La nicinc cho^^e a lieu si '!> décroît

ÉQUILIBRE DE V AÉROPLANE

Établissement et stabilité du régime. — Imaginons que le pilote gouverne de manière à conserver la même hauteur au-dessus du sol; on a, dans ce cas, à chaque instant :

P zn \V^ a -[- <ï> (a — /) ,

outrés sensiblement [p. 224] :

(7) P = XV^ a .

D'autre part, V satisfait à l'équation

(8) M -^ - <!> XV2 a2 — |xV^ ;

si on tire a de l'équation (7), il vient

dV P^

ou encore :

(10) M ^ = -^ [Vî - V^] [V^ - VJ] , (V, > VJ .

Si V est initialement égal à Vj^ ou Vo, V reste constant ainsi que a : c'est le régime étudié dans le numéro précédent.

Si V > V,, V décroit et tend vers V^ pour / = 00 : si V.^ < V < Vi, V croît et tend vers V^ pour / = 00 , Si V < V.2, V décroît, et a croît. On voit donc que le régime qui s'établira sensiblement au bout d'un certain temps (très court en fait), c'est le régime : V = V^, a = a^, cela sous la seule réserve que V soit initialement > Vg.

L'aviateur devra donc rouler sur le soljusqu'à ce que sa vitesse V dépasse franchement V, ; à l'aide du gouvernail d'avant, il donnera (pour s'élever) à l'appareil une inclinai-

". P son a supérieure a c-^ ; en manœuvrant convenablement,

il se maintiendra ensuite à hauteur constante, et le régime! qui s'établira sera le régime «p Vi;

^ 225 ^ PAINLEVÉ et BOREL. — I^

THEORIE DE L'AÉROPLANE

Si* diminue un peu, c'est-à dire si le moteur faiblit, l'angle d'attaque s'accroît un peu et V diminue. Il en va de même, si on ajoute un poids àTappareil.

Pour que, dans le régime a^, Vj, Taxe GH soit horizontal, il faut et il sufi&t que a^ =i i. L'appareil doit donc être construit de façon que (en ordre de marche) i soit la plus petite racine de l'équation :

Cette condition remplie, quand l'aviateur se meut horizontalement, l'axe de propulsion est horizontal. Si on augmente un peu le poids P de l'appareil, [ou si 4» diminue], cet axe pointe vers le haut et V diminue ; si on diminue un peu P(ousi <ï> augmente), cet axe pointe un peu vers le sol et V augmente.

Remarque /. — Plaçons-nous dans le cas idéal où la voilure serait un plan parfaitement lisse et où l'esquif serait assez effilé pour offrir une résistance nulle. On doit faire alors \l=z o dans les équations précédentes : «4 est nuletVj est infini. L'équation (10) devient :

dY *

Le seul régime possible est V =1 V,, a = a^, mais ce régime (instable) ne s'établira jamais : si initialement V est plus grand que Vj, V croîtra indéfiniment et ce tendra vers zéro, cela si faible que soit le moteur; si V < V^, V décroîtra et a croîtra. C'est donc l'existence des résistances de l'esquif et des frottements de l'air sur la voilure qui permet au régime de s'établir.

Remarque II. — Il faut que <I> dépasse 2 P V/if . Mais

il importo que <^ ne soit pas trop grand : en effet, si ♦ est très grand, aj est très petit et Vj très grand; la moindre variation de a entraine ou une brusque ascension de Tappareil (quand a est un peu trop grand), ou une brusque descente (quand a est un peu trop petit), descente qui deviendra uno chute véritable si une fausse manœuvre rend a négatif.

ÉQUILIBRE DE V AÉROPLANE

En outre, le couple engendré par une même manœuvre du gouvernail d'avant est proportionnel à V- : la variation d'inclinaison qu'entraîne cette manœuvre est donc d'autant plus grande que V est plus grand. Pour cette double raison on voit combien la manœuvre de l'appareil deviendra délicate si * est très grand. C'est ce qui expliqua l'indocilité des monoplans très rapides.

Descente et ascension d'un aéroplane. — Etudions maintenant le cas où l'aéroplane est animé d'un mouvement de translation descendant rectiligne et uniforme.

Soit toujours a l'angle d'attaque et f l'angle de GV avec le plan horizontal.

Les équations (4) deviennent pour a et y petits :

(11) 4>+ p^:=z VM>^ ^' + !^)

Mais <i> (a — i) est très petit devant Iqs deux autres termes de l'équation précédente, qui peut se remplacer approximativement par la suivante :

L'équation (11) donne alors :

on verrait, comme dans le cas du mouvement horizontal que (pour y donné) la solution qui correspond à la petite valeur de a est seule stable; pour y =^ o, cette valeur est a^; pour y > o, elle décroît et V augmente.

Si dans le régime normal, G H est horizontal (a, = /), pendant la descente GH fait avec le plan horizontal l'angle Y -[- î — a > Y- Le pilote doit incliner vers le bas son gouvernail d'avant pour faire piquer du nez à l'appareil et maintenir ensuite le gouvernail ainsi incliné : autrement, a étant < û la résultante des réactions de l'air sur la voilure passerait en avant de G et non par G.

Si le pilote éteint le moteur pour descendre, il faut faire

THÉORIE DE ^AÉROPLANE

4> izi o dans Téquation (14). L'angle de descente correcte

ne peut être inférieur^ à 2 V / !f ; si y =1 2 W |f , Tangle

d'attaque a est égal à y/|^ > i, et pendant la descente le

gouvernail d'avant doit rester braqué vers le haut, suivant un angle convenable-. Si on laissait le gouvernail parallèle à GH, le régime de chute correcte correspondant

serait : a =:: /, y = — . Enfin, pour que la vitesse verticale

de descente fût minima, il faudrait gouverner de façon

que a r= W^ .

Pour étudier la montée de l'aéroplane, il suffit dans l'équation (14) de changer y en — y- L'équation ainsi obtenue montre aisément que y ne peut dépasser une certaine valeur c. Pour 7 < (:, l'angle d'attaque a stable est plus grand que /, V est plus petit que Vj. Le gouvernail d'avant devra être maintenu incliné vers le haut.

Stabilité automatique longitudinale. — Nous avons discuté la stabilité dans l'hypothèse où le pilote manœuvre de façon que G décrive une horizontale [ou plus généralement une droite donnée]. La discussion serait très différente [et d'ailleurs facile] dans Ihypothèse où le pilote manœuvrerait de façon que Torientation de Tappareil fût invariable. Enfin, le cas où l'aviateur ne manœuvre pas

1. Si 2 W-ir- n'est pas petit, il n'est plus légitime de remplacer

sinv et sina par v et a, et cosy- cosa par l'unité.

2. Si avant d'atterrir le pilote relève brusquement le gouvernail d'avant, a augmente, la vitesse de G se relève tout d'abord en diminuant, mais ensuite l'appareil tend à adopter la descente correcte qui correspond h la nouvelle position du gouvernail c'est-à-dire à une valeur plus grande de a et à une pente de chute plus grande. Il importe donc de ne manœuvrer ainsi qu'au voisinage immédiat du

EQUILIBRE DE L* AEROPLANE

prête à une discussion plus compliquée (voir p. 217) que nous omettrons.

Cette discussion conduit à la conclusion suivante : pour que le régime normal soit stable automatiquement , il faut que les racines de l'équation caractéristique d'un certain système d'équations linéaires à coefficients constants aient leur partie réelle négative ou nulle et que les racines purement imaginaires soient simples.

Conclusions. — Soient Vq. Yo, «o et 60 = Yo + ^ — ^0 les valeurs qui caractérisent un des mouvements de translation rectilignes et uniformes dont peut être animé l'aéroplane. Si on éteint le moteur sans toucher au gouvernail d'avant, la pente de descente correcte de l'appareil est un certain angle Yi '- pendant cette descente, V est égal à Vo, a à ao, et on a :

il — -p . .0 u . ^

^'' = -TT + To = «0 +

En particulier, si Yo =0 et ao = / [régime normal], on a :

La stabilité longitudinale du régime V,,, Yo» *o est la même que celle de la descente planée VcYi.oto correspondante (moteur éteint), — cela qu'il s'agisse de la stabilité automatique, ou de la stabilité dans l'hypothèse où le pilote manœuvre de façon à maintenir invariable, soit l'inclinaison de la trajectoire du centre de gravité, soit l'orientation de l'appareil autour de G.

Toute cette discussion ne s'applique qu'aux petites valeurs des angles a, y, i et ne concerne que les mouvements où le plan de symétrie de l'aéroplane se meut dans un plan vertical fixe.

Comparaison avec l'expérience. — Si l'appareil comprend deux, ou trois, etc. surfaces sustentatrices au lieu d'une seule, rien n'est changé aux résultats précédents

THÉORIE DE V AÉROPLANE

SOUS la réserve que chaque surface puisse être remplacée par un plan fictif qui lui est lié invariablement. C'est ce que nous avons admis d'après les formules de Soreau, interprétant les mesures de Lilienthal (voir p. 202). La comparaison des résultats théoriques avec l'expérience est un des moyens de se rendre compte si cette substitution est légitime, ou s'il faut, au contraire, employer les formules plus compHquées indiquées page 202 et qui ne modifient pas les grandes lignes de la théorie.

Procédés de stabilisation automatique.

Stabilité longitudinale.

Tangage, roulis et gyration. — Considérons un aéroplane que nous réduisons schématiquement à un plan sustentateur invariablement lié à une sphère et propulsé par deux hélices (p. 219). L'aéroplane est construit de façon que le centre de gravité G de l'appareil coïncide avec le centre de la sphère, et que l'axe de propulsion GH soit horizontal pendant la marche normale : pendant cette marche la vitesse a une certaine valeur, soit V^ ; le plan de symétrie •^1 ^.^1 ^G l'appareil coïncide avec un plan vertical fixe xOy que nous prenons comme plan du tableau ; soit G:iP| la demi-droite GH, Gy^ la verticale ascendante, G\^ la perpendiculaire au plan x^ Gv^ menée vers la droite. Pour que le régime soit automatiquement stable, il faut qu'après une petite perturbation : i*^ l'orientation du système autour de G reste voisine de son orientation correcte ; 2® G s'écarte peu de la droite horizontale qu'il décrit dans le régime correct. Ces deux conditions sont d'ailleurs liées entre elles. Insistons d'abord sur la première.

Considérons une orientation S de l'appareil peu différente de l'orientation correcte So. On peut toujours passer de la seconde à la première par une rotation d'un angle 0^. autour d'une certaine demi-droite Otu, ou si l'on veut par trois rotations : la première d'un certain angle oO (> o ou < o) autour de G^,, la seconde d'un certain angle 80 (> o ou <o) autour de Gat^, la troisième d'un certain angle l'I O o ou < o) autour de Gv^. Nous donnerons aux trois

STAÈILISATÎON AUTOMATIQUE

angles 6, o, <!/ le nom d'angle de tangage, d'angle de roulis et d'angle de gyration.

Stabilité contre le tangage. — Un calcul que nous avons omis (p. 229), d'ailleurs analogue à celui de la page 217 montre que si, à un instant to, 6 et G' ont des valeurs %, 6'q, (y étant encore nul), on a, à cet instant :

ie"z= — 2//Vie'o — œVi-^Oo

Soit Gi Zj la projection de G;{, sur Je plan sustentateur 11; le raisonnement de la page 193 montre que la constante // est approximativement proportionnelle au moment d'inertie par rapport à G^Z^ de Taire II regardée comme homogène. Quant à la constante j, elle est d'autant plus grande que G est situé plus au-dessous du métacentre et par suite de la voilure [p. 214]. Dans l'équation (i), le terme en B^a une influence stabilisatrice, le terme en O'q une influence amortissante.

Influence de la queue. — Imaginons que nous prolongions à l'arrière le plan de voilure par un rectangle AB qui soit horizontal dans la position normale de l'appareil (fig. 47). Si l'appareil se cabre (fig. 48), cette voilure supplémentaire introduira une résistance normale à AB qui tendra à rétablir l'orientation correcte de pig ^3

Queue

Fig. 49.

l'appareil : autrement dit, œ sera augmenté, ainsi d'ailleurs que //. Cet accroissement du moment stabilisateur et du

THBOIUE DE LAEROPLAJSE

moment d'amortissement sera plus marqué encore si au lieu de prolonger immédiatement la voilure U du rectangle AB, on dispose ce rectangle très en arrière du plan II, en tandem. Autrement dit, une queue disposée très en arrière de l'appareil, et horizontale (ou moins inclinée que la voilure) dans le régime normal, jouera le rôle à la fois de stabilisateur et d'amortisseur^.

Remarquons qu'un tel dispositif permet de relever le centre de gravité, sans que l'appareil cesse d'être stable ; en effet, le métacentre o [p. 214] se trouve notablement audessus du plan sustentateur, et ci restera positif si G est au-dessous de 0.

Stabilisation a l'aide d'unk masse gyroscopiquk. — Considérons un appareil qui n'ait qu'une seule hélice compensée par un poids latéral (p. 219). Supposons que, pendant une seconde par exemple, l'appareil tangue avec une vitesse O'o; le moment cinétique GQ de l'appareil parrapport à G est la résultante du vecteur invariable 6 q porté sur G^i et du vecteur Cio porté sur Gx^ [lu désignant la \'itesse angulaire, positive ou négative, de l'hélice autour de Gx,, et C le moment d'inertie de l'hélice autour de cet axe] *. I^

dérivétî géométrique — -7- — t*st un vecteur GQ' perpendiculaire à GH et égal à CwO'q ; le moment par rapport à G des réactions de l'air est équipollent à GQ', donc proportionnel à C(o. Supposons C*» notable : il n'y aura de tangage sensible que si une force perturbatrice latérale [vent latéral, par exemple] intervient et cette force, pour pro-

I QiKind la iiueue a un»» surface notable, pour ne pas perdre enticrcnient son pouvoir sustentateur on la construit Je façon que. dans le régime normal, elle soit inclinée vers le haut, mais moins <\\ic la voilure [appareils Voisin}. — Au lieu d'une telle queue, on peut disposer en avant de l'appareil un plan rectangulaire pins incline que la voilure ; un tel plan sera à la fois stabilisateur et amortisseur.

2. Nous négligeons les termes dus aux pièces mobiles du moteur. Il y aurait lieu d'en tenir compte si r<m employait un moteur rotatif, tel que le moteur Gnome.