
c pour que OR soit entièrement déterminée^. C'est ce qui a lieu notamment quand la surface S est de révolution autour de OZ .
Principe du fuselage. — L'étude expérimentale de ce dernier cas a mis en évidence l'influence sur R non seulement de la forme avant du projectile, mais encore de la forme arrière . Appelons A l'aire du parallèle maximum de S [Maître couple) ; pour A donné, on sait depuis longtemps qu'on diminue la résistance (à égale vitesse) en fuselant l'avant, c'est-à-dire en lui donnant la forme d'un obus assez allongé. Mais il est bien établi aujourd'hui qu'on diminue cette résistance en fuselant aussi l'arrière. (Principe du fuselage du colonel Renard.) Les dirigeables, les sous-marins, les projectiles Lebel sont fuselés, non seulement à l'avant*, mais à l'arrière. Pour les dirigeables, on préconise même des formes assez arrondies à l'avant et plus fuselées à L'arrière [forme des poissons à grosse tète et très rapides*]. Des recherches approfondies sont encore nécessaires à ce sujet.
Le rôle du fuselage d'avant s'explique de lui-même puisqu'il atténue considérablement les chocs de l'air sur S et les déviations des filets d'air. Le rôle du fuselage d'arrière s'explique ainsi : il se crée à l'arrière du corps une dépression qui tend à se combler ; les filets fluides viennent se
1. Si V change de sens par rapport à of (c'est-à-dire si l'avant du projectile devenant l'arrière), c change en général de valeur.
2. Il convient, d'après certaines expériences, de terminer le fuselage non par une pointe, mais par une forme un peu émoussée. On conçoit qu'une pointe aiguë, à l'endroit où elle déchire l'air et le disperse en tous sens, crée un état singulièrement perturbé et peu propre à rétablissement d'un régime stable. C'est ainsi que l'avant du projectile Lebel, se termine par un petit méplat.
3. M. Frédéric Houssay a fait récemment d'intéressantes études expérimentales sur la forme des poissons. Voir notamment Revue générale des Sciences^ 1909, p. 943.
LES LOIS DE LA RÉSISTANCE DE L*AIR
fermer en quelque sorte sur Tarrière du corps, comme l'indique la figure 33. Si l'arrière de S est plat ou rentrant, la pression de l'air sur l'arriére est très diminuée, et cette dépression à Tarrière contribue avec la surpression à l'avant à engendrer la résistance R. Si au contraires est fortement bombé, ou mieux, fuselé à l'arrière, les filets d'air qui aboutissent violemment à l'arrière atténuent ou suppriment la dépression :
d'où diminution de R. ^^8- 33-
Dans le cas d'un liquide
incompressible parfait, les pressions d'arrière contrebalancent exactement, comme on le sait, les pressions d'avant et la résistance est nulle.
Toutes les considérations qui précèdent s'étendent évidemment au cas beaucoup plus compliqué encore où le corps S est animé de mouvements quelconques (rotations, etc.) Elles entraînent une conclusion importante au sujet des théories qui veulent évaluer la résistance que rencontre un plan mince : toute théorie qui ne tient pas compte de ce qui se passe à l'arrière du plan est inexistante.
Les frottements de l'air. — Dans tout ce qui précède, nous avons admis que les réactions de l'air sur la surface du solide étaient normales à cette surface. En réalité, de par la viscosité de l'air, les réactions normales s'accompagnent de réactions tangentielles beaucoup plus faibles.
Tenons compte de ces frottements dans le cas d'un plan mince rectangulaire II, animé d'une translation perpendiculaire au grand côté. Par raison de symétrie, les réactions de l'air admettent' unerésultaute unique CR dont la composante normale au plan, soit Rn, est (p. 192).
(8^ 2 -^ AV2 sin i — R
I. Si la translation avait une direction quelconque, ces réactions devraient être remplacées par une force et par un couple.
THEORIE DE L'AEROPLANE
quant à la composante tangentielle Rt, elle dépend de V et de / suivant une loi mal connue; on peut admettre approximativement la formule :
(9) / -^ AV^ cos / == Rt
/"désignant un coefficient très petit devant 2.
La résistance CR est d'après cela sensiblement normale au plan II, sauf pour les petites valeurs de i : pour / = o, elle est parallèle au plan tt.
Appelons résistance nuisible ou traînée F et résistance utile ou poussée N les composantes de R suivant V et suivant un plan perpendiculaire à V ; la première a toujours le sens opposé à V. Si V est horizontal ainsi que le grand côté du rectangle et si le rectangle est incliné vers le haut de l'arrière à l'avant, la résistance utile N est verticale et ascendante; c'est la. force sustentatrice de U considéré comme une aile.
Quand on ne tient pas compte des frottements de l'air sur le plan on a :
N = R cos /, F iz: R sin i, d'où F :=i N tg/,
avec pour i <-7^
R = 2 — AV^ sin / =1: 2 — AVVn g g
Si on tient compte des frottements on a :
N = Rn cos i — Rt sin i , F = Rn sin i -|- Ri cos /,
RnefKt étant données par les équations (8) et (9). Pour les petites valeurs de /; N = - XV^i [2 4- ...];
F =- AV- I /'+ 2î- + ...], les termes non écrits étiint
très petits devant les termes écrits. Ces formules restent \raics si le plan est inclina vers le bas, à condition de regarder / ( «jt par suite Rn ) comme négatif.
LES LOIS DE LA RESISTANCE DE L'AIR
Fi
g- -il-
Résista XCE Dî^ l air a la translation d'unk par<»i «TiiiRnE. — (.'t»nsidt*r<>ns mu.' parui miiict- cvlindrique compr:s«' ^ntp- Jeux s«-ctions droites r't deux g.cnératric''S dl\cJ: '-t imairinons qu'un»" nappe liquide arrivf sur le bord antérifur jb d«" la surface imin«>bile, avec une vitesse V tan- Liente à la surfaci- '"t perpendiculaire à ab; V est parallèle vi jt, rani^-ente -^n j à la secti«.>n droite.
Soit / i'ans^le que nous supposons p»'t:t des deux tanL::ent(.*s en a et l" à cette -t-ction.
L«^ sy-ti'mi«- ti.'Ut entier .nappe liquide r-t paroi étant immérité dans un fluide à prtfsnion (:nn.<tant«j, on sait que les pres- >it'ns ([ui s'ex«rn:ent sur la paroi ont une
r<-sultantt.- OR directement opposée à la bissectrice de l'angle mon que font les d'-ux tanci'ntt^s aux r'xtré mités ;;/, » de la section droite
moyenn«*.et que la valeur absolue de OR
est
,n 2 — A.\ - sm —
A^ désignant l'aire de la section droite do
i.i napp-- liquidr- à l'arrivée. Si on décompose encore R en une
C'-mpo^-ant»- utile- N perpendiculaire à V et une composante
nui-ible V directement opposée a \ . on a : -r^,- ~"- tg —^ .
Supposons dans ce qui suit, pour plus de clarté, \' et *.ib horizontaux :
X est la force sustentatrice. Pi>ur une même valeur de X, la traînée F est deux t'ois plus petite i|ue celle v^ui existerait si la même nappe liquide heurtait un plan incliné, de même air»', dont ab serait l'arête d'avant.
Si Ion admet ^Euler. Rankine\ la pi>ssihilité d'assimiler â ce phénomène l'arrivée d'un courant d'air indéfini sur la paroi immobile, toutes les surfaces cylindritiues de même ain- se vaudraient, que leur courbure fût prononcée i\ l'avant, ou à l'arrière, ou constante.
En réalité, l'assimilation précédente est tout i\ fait ^y^rossière et critiquable.
THEORIE DE LAEROPLANE
Seuls de longs tâtonnements peuvent déterminer la forme optima de la surface portante. Pour une aire portante, une vitesse V et une force sustentatrice N données, cette forme optima est celle qui présentera la résistance minima à l'avancement F ; on pourra définir sa qualité sus-
N tentatrice par le quotient ^=r- . Les ailes d'aéroplanes ont
sensiblement des profils paraboliques, dont le sommet est à l'avant.
Quant au point C où la résultante R perce S, il est à l'avant de S.
Nous admettrons que C et la direction CR ne dépendent
que de l'inclinaison de S mais point de la grandeur de V. Quand la surface S, recevant l'air franchement par en dessous, se relève un peu vers le haut, l'observation montre que C recule. Quand elle s'abaisse, C commence par avancer, puis, à partir d'une certaine inclinaison, recule très rapidement (expériences des Wright, de Râteau, d'Eiffel), ce qui s'explique aisément par l'action de l'air sur la partie supérieure du bord antérieur de l'aile ; cette action est une force dirigée vers le bas et la règle de composition des forces montre que cette circonstance fait rétrograder C.
Formules empiriques représentant R. Angle d'attaque. — Pour une certaine inclinaison So de S, N est nul, et cette inclinaison ne devra jamais être dépassée ni même
atteinte par les ailes des appareils d'aviation, car N changerait de sens et la force N cesserait d*être sustentatrice, en même temps qu'elle tendrait à faire pivoter davantage ^^' 5^" vers le bas l'avant de S autour du
• centre de gravité de S. Dans cette position vS, la corde mn est inclinée d'un très petit angle e sur l'horizon ^ ; soit ïp la droite liée invariablement à la courbe ;;/C// et qui coïncide alors avec R ; l'angle ipm est donc un petit angle donné e.
I. La droite/;;/ peut être dirigée au-dessus (fig. 36) ou au-des« sous de // : £ serait négatif dans le second cas.
LES LOIS DE LA RÉSISTANCE DE VAJR
Désignons par a Tangle (aigu) de V et de //», angle que nous appellerons l'inclinaison de la vitesse sur la surface S ou angle d'attaque. Il est essentiel d'observer que cet angle est défini à partir de la direction Ip, dont nous venons d'indiquer la détermination expérimentale, et non pas à partir de la corde mn. Soient N et F, comme ci-dessus, les composantes de R normale et parallèle à V. Pour les surfaces employées en aviation, et, dans les limites restreintes où varie l'angle «, N et F sont assez bien représentées * en valeur absolue par les formules suivantes (où a est mesuré en radians) :
( N = KAV^a , ^ ( F = KAV2 [a2 4-/] = Na -f fKAV^
K et f désignant deux constantes (la seconde de dimensions nulles) qui dépendent toutes deux de la forme de S. Les formules ont exactement la même forme que si S était un plan II dont Ip serait la section, les frottements n'étant point négligés [p. 198]. Mais si la surface est bien construite, K est au moins une fois et demi plus grand que pour le plan ; dans l'air aux conditions normales, K atteint et dépasse pour les bonnes surfaces usuelles 0,33 au lieu de 0,24 [les unités étant le mètre, le kilogramme-poids et la seconde]. Les valeurs admises pour K par les divers aviateurs atteignent et dépassent 0,4 et 0,5 : les divergences de leurs conclusions proviennent de Vincertitiide de l'angle a, qui n'est point l'inclinaison de la corde ;;/;?. Admettons, par exemple, la valeur :
pour A = 50 mètres, V =^ 20 mètres (ou 72 kilomètres à l'heure) et a = — ou 5^, N est égal à 666 kilogrammes ;
ces nombres correspondent assez bien aux caractéristiques des aéroplanes Voisin.
I . Expériences de Lilienthal interprétées par Soreau. Les formules I s'accordent assez bien avec les expériences pour a variant de zéro à 1/4 rad., c'est-à-dire de o» à 150.
THÉORIE DE L'AÉROPLANE
Nous n'indiquerons pas d'application numérique faisant intervenir la valeur de /", car cette valeur est très incertaine. On peut d'ailleurs observer que les déductions d'après lesquelles les formules 1 ont été déduites des expériences de Lilienthal ne sont pas convaincantes. D'une part, en effet, les mesures de Lilienthal prêtent à la critique ; d'autre part, il n'a opéré que sur des petites surfaces, inférieures à un mètre carré; il y a donc une extrapolation par similitude très hardie. Quant aux expériences sur les grandes voilures, elles ne peuvent guère être faites qu'en étudiant la marche ordinaire et la chute planée d'un aéroplane (méthode de Ferber): pour interpréter ces mesures, il conviendrait de se donner des formules analogues à (I) dans lesquelles N et F seraient développés û priori suivant les puissances de a supposé petit ; et il s'agirait tout d'abord de vérifier que les seuls termes importants sont, dans N le terme en a, et dans F le terme constant et le terme en a-; on calculerait ensuite les coefficients de ces termes. L'essentiel pour nous est d'observer que la substitution de ces formules plus générales aux formules I, n'entraînerait pas de modification importante de la théorie de l'aéroplane .
Remarque. — Il ne faut pas confondre l'angle d'attaque a tel que nous venons le définir avec l'inclinaison «j de V sur le bord antérieur de S. Soient mt la tangente en m à mCii et T, l'angle de ;;// et de Ip ; on a : a^ = a — t,. Si a est un peu plus petit que r^ (de 6^, par exemple), a^ est négatif et l'avant extrême de S reçoit l'air par en dessus. Ces conditions sont c(;lles de la marche normale d'un aéroplane Voisin.
Courue métackntrique. — Supposons S immobile, le plan du tableau étant son plan de symétrie, et faisons varier dans ce plan l'inclinaison de l'arrivée de Tair sur S, c'est-à-dire l'angle d'attaque a. Pour chaque valeur* de a, la résultante R des résistances occupe une position déterminée rX couptî la courbe mCn en un point C déterminé.
I. Si on admet que C varie aussi avec la valeur absolue Je V (pour OL donné), ce qui suit s'applique à une valeur donnée de V. A cliaquc v.ilcur Je V correspondrait une courbe métacentrique.
PROPULSEURS HELICOIDAUX
siiirjn pour rii : les deux composantes parallèles à O^ sont i';;a]<'s et de raûme sens et admettent une résultante /. dirijfi-e selon O;; les lieux compusantes normales à. 0\ ferment un couple d'axe parallùle à Oî, soit v cet axe compté posi-
Appelons A« la demi-normale à (I qui fait un angle aigu avec Of, et admettons, pour fixer les idées, qu'elle soit orientée de droite à gauche par rapport â O^, Soit Am la pnijection de A« sur le plan perpendiculaire en A à CA,
o l'angle de 0; et de Am, (o^o^ —\ et tj, l'angle
La projection \V„ sur An de la vitesse W de l'élément II est [r désignant la distance CAJ :
(,, W„ = (- ru, sin ? + V cos o) cos ^.
La réaction do l'air sur II a le sens Ah ou le sens contraire selon que la quantité [i) est négative ou positive '. Soit R l'action de l'air sur t: et Z la composante de K suivant l'axe de rotation. Pour i|uelasomme géométrique des réactions de l'air sur le système ACli ait le sens de V, c'est-à-dire suit propulsive, il faut et il suffit que 7. soit positif, donc que riu soit plus grand que V cotg o ; la ' " st alors aKcos i cosç. Quant au cimplè v, il otation positive lo et son moment en valeur
:r cos if sin î . Le rapport "2- = rtg o.
iUe le sj'stème ACB soit le propulseur d'un il il est lié invariablement et qui porte un teur exerçant sur l'arbre propulseur ABC un xe a !e sens 0{ et une valeur absolue donnée ur commence à tourner autour de O; dans :t propulse I dans le sens O^. Une fois le c'est-i-dire V et eu constants, le théorème
iaatif, Z iei3 négatif pour toute Tulcur de lo. ue 'gauche à droite, il faut renverser les conclue de lu: pour (o>o. Z est négatif quel que ti, 11 est positif si r I (u j > N colg o.
THEORIE DE L AEROPLANE
RÉSISTANCE DE l'aIR A LA TRANSLATION OBLIQUE d'uNK
SURFACE CYLINDRIQUE. — Supposons quc la vitess 6 relative de l'air par rapport à S ne soit plus parallèle au plan de symétrie de S. Les réactions de l'air sur la surface à un instant donné peuvent être remplacées par une force CR et un
couple dont Taxe OH est parallèle à R. La droite CD qui porte CR est déterminée sans ambiguïté. Pour discuter avec rigueur la stabilité des aéroplanes, il serait indispensable de connaître CR et CH pour chaque orientation et
valeur de V. Or les expériences sur ce difficile sujet font absolument défaut.
Toutefois, si l'angle de V et du plan de symétrie est faible, et si la courbure de S est peu accentuée, on peut qualitativement assimiler la surface au plan fictif IT et admettre qu'il existe encore une résultante unique dont le point d'application C se trouve sur la demi-droite Ou, O désignant le centre de figure du rectangle S et Ou
la projection sur S de la vitesse V construite avec O comme origine.
En définitive, dans les applications qui vont suivre, nous pourrons remplacer partout les surfaces portantes par les plans fictifs II qui leur sont invariablement liés.
Propulseurs hélicoïdaux.
Schéma d'un propulseur. — Considérons une tige
rigide AB dont le milieu C décrit une droite fixe 0{ avec
z une vitesse V, tandis qu'elle tourne
autour de la demi-droite O:^ avec une
vitesse angulaire positive w. Les
^ t \V^ deux extrémités A et B portent deux
petites surfaces planes netO, sjrmé- 2j Q ^ A~ triques par rapport à 0:j. Les réac-
tions de l'air (ou de l'eau) immobile dans lequel est immergé le système ^ sont symétriques par rapport à 0\,
^'*K 39- Décomposons la réaction totale qui
s'exerce sur II en deux composantes paralh'k; et normale à O:^ et effectuons la même décompo-
PROPULSEURS hélicoïdaux
sition pour [Ti : les deux composantes parallèles à O^ sont égales et de même sens et admettent' une résultante Z dirigée selon 0^; les deux composantes normales à O;^ forment un couple d'axe parallèle à 0:{, soit v cet axe compté positivement selon 0\.
Appelons Xn la demi-normale à [T qui fait un angle aigu avec 0\^ et admettons, pour fixer les idées, qu'elle soit orientée de droite à gauche par rapport à O;^. Soit Am la projection de An sur le plan perpendiculaire en A à CA,
o l'angle de 0:{ et de Am, lo^^o^ j et ^ l'angle
7nAii.
La projection \Vn sur An de la vitesse W de l'élément 11
est [r désignant la distance CA] :
(i) Wn = ( — rw sin o -[- V cos cp) cos ^.
La réaction de l'air sur II a le sens Aji ou le sens contraire selon que la quantité (i) est négative ou positive*. Soit R l'action de l'air sur iz et Z la composante de R suivant l'axe de rotation. Pour que la somme géométrique des réactions de l'air sur le système ACB ait le sens de V, c'est-à-dire soit propulsive, il faut et il suffit que Z soit positif, donc que rw soit plus grand que V cotg o ; la valeur de Z est alors 2Rcos d» cos cp. Quant au couple v, il s'oppose à la rotation positive to et son moment en valeur
absolue est 2Rr cos «j; sin « . Le rapport -y- =i rtg o.
Imaginons que le système ACB soit le propulseur d'un solide S auquel il est lié invariablement et qui porte un moteur, ce moteur exerçant sur l'arbre propulseur ABC un couple dont Taxe a le sens 0{ et une valeur absolue donnée Vj : le propulseur commence à tourner autour de O;^ dans le sens positif et propulse X dans le sens 0\. Une fois le régime établi, c'est-à-dire V et w constants, le théorème
I. Si (1/ est négatif, Z sera négatif pour toute valeur de a>. Si A;/ est orientée de gauche à droite, il faut renverser les conclusions quant au signe de to : pour (o]>-o, Z est négatif quel que soit oj ; pour tu <C o, il est positif si r | a> | > N cotg o.
TUÉORIE DE VAÉROPLANE
des aires et le théorème du mouvement du centre de gravité appliqués au système ABC, et à Taxe O^ (supposé horizontal) montrent : i*^ que Vj =: v rz rZtgo ; 2^ que la force de propulsion [somme géométrique des réactions exercées par le propulseur sur S] est égale à Z, c'est-à-
COtfif o
dire à v^ 2 j . Le travail moteur^ pendant Tunilé de
temps, est : v^oj rzi wrZtg o, quantité toujours plus grande que VZ, puisque V reste nécessairement inférieur à rtotg o.
En valeur absolue, la vitesse W de II est Vr-a)^ + V^, Wn est donnée par l'expression (i). La loi du sinus exprime que R = }.AW\Vn (A aire de n), d'où :
(2) Vj =z 2XAr cos- 'i^ sin o Ttor sin o — V cos 0] ^V^ -f- r-&»-.
En général, la force de propulsion doit surmonter une résistance que rencontre X et qui croit proportionnellement à V- d'où la condition
/ \ iT> ''1 cote; o
(3) fxV- =: i 2 i.
Le couple v^ étant donné, l'équation (3) fait connaître V-, l'équation (2) donne la valeur de w, plus grande
V cotfi[ o que ^— !- d'après la forme môme du second membre
de (2).
L'angle ^ n'intervient que dans l'équation (2). La valeur de w pour v, donné, et par suite le travail moteur dépensé VjW, sont d'autant plus grands que cos ^ est plus petit. Il faut donc choisir ^ nul, c'est-à-dire faire passer le plan D par CA.
Propulseurs hélicoidaux. — Considérons maintenant une surface; do vis à filets carrés d'axe 0:{, que nous supposons dc'xtrorsum, (jui tourne autour de 0{ avec la vitesse anj^ulain; (positive) w, en même temps qu'elle avance dans ht sens O; avce uni; vitesse V. La surface est limitée par deux génératrices rectilignes, l'axe O^ et un cylindre de
PROPULSEURS HELICOÏDAUX
révolution d'axe 0\, Soit \ =z h^ l'équation de la surface en coordonnées semi-polaires (r, 0, ;(), dans sa position primitive. Le long d'une génératrice rectiligne D, la demi-normale à la surface qui fait un angle aigu cp avec 0{ est orientée de droite à gauche autour de 0;{, perpendiculaire
à D, et on a : tg cp z= — .
Si on décompose la surface en éléments symétriques, deux à deux par rapport à O:^, et si on applique à ces éléments les résultats précédents, on voit : i° que les réactions de l'air sur l'hélice équivalent à une force Z dirigée selon O^ et à un couple v dont l'axe est dirigé selon O;^; 2^ que Z
a le sens O^ si 7/a> > V : 3^ que ~=- = 7z . Le travail vw
du couple moteur appliqué au propulseur est donc égal à Zh'jD, donc toujours supérieur à VZ.
Recul de r hélice. — Si la surface se vissait dans un écrou fixe, elle avancerait de 2T^h (pas de l'hélice) par tour
complet; en réalité, — ^ étant la durée d'un tour complet,
elle avance seulement de V . La différence touiours
[VI p
h I ou 27: — ^ s'appelle recul de l'hélice ; p est la vitesse de recul. Le travail moteur pendant l'unité de temps est YJiia = Z [V 4- p]. On donne souvent
ZV au rapport — =-; — < i le nom de rendement de l'hélice. ^^ Z/ïo)
L'équation (3) devient :
Ces conclusions supposent seulement que la réaction de l'air sur un élément de surface est normale à cet élément, ce qui est assez voisin de la réalité. Il convient de ne pas oublier quci dans toute cette discussion, l'air est supposé immobile.
Quand on admet (hypothèse très éloignée de la réalité) que chaque clément de surface subit la même
THÉORIE DE C AÉROPLANE
pression de l'air que s'il était seul, on peut appliquer à chaque élément la formule (2) où on doit faire : ces ^!; = i
et tff o ^ .
Dans la réalité, on évide les parties de rhélice voisines de Taxe pour ne garder qu'une couronne hélicoïdale comprise entre les cylindres r ^ ro et r =. r^. Dans le cas
où — 7-^ est petit devant Tunité, on peut remplacer
approximativement /V^ -\- r'^ti^- par rto, et le couple des résistances de l'air sur l'hélice a comme moment :
(5) v = Xi7/(D(to— V)
\ étant une constante attachée à l'hélice. Pour h très
petit et — — voisin de i , X^ est sensiblement égal à kr^A^ A
désignant l'aire de la surface hélicoïdale.
Les formules (4) et (5) font connaître tu et V quand v est donné.
Application a l'hélicoptère. — Gyroplans. — Supposons que l'axe 0;^ soit vertical et que le corps S soit immobile dans l'air : V est nul, et la force de propulsion de l'hélice est égale au poids de tout l'appareil. Pour h
petit et — - voisin de i, on aura approximativement : ''0
(6) P = ~ 1= A To A// W^ ;
le travail moteur dépensé sur l'arbre de l'hélice par unité
de temps est P//w = — j^=:- .
V/Xr^A
Pour to d<jnné, on voit que ce travail peut être rendu aussi ptitit qu'on veut en prenant // petit et TqA grand.
De là l'idéiî d'accroître considérablement les surfaces des hélic(;s dt!stiné("s aux hélicoptères, et de transformer on quol([ue s(jrtc toute la surface de l'hélicoptère en hélice [gyroplans .
PROPULSEURS Hélicoïdaux
Mais à ces conclusions toutes théoriques s'opposent la difficulté d'accroître indéfiniment les dimensions d'une hélice de poids donné, et tous les éléments qu'a négligés le calcul [frottements, etc J .
HÉLICE DE PAS VARIABLE. — Daus le propulseur que nous venons d'étudier, l'air ne frappe pas la surface tangentiellement; il se produit donc un choc, d'où une perte de force vive.
On améliorera beaucoup le fonctionnement de l'hélice en supprimant ou atténuant le choc ^.
Si les vitesses de régime doivent être V et w, on recevra l'air sur une surface de vis comprise entre deux généra-
trices très voisines et dont le pas sera , cette surface
sera prolongée par une autre surface analogue de pas plus grand, prolongée elle-même par une troisième de pas plus grand.
On peut perfectionner les théories précédentes en tenant compte des frottements de l'air sur l'hélice (Drzewiecki, Râteau]. Les calculs ainsi conduits ont l'avantage d'introduire un nouveau coefficient arbitraire, qui permet d'établir une certaine corrélation entre les formules obtenues et la réalité. Mais il faut se garder de donner à ces résultats plus de portée qu'à des formules empiriques fort inexactes. Les frottements introduits sont en effet plus faibles que l'erreur commise en appliquant la loi du sinus à chaque élément considéré comme s'il était seul.
En réalité, la détermination précise de la forme et des dimensions des hélices propulsives ne relève actuellement c^ue de rexpériencc (voir ch. ii).
I. Les raisons sont les mêmes que pour la substitution des ailes courbes au plan incliné [p. 199].
^ 209 ^ PAINLEVÉ et BOREL. — I4
THÉORIE DE ^AÉROPLANE
Application des lois de la résistance de Tair
à Taéroplane.
Problème de la chute. planée. — Un corps plan, abandonné en air calme dans des conditions initiales convenables, peut-il descendre d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme ? S'il en est ainsi, les résistances de l'air doivent admettre une résultante égale et directement opposée au poids GQ du corps, G désignant le centre de gravité. Discutons cette condition dans le cas où le corps est un
rectangle II dont le centre de gravité est sur la parallèle DE aux petits côtés menée par le centre de figure D. Nous supposons le corps animé d'une translation initiale nulle ou perpendiculaire au grand côté. Le plan vertical fixe xOy qui contient la position primitive de DE est évidemment un plan de symétrie du phénomène : le point G et la droite DE vont se mouvoir dans ce plan. L'hypothèse que nous étudierons est que la droite DE se meut parallèlement à elle-même avec une vitesse constante V.
Admettons d'abord que les résistances de l'air soient rigoureusement normales au plan II : pour que ces résistances admettent comme résultante — GQ, il faut : !<> que le centre de pression C coïncide avec G ; 2" que DE soit horizontal ; 3" que l'angle a de V et du plan satisfasse à la condition :
(i) XV^ sina = P ,
P désignant le poids du corps et X une certaine constante attachée au plan*. La composante verticale Vsin a de la
Fig. 40.
vitesse est égale à
sma.
1. Nous supposons a'< 30»; X = o.2s A dans Tairauz conditions normales (A désignant l'aire de H), si |] est un rectangle allongé.
APPLICATION DES LOIS DE LA RÉSISTANCE DE VAIR
Fig. 41.
Or à chaque valeur de a correspond une position C du centre de pression comprise entre D et Q, C^ désignant un
point situé entre E et D à une distance ECji m — ED environ. Pour que la chute planée soit possible, il faut donc que G soit compris entre D et C^.
A une telle position de G correspond une valeur de a et une seule telle que C soit en G. La valeur de V^ est alors déterminée par Téquation (i).
Donc, à toute position de G entre D et C^ correspond un régime de chute planée et un seul.
Plus G sera voisin de C^, plus la pente de chute sera faible, plus V sera grand et plus la vitesse verticale sera faible.
Imaginons maintenant qu'au plan n soit lié invariablement un solide ^ ayant la forme d'une sphère, dont le centre est dans le plan xOy et sensiblement confondu avec le centre de gravité G de tout le système. Les résistances de l'air sur une sphère ont une résultante F ou fi.V^, directement opposée à la vitesse V et passant par G'; les résistances de l'air sur le plan Tl ont une résultante R normale à n et appliquée en un certain point C. Pour que les forces F et R admettent comme résultante — GQ poids total du
système, il faut d'abord que R passe par G, c'est-à-dire que G soit sur la perpendiculaire à n menée par C.
Soit maintenant v l'angle de V et du plan horizontal (pente de la chute) et a l'angle de V et du plan II (angle d'attaque) ; on doit avoir (en projetant sur la direction V et la direction perpendiculaire) :
i P cos Y zn X V^ sin a cos a
/> P sin Y = V2 [X sin2 a + [jl]
