I. La même chose a lieu si 4> décroît

THÉORIE DE L'AÉROPLANE

Établissement et stabilité du régime. — Imaginons que le pilote gouverne de manière à conserver la même hauteur au-dessus du sol ; on a, dans ce cas, à chaque instant :

P = XV2 a + * (a — t) ,

ou très sensiblement [p. 224] :

(7) P = ÂV^a .

D'autre part, V satisfait à l'équation

(8) M -^ zzz 4» — XV2 a2 — ixV^ ;

si on tire a de l'équation (7), il vient

(9) ' M4f = $-^-KV'

dt XV'

ou encore :

(10) M-^ = ^[vî-vî][v^-v;] , (v,>vj.

Si V est initialement égal à V^ ou Vg, V reste constant ainsi que a : c'est le régime étudié dans le numéro précédent.

Si V > V,, V décroit et tend vers V^ pour / = 00 : si V^ < V < V^, V croit et tend vers V^ pour / = 00 . Si V < Vo, V décroît, et a croît. On voit donc que le régime (jui s'établira sensiblement au bout d'un certain temps (très court en fait), c'est le régime : V = V^, a = a,, cela sous la seule réserve que V soit initialement > V2.

L'aviateur devra donc rouler sur le sol jusqu'à ce que sa vitesse V d('passe franchement V,; à l'aide du gouvernail d'avant, il donnera (pour s'élever) à l'appareil une inclinai*

son a supérieure à .rrr^r ; en manœuvrant convenablement,

ÂV"

il se maintiendra ensuite à hauteur constante, et le régime

qui s'établira sera le régime a^, Vp

ÉQUILIBRE DE VAÉROPLANE

Si* diminue un peu, c'est-à-dire si le moteur faiblit, Tangle d'attaque s'accroît un peu et V diminue. Il en va de même, si on ajoute un poids àTappareil.

Pour que, dans le régime a^, V^, l'axe GH soit horizontal, il faut et il sufiBt que a^ = i. L'appareil doit donc être construit de façon que (en ordre de marche) i soit la plus petite racine de Téquation :

Cette condition remplie, quand Taviateur se meut horizontalement. Taxe de propulsion est horizontal. Si on augmente un peu le poids P de Tappareil, [ou si 4> diminue], cet axe pointe vers le haut et V diminue ; si on diminue un peu P(ousi 4> augmente), cet axe pointe un peu vers le sol et V augmente.

Remarque I, — Plaçons-nous dans le cas idéal où la voilure serait un plan parfaitement lisse et où l'esquif serait assez efi&lé pour offrir une résistance nulle. On doit faire alors \lz=z o dans les équations précédentes : «^ est nuletVj est infini. L'équation (lo) devient :

h=ik]

Le seul régime possible est V = Vg, a = «2, mais ce régime (instable) ne s'établira jamais : si initialement V est plus grand que V2, V croîtra indéfiniment et a tendra vers zéro, cela si faible que soit le moteur; si V < Vg, V décroîtra et a croîtra. C'est donc l'existence des résistances de l'esquif et des frottements de l'air sur la voilure qui permet au régime de s'établir.

Remarque II. — Il faut que * dépasse 2 P i/ .Ç . Mais

il importe que 4> ne soit pas trop grand : en effet, si O est très grand, a^ est très petit et V^ très grand; la moindre variation de a entraine ou une brusque ascension de l'appareil (quand a est un peu trop grand), ou une brusque descente (quand a est un peu trop petit), descente qui deviendra une chute véritable si une fausse manœuvre rend a négatif.

^ 257 4 PAINLBVB et BOREL. — I?

TUÉOniE DE VAÉROPLANE

En outre, le couple engendré par une môme manœuvre du gouvernail d'avant est proportionnel à V^ : la variation d'inclinaison qu'entraîne cette manœuvre est donc d'autant plus grande que V est plus grand. Pour cette double raison on voit combien la manœuvre de l'appareil deviendra délicate si * est très grand. C'est ce qui explique Tindocilité des monoplans très rapides.

Descente et ascension d'un AéROPLANE. — Etudions maintenant le cas où l'aéroplane est animé d'un mouvement de translation descendant rectiligne et uniforme.

Soit toujours a l'angle d'attaque et f l'angle de GV avec le plan horizontal.

Les équations (4) deviennent pour a et y petits :

(11) 4»+ Py = VM^ 3t2 + jjt)

(12) Pi=iX V2a+* (a— .

Mais * (a — i) est très petit devant les deux autres termes de l'équation précédente, qui peut se remplacer approximativement par la suivante :

(13) P = XVa.

L'équation (il) donne alors :

14) * + Py = p [«+-1^] ;

on verrait, comme dans le cas du mouvement horizontal que (pour y donné) la solution qui correspond à la petite valeur de a est seule stable; pour 7=0, cette valeur est a^; pour Y > o, elle décroît et V augmente.

Si dans le régime normal, GH est horizontal («, := t), pendant la descente GH fait avec le plan horizontal Tangie Y + i — a > Y- Le pilote doit incliner vers le bas son gouvernail d'avant pour faire piquer du nez à Tappareil et maintenir ensuite le gouvernail ainsi incliné : autrement, (X étant < / , la résultante des réactions de Tair sur la voilure passerait en avant de G et non par G.

Si le pilote éteint le moteur pour desceadr^^ U («ut faire

ÉQUILIBRE DE V AÉROPLANE

ff, = o dans l'équation (14). L'angle de descente correcte ne peut être inférieur^ à 2 W ï ; si y = ^ V/ ^ » l'angle

d'attaque a est égal à V/|^ > /, et pendant la descente le

gouvernail d'avant doit rester braqué vers le haut, suivant un angle convenable-^. Si on laissait le gouvernail paral- It'île à G H, le régime de chute correcte correspondant

serait : a = i, y = p • Enfin, pour que la vitesse verticale de descente fût minima, il faudrait gouverner de façon

que a

Pour étudier la montée de l'aéroplane, il suffit dans l'équation (14) de changer y en — y. L'équation ainsi obtenue montre aisément que y ne peut dépasser une certaine valeur c. Pour 7 < c, l'angle d'attaque a stable est plus grand que /', V est plus petit que V^. Le gouvernail d'avant devra être maintenu incliné vers le haut.

Stabilité automatique longitudinale. — Nous avons discuté la stabilité dans l'hypothèse où le pilote manoeuvre de façon que G décrive une horizontale [ou plus généralement une droite donnée]. La discussion serait très dififérente [et d'ailleurs facile] dans Ihypothèseoù le pilote manœuvrerait de façon que l'orientation de l'appareil fût invariable. Enfin, le cas où Taviateur ne manœuvre pas

1. Si 2 y/Ç n'est pas petit, il n'est plui légitime de remplacer

siny et sina par Y et a, et cosy, cosa par l'uiiiité.

2. Si avant d'atterrir le pilote relève brusquement le gouvernail d'avant, a augmente, la vitesse de G se relève tout d'abord en diminuant, mais ensuite l'appareil tend à adopter la descente correcte qui correspond à la nouvelle position du gouvernail c'est-à-dire à une valeur plus grande de a et à une pente de chute plus grande. Il importe donc de ne manœuvrer ainsi qu'au voisinage immédiat du soi.

THÉORIE DE VAÉROPLANE

prête à une discussion plus compliquée (voir p. 247) que nous omettrons.

Cotte discussion conduit à la conclusion suivante : pour que le régime normal soit stable automatiquement, il faut que les racines de l'équation caractéristique d'un certain système d'équations linéaires à coefficients constants aient leur partie réelle négative ou nulle et que les racines pur<.'ment imaginaires soient simples.

Conclusions. — Soient Vo. fo, Oo et Oo = y» + * — *o les valeurs qui caractérisent un des mouvements de translation rectilignes et uniformes dont peut être animé raéroplane. Si on éteint le moteur sans toucher au gouvernail d'avant, la pente de descente correcte de l'appareil est un certain angle y^ : pendant cette descente, V est égal à V©, a à ao, et on a :

<l> tf

ïi = -IT + Yo = «0 +

En particulier, si y© =0 et a© = i [régime normal], on a:

La stabilité longitudinale du régime Vo, Yo» «o est la même que celle de la descente planée Vo,Yi,ao correspondante (moteur éteint), — cela qu'il s'agisse de la stabilité automatique, ou de la stabilité dans l'hypothèse où le pilote manœuvre de façon à maintenir invariable, soit rinclinaison de la trajectoire du centre de gravité, soit l'orientation de l'appareil autour de G.

Toute cette discussion ne s'applique qu'aux petites valeurs des anj^les a, y, zetne concerne que les mouvements DÛ le plan de symétrie de l'aéroplane se meut dans un plan vertical fixe. Elle suppose que la propulsion passe par G.

Comparaison avec l'expérience. — Si Tappareil compnmd deux, ou trois, etc. surfaces sustentatrices au lieu d'une seule, rien n'est changé aux résultats précédents

STABILISATION AUTOMATIQUE

sous la réserve que chaque surface puisse être remplacée par un plan fictif qui lui est lié invariablement. C'est ce que nous avons admis d'après les formules de Soreau, interprétant les mesures de Lilienthal (voir p. 232). La comparaison des résultats théoriques avec l'expérience est un des moyens de se rendre compte si cette substitution est légitime, ou s'il faut, au contraire, employer les formules plus compliquées indiquées page 232 et qui ne modifient pas les grandes lignes de la théorie.

Procédés de stabilisation automatique.

Stabilité longitudinale.

Tangage, roulis et gyration. — Considérons un aéroplane que nous réduisons schématiquement à un plan sustentateur invariablement lié à une sphère et propulsé par deux hélices (p. 249). L'aéroplane est construit de façon que le centre de gravité G de l'appareil coïncide avec le centre de la sphère, et que l'axe de propulsion GH soit horizontal pendant la marche normale : pendant cette marche la vitesse a une certaine valeur, soit V^ ; le plan de symétrie x^ GjFj de l'appareil coïncide avec un plan vertical fixe xOy que nous prenons comme plan du tableau ; soit G^^ la demi-droite GH, Gy^ la verticale ascendante, G\^ la perpendiculaire au plan ^^ G^^ menée vers la droite. Pour que le régime soit automatiquement stable, il faut qu'après une petite perturbation : i^ l'orientation du système autour de G reste voisine de son orientation correcte ; 2® G s'écarte peu de la droite horizontale qu'il décrit dans le régime correct. Ces deux conditions sont d'ailleurs liées entre elles. Insistons d'abord sur la première.

Considérons une orientation S de l'appareil peu différente de l'orientation correcte So. On peut toujours passer de la seconde à la première par une rotation d'un angle 0^. autour d'une certaine demi-droite Oo», ou si Ton veut par trois rotations : la première d'un certain angle 80 (> o ou < o) autour de G:{,, la seconde d'un certain angle 00 (> o ou <o) autour de G^f^, la troisième d'un certain angle o'J; (> o ou < o) autour de Gy^. Nous donnerons aux trois

TIIÊORÎE DE IJ AÉROPLANE

anp^les 0, o, ^ le nom d'angle de tangage, d'angle de roulis et d'anplo de jj^yration.

Stabilitk contre le tangage. — Un calcul que nous avons omis (p. 260), d'ailleurs analogue à celui de la paj^e 217 montre que si, à un instant /o, et 0' ont des valeurs Oq, O'q, (y étant encore nul), on a, à cet instant :

I0" = — 27/ViO'o — (iVi^Oe

Soit G| Zi la projection de G\^ sur le plan sustcntateur II; le raisonnement de la page 323 montre que la constante h est approximativemi;nt proportionnelle au moment d'inertie par rapport à G^Z^ de l'aire 11 regardée comme homogène. Quant à la constante a, elle est d'autant plus Jurande ([ue G est situé plus au-dessous du métaccntre et par suite de la voilure [p. 244]. Dans Téquation (i), le terme en Ooa une influence stabilisatrice, le terme en 6'(, une influence amortissante.

Influknce db la queue. — Imaginons que nous prolonfj^ions à Tarrière le plan de voilure par un rectangle AB qui soit horizont.'il dans la position normale de rappareil

(fig. /};). Si l'appareil se cabre ^lig. /|8;, cette voilure supplémentaire introduira une résistance normale à AB q.îi tendra à rétablir l'orientation correcte de p. «

l'ig- 47-

ûueue

Fig- 49-

Tapparoil : autrement dit, <j sera augmenté, ainsi d*aiUeurs que h. Cet accroissement du moment stabilisateur et du

STABILISATION AUTOMATIQUE

moment d'amortissement sera plus marqué encore si au lieu de prolonger immédiatement la voilure II du rectangle AB^ on dispose ce rectangle très en arrière du plan n, en tandem. Autrement dit, une queue disposée très en arriére de l'appareil, et horizontale (ou moins inclinée que la voilure) dans le régime normal, jouera le rôle à la fois de stabilisateur et d'amortisseur^.

Reijiarquons qu'un tel dispositif permet de relever le centre de gravité, sans que l'appareil cesse d'être stable ; en effet, le métacentre o [p. 7244] se trouve notablement audessus du plan sustentateur, et a restera positif si G est au-dessous de 0.

Stabilisation a l'aide d'une masse gyroscopique. — Considérons un appareil qui n'ait qu'une seule hélice compensée par un poids latéral (p. 249). Supposons que, pendant une seconde par exemple, l'appareil tangue avec une vi-

tesse O'o; le moment cinétique GQ de l'appareil parrapport à G est la résultante du vecteur invariable O'^ porté sur G^^ et du vecteur Cto porté sur G^^ [w désignant la vitesse angulaire, positive ou négative, de l'hélice autour de Gx^, et G le moment d'inertie de l'hélice autour de cet axe] 2. Lu

^GQ

dérivée géométrique — -7- — est un vecteur GQ' perpendir

culaire à GH et égal à CwO'q ; le moment par rapport à G des réactions de l'air est équipollent à GQ', donc proportionnel à Cto. Supposons Cw notable : il n'y aura de tangage sensible que si une force perturbatrice latérale [vent latéral, par exemple] intervient et cette force, pour pro-

1 . Quand la queue a une surface notable, pour ne pas perdre entièrement son pouvoir sustentateur, on la construit de façon que, dans le régime normal, elle soit inclinée vers le haut, mais moins que la voilure [appareils Voisin]. Si la voilure est incurvée et telle que son centre de pressions avance quand a croît, la queue permet de renverser le phénomène et de rendre j positif. Enfin, au lieu d'une telle queue, on peut disposer en avant de l'appareil un plan rectangulaire //«s incliné que la voilure; un tel plan sera à la fois stabilisateur et amortisseur.

2. Nous négligeons les termes dus aux pièces mobiles du moteur. Il y aurait lieu d'en tenir compte si l'on employait un moteur rotatif, tel que le moteur Gnome.

TUÉORIE DE L AÉROPLANE

duire un effet donné, devra être d'autant plus grande que Cw est plus grand. Une force perturbatrice située dans le plan de symétrie ne produirait sensiblement qu'une déviation latérale de GH, d'autant plus faible que Cto est plus grand.

De là l'idée de placer un fort volant sur l'arbre de Thélice, volant dont l'effet gyroscopique s'opposerait aux déviations de l'axe GH. Mais ce serait là un procédé barbare, à cause de l'accroissement de poids et de la difficulté de gouverne qu'il entraine.

Stabilité automatique par manœuvre gyroscopique. — Revenons à l'appareil muni de deux hélices : au lieu d'un fort volant, plaçons sur l'arbre GH un volant de petite masse dont la rotation très rapide u> est entretenue par le moteur. Supposons ce volant fixé par son centre de gravité G^, tandis que son axe de révolution passe à l'intérieur d'un petit anneau fixé en H à la carcasse de Taéroplane. Soit GjH = /, C et A les moments d'inertie du volant autour de G^H et d'un diamètre de son équateur. Pendant le tangage. on voit aisément que la réaction de l'anneau H a une com-

posante parallèle à G\^ et égale à — = — et une compo-

A9" santé normale à GH et à G;{j et égale à — j — ^; cette dernière est négligeable dans les applications, tandis que la première est notable si Ca> est grand. Uaxe matériel du volant exercera donc une forte pression latérale sur l'anneau, à droite par exemple si 6' est positif, c'est-à-dire si l'appareil se cabre, à gauche si 6' est négatif. Imaginons que les deux côtés de l'anneau au lieu d'être rigides soient deux ressorts qui commandent par des intermédiaires convenables le gouvernail d'avant, une pression sur le ressort droit abaissant ce gouvernail, une pression sur le ressort gauche le relevant. On voit que le gyroscope (sans accroissement de masse sensible de l'appareil) provoquera automatiquement la manœuvre qui réprime le tangage^. La force

I. C'est ce procédé ijui est employé pour stabiliser automalit^ueniont les torpilles mobiles.

STABILISATION AUTOMATIQUE

de la commande gyroscopique sera proportionnelle, non pas comme on le dit souvent à la force vive de rotation Cw* du volant, mais à Cw6'.

Certains inventeurs ont préconisé des commandes automatiques provoquées par un pendule (stabilisation par manœuvre pendulaire), mais ce procédé est beaucoup moins sûr, efficace et réglable que le précédent. Quant à la stabilisation directe parun pendule de grande masse, c'est un procédé chimérique.

Influence de l'inertie. — Si, à un instant /©, l'appareil est cabré par exemple (Ô^ > o, 6'q = o), V étant encore horizontale, Téquation (7) de la page 217 montre que 60" est d'autant plus grand que I est plus petit. L'oscillation commencera donc d'autant plus violemment que la masse de l'aéroplane sera plus concentrée autour de G. C'est pourquoi beaucoup de théoriciens conseillent de disséminer la masse de l'appareil pour accroître I. Mais la discussion approfondie de l'équation type :

(2) 16" -f 2a^'.+ r-^=io

conduit plutôt à une conclusion opposée : si on étudie, en eftct, le 'mouvement défini par (2) qui correspond aux conditions initiales %, 6'q = o, / = o, on voit aisément que les oscillations s'amortissent d'autant plus vite que I est plus petit. Si au début la vitesse d'oscillation est plus grande pour I petit, c'est là un désavantage qui ne dure qu'un instant *. En outre, l'appareil répondra d'autant plus pares-

I. Il est vrai que la même cause perturbatrice, agissant pendant le même temps, engendrerait un tangage initial d'autant plus marqué que I est plus petit : par exemple, le même choc donnerait à

6' une valeur initiale 6'o proportionnelle à -— . Mais, même en tenant compte de ce fait, la supériorité de l'amortissement compenserait en fait très vite ce désavantage initial. 11 importe en outre de remarquer que les causes naturelles de tangage [un vent ascendant par exemple] agiront d'autant plus longtemps que l'appareil sera plus paresseux à leur obéir et à tendre vers sa nouvelle oriecvtation correcte.

TUÉORIE DE L* AEROPLANE

seusement à la manœuvre du gouvernail horizontal que I sera plus grand. Pour ces raisons, opposées à la première, un appareil très sensible [genre girouette] apparaît donc comme supérieur à un appareil indolent. D'où la conclusion qu'il importe de ramasser le plus possible les masses lourdes autour de G : c'est la règle qu'ont adoptée en fait la plupart des constructeurs.

Sensibilité du gouvernail horizontal. — Imaginons un appareil très mobile autour de son centre de gravité, et inclinons vers le haut le gouvernail d'avant : l'appareil va se cabrer avant que la vitesse de G ait sensiblement changéi et l'angle d'attaque de l'air sur le gouvernail va croître (lors même qu'on ne touche pas au gouvernail) : l'efficacité du gouvernail va donc croître de par l'eftet même de la manœuvre. De plus, cette manœuvre a pour objet de monter; or la pression de l'air sur le gouvernail aura une composante verticale ascendante, faible il est vrai, mais qui accélérera la montée.

Quand au contraire le gouvernail horizontal est placé à l'arrière, il faut, pour faire cabrer Tappareil, incliner le gouvernail vers le bas (de l'arrière à l'avant), et (si on n'y touche plus) son efficacité diminue à mesure que la ma* nœuvre produit son effet : à partir d'une certaine inclinaison, il s'oppose même à la rotation commencée. Enfin la pression de l'air sur le gouvernail retarde la montée.

Le gouvernail horizontal est donc plus efficace à Tavant qu'à l'arrière, mais plus sensible. En particulier, si le gouvernail d'avant engage ;c'est-à-dire s'il est pris en-dessus par le vent) et si on ne le redresse pas, il fera piquer du nt*z à l'appareil avec une force croissante et si cette force n'est pas contrebalapeco par les forces stabilisatrices de l'appareil, une chute dangereuse s'ensuivra. Au contraire, à l'arrière le même gouvernail corrige en quelque sorte de lui-même ses propres effets.

On devra donc placer le gouvernail horizontal en avant si on veut avant tout que l'appareil soit très docile, et en arrière si on veut avant tout qu'il soit stable'.

I Si uM dispu'^ait un double gouvernail horizontal symétrique