I. a est un certain coefficient attaché au solide

THÉORIE DE VAÉROPLANE

d'où sensiblement

(3) tg Y zr tg a + -^ cotg a .

Pour que la chute planée soit possible, il faut donc et il suffit que la perpendiculaire abaissée de G sur le plan n tombe en un point C situé en O et Ci. Cette condition remplie, la position de C définit Tangle d'attaque a ; Tangle de chute Y est alors donné par (3) et V par la première condition [2).

Discussion. — Le plan II et le solide 2 sont supposés donnés, mais on peut attacher 2il à II dans une position relative arbitraire, de façon que la projection de G sur n tombe en un point donné C de DE. Comment choisir ce point C pour que la pente de chute soit minima ?

La position de C détermine a. Le problème revient donc à choisir a, de façon que tg f soit minimum. Il faut pour cela, et il suffit, d'après (3) que :

A tg a = «Ji cotg a ,

tga = V/ 4— , et la valeur minima de tgy est 2 W -y- .

Dans les applications, 4— est petit, les valeurs précédentes de a et Y sont elles-mêmes petites : la résistance du plan sustentateur à l'avancement ou XV^ sin*a est alors sensiblement égale à XV-a- ou [xV*, c'est-à-dire égale à la résistance propre de l'esquif.

Comment choisir G pour que la vitesse verticale soit minima ? 11 iaut que V sin y soit minimum. Pour a et y petits, on a sensiblement :

d'où

V/aÀ

et Vsinv = Vv^^[v/;+-^J;

APPLICATION DES LOIS DE LA RÉSISTANCE DE L'AIR

la dérivée par rapport à a de cette dernière expression s'annule pour a- = 3 -Ç- , ou encore a =z -^ — . La valeur correspondante de Vy est alors minima et égale à -^ i/P ( -4^ I . La résistance du plan sustentateur à

Tavancement est alors triple de la résistance propre de l'esquif.

Ces deux théorèmes sont dus à Penaud (1873).

Stabilité contre le tangage (ov longitudinale). — Le régime de la chute planée étant établi, imaginons qu'on change brusquement l'inclinaison de CE d'un petit angle, de façon que a soit un peu augmenté. Le centre de pressions recule en C sur DE et dans la nouvelle position CE' de CEy la résultante des réactions de l'air sur Tl est C'R' au lieu de CR^. Le théorème des aires appliqué au mouvement du système autour de son centre de gravité G montre aussitôt ffig. 34] que CE' revient vers CE. Un raisonnement analogue s'applique si a diminue. Remarquons que cette conclusion est vraie,

quelle que soit la position de G sur la perpendiculaire en C à DE, que G soit très en dessus ou très en dessous de C. Le couple de rappel ne dépend en effet que de la distance ce [et de R'].

Or, c'est là une conclusion contraire à l'opinion universelle des aviateurs, daprès laquelle la stabilité contre le tangage n'existe que si le centre de gravité est au-dessous ^

Fig. 42.

I. Certains aviateurs pensent expliquer le fait ainsi : le système est comparable à un pendule accroché par un clou qui serait le centre de pressions : or il est bien connu qu'un tel pendule n'est stable que si son centre de gravité est au-dessous du clou. — Ce raisonnement e^t sûrement inexact, puisqu'il est en contradiction

THEORIE DE VAÉROPLANE

de C. Mais dans la théorie précédente, nous avons négligé la composante de R parallèle au plan U [p. 198]. Si

nous en tenons compte, notre conclusion va être conforme à l'expérience.

Pendant la chute planée, R passe par G. Si on augmente un peu a, dans la nouvelle

position CE', R (au lieu de CRj) devient C'R' [fig. 44], qui

^ coupe CRj en un point (métacentre) situé au-dessus de IJ.

La force R' tend à diminuer Tinclinaison de CE ou à Taccroître suivant que G est audessous ou au-dessus de y.

D'où la conclusion : pour que le planeur soit stable au tangage, il faut que le centre de gravité G soit au-dessous du métacentre*.

Pour les petites valeurs de a, la courbe métacentrique [p. 202] est une courbe tangente à DE et qui s'en écarte fort peu : la règle coïncide alors sensiblement avec la règle pratique qui veut que G soit au-dessous de C.

Fig. 43.

Conditions générales du planement. — Corrigeons les équations (i) en tenant compte de la composante de R parallèle au plan n. mais en nous bornant à l'étude des petites valeurs de a et y. Si/ÀV- est la valeur absolue de cette composante, il nous faut introduire les termes — /"XV^sina,

complète avec le résultat précédent. En réalité, il n'y a aucune identité entre les deux phénomènes qu'on assimile ainsi arbitrairement, et ce sont des raisons toutes différentes, comme il ressort de ce qui suit, qui justifient la règle empirique.

I. Ce théorème est analogue au théorème classique sur l'équilibre du navire.

APPLICATION DES LOIS DE LA RÉSISTANCE DE VAIR

+/XV^ cos a dans les seconds membres de (i) ; la première équation (i) devient pour a etf petits :

mais, /étant très petit devant Tunité, on peut le négliger, et les équations qui se substituent aux équations (2) deviennent en définitive :

(4) P = XV2a , PY = >V-a2+(jz-(-X/)V« ,

équations tout à fait analogues aux équations (2) pour a et Y petits, à cela près que la constante (x est remplacée par la constante [x 4- ). f .

D'autre part, CR doit passer par G ; or pour chaque valeur de a, la distance DC est bien déterminée, soit DC zz: o (a). 11 faut que la droite qui joint C à G soit CR, c'est-

à-dire que tg ECG = - d'où une condition qui définit a

(sous la réserve que G soit dans la région du plan CEG balayée par la tangente à la courbe métacentrique).

Supposons maintenant que les deux petits côtés du rectangle n soit légèrement incurvés : autrement dit, ce sont deux courbes planes parallèles, normales au grand côté de II, et le plan II est remplacé par un cylindre de génératrices parallèles au grand côté de 1:. Nous savons [p. 203] qu'on peut, dans tous les calculs, substituer à cette surface un plan fictif qui lui est invariablement lié : si nous appelons a l'angle de ce plan fictif et de V, les équations {14) subsistent. Pour simplifier la notation, je remplacerai dans ce qui suit la constante ((Jt + f^ par V-y ®^ ^^^ conditions du planement seront :

(5) Pz^XV^a PYzi=XV2a2 + fiVa .

La position de G dans le planeur déterminera a.

En définitive*, pour que le système constitue un planeur

I. Des conclusions tout à fait analogues s'appliquent à un planeur de forme entièrement quelconque symétrique par rapport au plan xOy.

THÉORIE DE Ï'AÉROPLANE

correspondant à une valeur donnée de a, il faut que son centre de gravité soit sur la tangente à la courbe métacentrique au métacentre (? qui correspond à cette valeur a. Pour que le planeur soit stable contre le tangage, il faut que G soit au-dessous de o. La pente -^ et la vitesse V de la chute planée seront alors données par les équations

Les conclusions de la page 212 quant à la pente rainima

et la vitesse verticale minima subsistent sans modifications.

Mouvements peu différents d'une descente correcte. — Les conditions initiales du planeur étant encore symétric[ues par rapport au plan vertical (plan du tableau), mais d'ailleurs quelconques, G décrira dans ce plan une trajectoire curviligne en général et DE ne gardera pas une direction constante dans ce plan.

Appelons l'angle de ED avec Thorizontale DjCj, V la

vitesse de G, a l'angle EDV, et -y l'angle x^ DV, Tous ces angles sont aigus et positifs dans le cas de la figure 44, croît quand l'appareil

pique du nez vers le sol ; v est égal

Les résistances de l'air sur tout l'appareil admettent une résultante :

soient F et N ses projections sur la demi-droite V et la perpendiculaire à V menée vers le haut, et soit v son moment par rapport à G compté positivement dans le sens des croissants. Quand 0' est nul, on a (pour x petit)

'ig- 44-

F-— V- j/a^-f (jlI

N — aY^ol

a, désignant la val<*ur de* a ([ui correspond au planemont correct, et 7 une constante. Si 0' / o, le raist>nnement de la pagr K) montre (jue v s'accroît d'un<' ({uantité — 2 /i VO', // d<'-signaiit unr c(.'rtaine constant(î qui dépend de la position

APPLICATION DES LOIS DE LA RÉSISTANCE DE L'AIR

de G par rapport au plan sustentateur Tl. D'autre part, pour 0'>o, les réactions normales de l'air sur les éléments ^de plan H sont accrues ou diminuées suivant que ces élélents sont en avant ou en arriére du plan perpendiculaire DE mené par G; la quantité XV^a est en définitive accrue [une quantité X^ VO', où le coefficient X^ est petit et que ms négligeons.

[Soient maintenant M la masse totale du planeur, I son

>ment d'inertie autour de G^^ perpendiculaire au plan

tableau. Les équations intrinsèques du mouvement de

)Ont, en se limitant aux mouvements pendant lesquels

it Y restent petits :

^ M^=-V^[Xa^ + ^l+PY

/ MV 4r- = — >^V^a + P .

\ at

Le théorème des aires appliqué au mouvement autour de G donne :

(7) 10" =1 (jV^ (a — a,) — 2//V0' , avec v = a + .

Etude précise de la stabilité longitudinale. — Soient V, et Yi les valeurs de V et y qui correspondent au planement correct. Considérons des conditions initiales très voisines de celles de ce planement : posons V =zY^^ -\- u,

a = ai4-£.T=^Ti"i-'''" ^ = ^1 + "> pour étudier le mouvement pendant la période où î, t, et z sont petits, on est conduit à un système d'équations linéaires et homogènes à coefficients constants. Si on cherche les solutions de la forme : u = Aé^''^ T^ zzz Be^^, z = C^'*', les valeurs de r sont données par une certaine équation algébrique du 4*^ degré. Pour que le planement correct soit stable, il faut que les racines r de cette équation aient leur partie réelle négative ou nulle, et que les racines purement imaginaires soient simples. On est ainsi ramené à des conditions purement algébriques, qu'ont discutées Rryan et le capitaine Ferber^ Quand

I. Les mouvements qui présentent des écarts quelconques par rapport au planement correct ont été considérés par Brillouin. [Revue de mécanique^ 1909-)

THÉORIE DE IJAÉROPLANE

Téquation caractéristique a des racines réelles et négatives, les oscillations du planeur sont apériodiques amorties; quand les racines sont complexes avec partie réelle négative, elles sont périodiques amorties; dans les autres cas, les oscillations ne sont pas amorties.

Équilibre de l'aéroplane.

Schéma de l'aéroplane ou planeur propulsé. — Considérons un planeur constitué schématiquement par un plan rectangulaire II et une sphère S invariablement liés [p. 211]; l'appareil est propulsé par une hélice d'arrière dont l'axe invariablement lié au solide (II, I,) passe par le centre de gravité G de tout le système, et est perpendiculaire au grand côté ab du rectangle II . Le point G est sensiblement confondu avec le centre de '^. Le plan xOy perpendiculaire à ab mené par G est un plan de symétrie de l'appareil, l'hélice exceptée. Quand Taxe HG do Thélice est horizontal, le plan II est

incliné vers le haut de l'arrière à \^ l'avant ; l'angle de n et de HG est

V A^ tl^-. ^" angle invariî^ble que je repré- ^ \j£/ H " sente par /.

Supposons le système animé dans '^' •*'*• l'air calme d'une translation dont la

vitesse est perpendiculaire à ah.

L'orientation du corps autour de G étant invariable, les réactions de l'air sur le système doivent admettre une résultante passant par G. Or, ces réactions sont :

i-^ Les réactions sur le plan II dont la résultante est une certaine force R ; 2" les réactions sur S dont la résultante passe par G ; 3" les réactions sur l'hélice. Ces dernières équivalent^ à une force de propulsion 5> dirigée selon Taxe GH de Thélice et à un couple F dont l'axe est également dirigé selon GH, si V est parallèle à GH ou fait un petit angle avec lui.

D'après cela, l'orientation du système ne pourrait rester

I. Nous supposons que l'hélice travaille dans un air qui est calme après le pas*:;ige de II et de X.

ÉQUILIBRE DE V AÉROPLANE

invariable, car le moment de R par rapport à G normal à GH ne peut détruire T. Mais si nous remplaçons Thélice unique par deux hélices rigoureusement symétriques par rapport au plan xOy et tournant par suite à même vitesse en sens inverse, les deux forces de propulsion ^^ et ^2 s'ajoutent, les deux couples r^^ et Tg se détruisent. Les axes des hélices sont parallèles à GH et situés dans le plan horizontal de G. Leurs réactions sur Tappareil équivalent à une force unique dirigée selon HG. Dans ce cas, R doit passer par G pour que le système conserve la même orientation. C'est cet appareil que nous supposerons réalisé dans ce qui suit^.

Gouverne d'un aéroplane. — Nous admettons' que le pilote est capable de modifier à son gré (au moins dans de certaines limites) le moment par rapport à G des réactions de Tair, cela sans modifier sensiblement leur somme géométrique. C'est ce qu'on peut réaliser, par exemple, à l'aide de gouvernails et d'ailerons. Pour les décrire, supposons l'appareil placé dans une position où l'axe GH est horizontal ainsi que le grand côté ^^ du plan sustentateur : imaginons qu'on adjoigne à l'arrière (ou à l'avant) de Tap* pareil : i<^ un petit plan mobile autour d'un axe vertical du plan de symétrie {gouvernail vertical) ; 2^ un petit plan nK)bile autour d'une parallèle à ab (gouvernail hori^onlalj.

Le premier plan est symétrique par rapport au plan horizontal de G ; le second est symétrique par rapport au plan de symétrie xOy. Enfin complétons l'appareil par deux petits plans horizontaux (ailerons) symétriques par rapport au plan xOy et mobiles en sens inverse autour de G;[j. On voit immédiatement que le maniement du premier gouvernail ajoute au moment GR (par rapport à G) des

I. Supposons que le système à hélice unique soit animé d'une translation horizontale uniforme et que R passe par G. Pour détruire le couple r, il suffit d'ajouter un poids supplémentaire m situé sur la perpendiculaire Gf^ en G au plan xOy à une distance et d'un côté convenables ; en effet, ce poids, étant lié invariablement au système animé d'un mouvement rectiligne uniforme, exerce sur lui une réaction égale à son poids, réaction dont le moment est égal en grandeur et sens à F pour une position convenable de m.

THEORIE DE VAEROPLAAE

réactions de Tair un vecteur de direction verticale, sans modifier très sensiblement ^ leur somme géométrique [la surface du gouvernail étant supposée petite] ; en un mot, le maniement du gouvernail vertical équivaut à faire agir sur l'appareil un couple horizontal, dont le sens dépend du sens dans lequel on tourne le gouvernail. Le maniement du gouvernail horizontal introduit de même un couple situé dans le plan xOy^ et le maniement des ailerons un couple situé dans le plan jViG^i perpendiculaire en G à GH.

Au lieu d'ailerons, si on emploie le gauchissement des ailes, ce gauchissement introduit un couple dont le plan n'est pas en général le plan ^'^G^^ : si on veut exercer un couple orienté dans ce dernier plan, il faudra corriger TefFet du gauchissement à l'aide des deux autres gouvernes.

Enfin, il est loisible de remplacer le gouvernail horizontal et les ailerons parla manœuvre d'un poids qu'on déplace suivant G H ou suivant G;{, ou suivant une direction intermédiaire (voir la note de la page 219^.

Quel que soit le procédé de manœuvre adopté, le pilote est ainsi capable d'exercer sur l'appareil un couple arbitraire. D'où la possibilité d'imposer au mouvement trois conditions tid Ubitiim, par exemple de maintenir l'appareil dans une orientation arbitraire (du moins entre certaines limites'^.

Marchi: normale d'un aéroplane. — La marche normale (^u'on cherche à assurer aux aéroplanes actuels est une marche dans laquelle l'appareil est animé d'une translation horizontale uniforme, parallèle à son axe de propulsion (iH, son plan de symétrie étant vertical. Dans une telle position, l'angle d'attaque a se confond avec l'angle donné de G il et du plan sustentateur fictif (que nous appellerons plan lie la voilure).

Dans cette position, la résultante CR des réactions de l'air sur la voilure doit passer par G : autrement dit, il faut i\\\v. G soit sur la dinîction CR qui correspond à l'angle

I. On rendrait cette modification tout à fait négligeable en doublant chaque gouvernail vertical et horizontal par un gouvernail symétrique par rapport au plan ViG{, normal en G à GH.

ÉQUILIBRE DE V AÉROPLANE

d'attaque i de la voilure. Le raisonnement de la pag^e 214 montre que, pour la stabilité, G doit être au-dessous du métacentre correspondant à C, c'est-à-dire en fait au-dessous du plan de voilure.

D'autre part, le mouvement de G étant rectiligne et uniforme, on a:

'^ / * = P {li^ + u^ V^ •

P désignant toujours le poids total de Tappareil et <I> la force de propulsion totale des deux hélices. Ces équations sont les mêmes que si la voilure était un plan parfaitement lisse, l'esquif rencontrant la résistance à l'avancement ;i.V- ; la force ÀV-/- =1 Pi serait alors la résistance propre de la voilure.

Les équations (i) entraînent :

D'autre part, le couple v exercé par le moteur sur les arbres des deux hélices est donné [p. 178], donc *I>, [p. 206], et si '»> est la vitesse de rotation des hélices, w vérifie une certaine relation^:

(3^ V = '{. (tu, V)

qui dépend des propulseurs adoptés. La valeur de vto définie par (3 est toujours supérieure à *V.

D'après cela, supposons donnés le poids P de tout l'appareil, le couple moteur v et la vitesse maxima w^ de fonctionnement du moteur, enfin les constantes X et \l\ 4> est alors donné. Pour que l'appareil puisse voler, dans les conditions dites normales, il faut :

r^ qu(* léquation ^2} en / soit satisfaite; 2" que l'équa-

I. Par exemple, la relation : 7=7 (7/to — V) //(o, si chaque propulseur est une hélice de pas 27:h, z désignant une constante ; «|> est

égal à -y.

THEORIE DE L'AEROPLANE

tion (^3) en w. où on remplace V par 7= ait une racine plus

\ Ai

petite que w^.

La force de propulsion 4> est minima d'après (2) quand

i z=z -^ , c'est-à-dire quand la résistance propre Fi de la voilure est égale à celle de l'esquif : <ï> est alors égal à

2PV/^.

Quant au travail, (par unité de temps) des résistances à l'avancement, à savoir <ï>V, il est donné par :

Le calcul de la page 212 montre aussitôt que ce travail est minimum quand la résistance propre de la voilure Fi est triple de l'esquif.

AuTRKs RÉGIMES DE i/ AEROPLANE. — Dans la pratique, *

eti sont mal connus et il est difficile de réaliser exactement la condition (2). Cette condition nécessaire n'étant pas remplie, un autre régime est-il possible dans lequel le centre de gravité décrit encore uniformément une droite horizontale, la direction Fig. 46. GH n'étant plus horizontale mais

restant invariable ?

Soit a l'angle d'attaque (a> ou <î). Les équations (i) sont remplacées par les suivantes :

)( P =r XV sin' a -f- * sin (a — t)

^^^ ' * cos (a — /) = XV^ sin^ a + [jlV* ,

qui coïncident avec les équations (i) pour a égal au petit angle /. Si on pose |3 :=. ol — /, ces équations entraînent l'équation suivante analogue à (2) :

ÉQUILIBRE DE V AÉROPLANE

P, X et (Ji étant donnés, le minimum de 4» a lieu pour :

tga = -Ç- cotga = y^ et tgprzay^ ;

■^ étant petit dans les applications, ces valeurs donneiit

sensiblement

d'où a — / = 2a, i •=. — a. Ces conditions exigent que GH soit au-dessus de la voilure et que celle-ci soit bissectrice de Tangle HGV. Autrement dit, soit a© l'angle d'attaque qui correspond à la pente minimum de la chute planée de l'appareil (moteur éteint) : la poussée qu'exige l'aéroplane propulsé pour se soutenir horizontalement est minima quand l'angle d'attaque est égal à a© et quand l'axe GH de poussée est dirigé au-dessus du plan de voilure et fait avec ce plan un angle égal à «o*.

La valeur minima de 4> est égale à , au lieu de

2fX

la valeur 2P W^ trouvée dans le cas de p = o. Mais

-y- étant petit dans la réalité, ce gain sur * est peu appréciable. Des remarques analogues s'appliquent au travail de la poussée. D'autre part, les hélices, dont l'axe est oblique

I. Ces conclusions ne sont vraies qu'autant que les formules admises pour représenter les résistances de Tair sur la voilure et sur l'esquif sont exactes.

De plus, les formules (i) supposent l'angle de V et GH assez

petit pour que l'effet des hélices soit à peu près le même que si V avait le sens GH ; cette condition sera très sensiblement remplie si Rw est grand devant V, [R rayon de l'hélice].

THÉORIE DE VAÉROPLANE

par rapport àV, travaillent moins bien. C'est pourquoi le régime dans lequel GH a le sens de V est préférable.

D'où cette conclusion :

Pour que l'appareil puisse se soutenir horizontalement il faut que le moteur Tde poids nécessairementinférieur àP] ait

une puissance maxima au moins égale à - — - (3 {Jt) * et

qu'il soit capable de communiquer aux hélices une force de propulsion au moins égale à 2 P i/ i- . Ces conditions ne sont d'ailleurs pas suffisantes.

Suppos'^^ns *^ > 2 P W ^ ; l'angle d'attaque a qui

correspond à la translation horizontale est donné par l'équation (5), où (3 := a — i) dans les applications <i> ^ est très petit devant P, a est petit, et on peut réduire approximativement cette équation à la suivante.

Cette équation a deux racines en a, toutes deux positives,

Tune plus petite que W4^ , l'autre plus grande. A ces deux

racines a^, ol., {7.^ < a^) correspondent deux vitesses V^ et V^ <1<^ marche horizontale (V^ > V^) , ces deux racines se

confondent, (iuand«I>= 2 P V/i^ .

Imaginons qu'on accroisse P, c'est-à-dire qu'on ajoute un poids supplémentaire- au ccntn; de gravité de l'appareil; on voit aussitôt que la racine a^ croit, V^ décroit* ; au contraire a^ décroît, V^ cr<)ît. Si donc le second régime se trouvait réalisé, l'augmentation du poids de l'appareil (ou une diminution d(î la poussée} ontraîn(;rait une vitesse plus grande et un angle d'attac[ue plus faible; mais nous allons voir que Qv second régime est instable et par suite ne s'établira pas,