VIRAGE D'UN AÉROPLANE
avec G fil et dont la projection sur la demi-droite G^Hj est représentable en grandeur et signe par: — tVo) cosp,x désignant une quantité positive (moment par rapport àGjHj de Taire n regardée comme homogène). Le point G^ coïncide avec le centre des pressions qui correspond au régime correct. Si le plan de symétrie xGjy de l'appareil est maintenu vertical, G^Hj est dans ce plan, p est nul, Gci a la direction Gjlî' [fig. 51] et le couple d'axe Gj tend à faire pencher l'appareil vers Tintérieur du virage. Si le plan xGy penche vers l'intérieur du virage, d'un angle très grand devant i (i angle de GH et de H), G^H^ est sensiblement parallèle au
grand côté de II, p est ascendant et d'ailleurs très faible et le couple d'axe Gci tend surtout à faire piquer du nez à l'appareil. Nous négligerons p dans ce qui suit.
Quand le virage est parfait, la vitesse V est dans le plan de symétrie de l'appareil, mais son angle avec II, soit a, diffère de l'angle d'attaque du régime normal ; nous verrons dans un instant qu'il est plus grand. Le moment par rapport à G des réactions de l'air dues à la vitesse V sur
la voilure, soit GK, serait un certain vecteur ayant la direction G^H" et tendrait à faire piquer du nez à l'appareil. Quand le h" virage est seulement correct, ce moment a une composante suivant G^H" qui tend à faire piquer du nez à l'appareil et une composante suivant GJH' qui tend à faire pencher l'appareil vers l'intérieur ou vers l'extérieur du virage suivant que l'avant dérape en dedans ou en dehors.
En définitive, les réactions de l'air sur la voilure ont,
par rapport à G, un moment égal à Gj + GK; ce moment est parallèle au plan de la voilure ; les composantes
de Gj et GK suivant G^H" tendent la première dans tous les cas, la seconde quand l'appareil dérape en dedans, à faire pencher l'aéroplane vers l'intérieur du virage ; leurs composantes suivant G^H' tendent toutes deux à lui faire piquer du nez. Dans le cas où le viraf^e est parfait et où l'angle
Jrn'ére Fig. 51.
THÉOIUE DE L AÉROPLANE
dont penche l'appareil est grand devant t, ces dernière» composantes existent seules sensiblement.
Équilibre relatif de l'aéroplane. — Pour former les conditions d'équilibre relatif de raéroplane.il nous faut ajouter à la pesanteur, pour chaque élément P (de masse ;;/) du système la force mia^ P'P, P' désignant la projection de P sur Or,. La somme géométrique F de ces forces est comme on sait, la même que si toute la masse M du système était concentrée en G; si G' est la projection de G sur Or^, elle coïncide avec le vecteur Mw^ G'G; en valeur absolue elle est égale à —=3 — .
Calculons d'autre part le moment par rapport à G, soit Gff^, de ces forces centrifuges. Si l'ellipsoïde central d'inertie est une sphère, ce moment est nul, car la parallèle Gv à Or, est axe central d'inertie. Dans le cas général, soit G.v){ le trièdre trirectangle positif où Gx a le sens de V et où G^' est la verticale ascendante : les projections de Gt^ sur G.v, Gy, G\ sont respectivement : to- S;;/^;[,o, — io-2;wa:v.
Le vecteur Gt^ est donc toujours perpendiculaire à Gv. Quand le plan de symétrie de l'appareil reste vertical, S m v5 est nul, et Gjj a la direction G;^, parallèle à G, H". Quand l'angle de ce plan et de la verticale reste petit, Gt^ a sensiblement la directirin de Gj^ll".
Pour que l'appareil une fois place dans Vorientation
voulue et anime de la rotation voulue 0)= -vj- , reste en
Jtv
équilibre relatif, il faut donc d'abord que le pilote place les deux gouvernails et les ailerons dans une position telle cjue le moment par rapport à G des réactions de l'air sur ces gouvernes soit égal et directement opposé à
g7-j-(7k + gô7.
Admettons cjue l'ellipsoïde central d'inertie soit une sphère : Gt, est nul. Si le virage est parfait et d^incli-
naison notable. (i7 + ^^ »i sensiblement la direction GH", il suffit de maintenir le gouvernail d'avant braqué vers le haut d'un angle convenable; si le virage est seulement correct avec dérapage .-n dedans, il faut en outre maintenir incliné vers le haut railer«)n situé vers le centre de virag^e.
VIRAGE DWN AÉROPLANE
Conditions du virage parfait. — Exprimons maintenant que la somme géométrique des réactions de Tair,
du poids P et de la force F est nulle. Soit Og raccélcration de la pesanteur, Gh le vecteur -—-porté sur G'G, et
Ggi, la résultante de G^et G/z ; G^^ est situé dans le plan
normal à V et fait avec la verticale descendante un angle aigu T dirigé vers Textérieur du virage et dont la tangente est-TT— ; posons P^ == M^^ = M V/^2 -j. * . Par
hypothèse, le plan de symétrie de l'appareil, soit IJ^, renferme V ; la somme des projections des forces sur la perpendiculaire à ce plan se réduit à la projection de Pj; cette dernière projection doit être nulle, autrement dit le plan n^ doit renfermer le vecteur G^^; le planTl^ contenant
à la fois rhorizontale V et la droite Gg^ perpendiculaire à V, l'angle de 11^ et de la verticale est l'angle x = gGg^. L'appareil penche donc vers l'intérieur du virage de l'angle -u.
D'autre part, projetons sur la direction V et la perpendiculaire àJV située dans le plan n^.
Voi7ure /^ Il vient aussitôt, en appelant tou-
jours d le petit ang e d'attaque
a = VGH + i :
Autrement dit, ces conditions sont les mômes que dans le cas d'un mouvement uniforme [p. 25?]
où g serait remplacé par g^^. On peut négliger, dans la première équation, le terme 4> (a — i). Comme P^ est plus grand que P, la valeur de a donnée par (i) est plus grande que /, et celle de V plus petite. L'appareil aura donc une position un peu cabrée et sa vitesse sera un peu ralentie.
THÉORIE DE VAÉIiOPLA.XE
Dans les applications, -rr- est notablement plus petit* que gj et on peut écrire approximativement
La valeur de V différera assez peu de la valeur V© qui correspond au régime normal, et on pourra dans la première équation (i) remplacer P^ par
Pour que le virage étudié soit possible, il faut que ♦ soit supérieur à 2 P' W i ; autrement dit, il faut qu'on ait :
c'est-à-dire :
R ne peut donc être inférieur à une certaine limite, raj'on minimum du virage parfait.
Remarque. — Plaçons-nous pour simplifier, dans le cas où rellipsoïdt; central d'inertie est une sphère, et où L est grand devant /.
Une f<Ms l'appareil placé dans Torientation convenable et animé dt; la rotation (o, le virage parfait s'accomplit, le gouvernail vertical et his ailerons ayant repris sensiblement leur position normale- : seul le gouvernail horizontal doit être maintenu braqué. Mais pour provoquer exactement la
1. Par cxoniple, si V = 2o"> (ou 72^" à l'heure) et R:^ioo"« -..— - — , cl— l-îr~"l moindre que — .
2. V,n réalité, il faudrait maintenir légèrement braqué vers le haut Vailcrun situé vers le centre du virage, tandis que pour provoquer la nouvelle orientation de l'appareil, il a fallu momentanément
elTectucr éner^iiiuement la manœuvre inverse.
VIRiGE D'UN AÉROPLANE
nouvelle orientation de Vappareil et notamment pour le faire pencher vers le centre du virage^ il faut manœuvrer à la fois les ailerons [ou le gauchissement) et les deux gouvernails. Pour obtenir vite rorientation voulue, on manœuvrera énergiquement les ailerons (ou le gauchissement) de façon à provoquer presque immédiatement Tinclinaison latérale désirée, et on corrigera la manœuvre à l'aide des deux gouvernails. Le gouvernail d'arrière devra en outre avoir communiqué à l'appareil la rotation w.
Stabilité d'un virage parfait. — Virage a l*aide de DEUX MANŒUVRES. — La Stabilité d'un virage parfait se discuterait comme celle du régime normal [p. 259 et 271], en étudiant les petits mouvements voisins de l'équilibre relatif : mais il faudrait tenir compte des forces centrifuges composées. Toutefois, si le virage est très large, ces dernières sont négligeables, et la discussion est alors tout à fait identique à celle du régime normal à cela près que g est remplacé par g^.
En particulier, la stabilité latérale automatique sera meilleure si l'appareil est muni d'une quille (ou de cloisons) dont le centre de pressions est à l'arrière et au-dessus de G. Pendant le virage parfait, ces parois auxiliaires n'interviendront pas; mais elles tendront à ramener l'appareil au régime parfait, s'il s'en écarte.
D'après cela, imaginons un appareil cloisonné qui n'a ni ailerons ni gauchissement (système Voisin); pour virer à droite, par exemple, on tourne vers la droite le gouvernail d'arrière, l'appareil met cap à droite; les pressions de l'air sur la voilure et les cloisons font pencher l'appareil à droite. Quand il est suffisamment penché, imaginons qu'on remette en place le gouvernail d'arrière, le gouvernail d'avant étant maintenu dans une inclinaison convenable. L'appareil en général ne sera pas alors dans le vent relatif; autrement dit, son plan de symétrie fera un certain angle avec V. Mais l'appareil, après quelques oscillations, rentrera dans le vent et effectuera sensiblement un virage parfait.
On procéderait de façon analogue si l'appareil (à quille ou« cloisons) possédait des ailerons (ou un gauchissement), mais point de gouvernail d'arrière.
THÉORIE DE L'AÉROPLANE
Conclusions. Comparaison avec la bicyclette et lb NAVIRE. — On étudierait d'une manière analogue les virages corrects ; nous omettrons ces calculs et nous nous contenterons d'en indiquer les conclusions principales.
Considérons un aéroplane, sans quille ni cloison verticale, mais muni des trois organes de manœuvres (gouvernails horizontal et vertical et ailerons ou gauchissement). Cet appareil peut d'une infinité de façons effectuer un virage correct, de rayon donné R, c'est-à-dire un virage dans lequel le centre de gravité G décrit un cercle horizontal donné tandis que l'appareil garde une orientation. constante par rapport à la verticale et à la vitesse V de G. Toutefois R doit être supérieur à un certain minimum Ko qui dépend notamment de la force propulsive. Dans un de CCS virages [virage parfait] le plan de symétrie de Tappareil est tangent à V ; l'appareil penche alors vers Fintérieur
du virage d'un angle x dont la tangente est égale à — = —
Rg
(comme dans le cas de la bicyclette). Mais le pilote (pour R donné > Ro) peut choisir arbitrairement (entre certaines limites) l'angle Xi dont il penche ; ces limites s'écartent d'autant plus de x que R est plus grand, et pour R très grand l'appareil peut môme virer sans se pencher sous la seule poussée des hélices.
Quand l'appareil est pourvu de cloisons verticales, rien n'est changé aux conditionsjdu virage parfait, mais le rayon minimum des autres virages corrects est diminué pour chaciue valeur i^ < x. En particulier, si Taire des cloisons verticales est notable, l'appareil pourra effectuer, sans p.nclier, un virage qui ne soit pas de rayon exagéré.
Si l'appareil n'est muni que du gouvernail vertical et du gouvernail horizontal, l'appareil sera susceptible (pour R donné > R„) d'un des virages précédents; pour une répartition convenable d(îs mass(;s de l'aéroplane, ce virage no dilïèn'ra pas du virage parfait. 11 en serait de même si ra{)pareil n'était muni ([ue du gouvernail horizontal et d'ail«Tniis 'ou gaucliissement'.
Remarquons «'nfin qu'on pourrait diminuer le rayon do virai^tt si un laisr^ait l'appareil descendre pendant le vir;p'c.
VIR :GE D*L\\ ALIlOPLAyO
Los différences avec le virage d'une bicyclette sont évidentes : pour un rayon de virage et une vitesse de G donnés, la bicyclette penche vers l'intérieur du virage dun angle donné ^ ; l'aéroplane comporte au contraire une infinité de virages corrects, parmi lesquels le virage parfait est seul assimilable au virage de la bicyclette.
Pour amorcer le virage d'une bicyclette, le cycliste doit se pencher un peu en dehors du plan de symétrie et incliner le guidon (du côté du centre du virage) ; une fois le système incliné d'un angle convenable et animé d'une rotation convenable autour de la verticale de son centre de gravité, le cycliste rentre dans le plan de symétrie de l'appareil et l'obliquité du guidon doit seule être maintenue ; ce sont les réactions (obliques) du sol sur les roues qui assurent à la fois l'équilibre et le virage. Le virage parfait d'un aéroplane doit être amorcé par trois manœuvres ; celle des ailerons correspond au déplacement du corps du cycliste et peut être remplacée par le déplacement latéral d'un poids; la manœuvre des deux gouvernails correspond à celle du guidon ; mais une fois l'appareil incliné d'un angle convenable et animé de la rotation correspondante co autour de la verticale de G, le gouvernail vertical doit être remis sensiblement en place et la manœuvre des ailerons annulée et même légèrement inversée; seule la manœuvre du gouvernail horizontal doit être maintenue; quand le virage est terminé il faut opérer des manœuvres inverses de celles de l'amorçage-.
I . Nous supposons ici que, pendant le virage^ le cavalier a, par rapport au cadre, même position qu'en route rectiligne ; en réalité, à chaque position du corps du cavalier (position qui varie habituellement pendant la période où le virage s'amorce) correspond une inclinaison différente de la bicyclette.
1. Au point de vue mathématique, l'aéroplane est un solide libre dont la position dépend de six paramètres : les trois manœuvres permettent d'imposer à ces paramètres trois conditions arbitraires (entre certaines limites], par exemple G décrit un cercle horizontal [3 conditions] et le plan de symétrie de l'appareil est tangent à ce cercle [i condition]. Si l'appareil n'est muni que de deux manœuvres, on ne pourra plus imposer que deux conditions, par exemple G décrit un cercle horizontal.
La bicyclette dépend, elle, de 9 paramètres [6 pour le cadre,
THÉORIE DE L'AÉROPLANE
Comparons enfin le virage d'un aéroplane et celui d'un navire. Le virage d'un navire est provoqué par la manœuvre du gouvernail arrière qui fait g3rrer le navire autour de son centre de gravité, à droite, par exemple ; le navire présentant le flanc gauche à la vitesse relative des filets liquides, les réactions de Teau sur ce flanc remportent sur les réactions que subit le flanc droit, et le centre de gravité dévie à droite . L'hélice dont la poussée a une composante vers le centre du virage appuie cette déviation, mais faiblement : même si on l'arrêtait, le navire virerait. Dans un virage correct, G décrit un cercle et le plan de symétrie du navire (qui renferme Taxe de propulsion) fait un angle
constant avec la vitesse V de G, Tavant du navire pénétrant dans rintérieur du cercle de virage. Un tel virage est comparable au virage d'un aéroplane muni d'une quille ou de cloisons verticales et qui virerait sans pencher de côté. Bien qu'un tel virage soit possible, ce n'est point ainsi que virent les aéroplanes actuels, même cloisonnés ou à quille, leur virage est peu différent du virage parfait, lequel n'a aucun rapport avec le virage d'un navire. Par exemple, il n'existe aucune analogie entre le virage d'un vapeur et le virage d'un Wright ou d'un Farman.
Influence d'une hélice unique. — Quand l'appareil, au lieu de deux hélices symétriques, porte une hélice unique, l'effet gyroscopique de cette hélice se fait sentir dans les virages.
Admettons que Thclice, placée en arrière de G, tourne de gauche à droite autour de la demi-droite GH : d'après la théorie classique de l'efïet gyroscopique, pour dévier à droite (ou à gauche) la droite GH, il faudra provoquer à l'aide du gouvernail d'avant une force supplémentaire ascendante quand on vire à gauche, descendante quand on
3 pour la roue d'avant, i pour la roue d'arrière]. Mais les liaisons [cuntacts sans glissement des roues avec le sol] introduisent 6 liaisons, dont 3 holonomes et 4 non holonomes. Le système est donc un système à 7 paramètres lies par 4 liaisons non holonomes. On voit que les deux problèmes (bicyclette et aéroplane)» malgré cer. laines analogies, sont fort différents l'un de l'autre.
VIitAGE D'UN AÉROPLANE
vire à droite. Comme l'appareil a déjà tendance à piquer du nez dans les virages [p. 275], il y aura avantage à virer à droite, l'effet gyroscopique atténuera ou annulera l'angle dont il faut braquer le gouvernail d'avant. Si l'hélice tourne de droite à gauche autour de GH, il y aura avantage à virer à gauche.
Remarques générales. — Dans toute cette théorie de l'aéroplane, nous avons supposé l'hélice [ou les hélices] placées à l'arrière et n'influant pas sur les réactions que l'air exerce sur la voilure et l'esquif. Si l'hélice est placée en avant ou si l'appareil est muni d'une queue postérieure à l'hélice participant à la sustentation, le vent de l'hélice accroît derrière celle-ci la vitesse relative de l'air ^. L'air ayant une vitesse d'arrivée domiée en grandeur et direction par rapport à l'aéroplane, les réactions de l'air sur la voilure et ses annexes sont différentes suivant que l'hélice marche ou est arrêtée. Les conclusions de la page 260 devraient alors être modifiées.
Dans les appareils modernes [ainsi d'ailleurs que dans les navires] on cherche à faire travailler l'hélice dans un fluide non ébranlé. [Le fluide ébranlé est en effet sillonné de remous qui, s'ils sont désordonnés, nuisent au bon fonctionnement de l'hélice]. La discussion de la page 237 s'applique alors et montre que le travail moteur sur l'arbre de l'hélice
Pdoit dépasser 4>V == V^ [^a^+H^] = -rrr + V-^^ î pour V
grand, le terme principal }jlV'* croîtrait donc comme le cube de V. Mais imaginons qu'on arrive à construire des fuselages tels que le liquide ébranlé derrière eux les accompagne d'un mouvement régulier : l'hélice placée derrière un tel fuselage travaillerait alors dans un liquide sensiblement immobile par rapport à son axe, c'est-à-dire comme au point fixe ; la condition /zw > V de la page z^y ne serait plus nécessaire ; le travail moteur de l'hélice pourrait être inférieur ^ à 4>V =: V^ [Xa- -|- \l].
I. En outre, le tourbillonnement de l'air engendré par Thélice crée une certaine dissymétrie.
a. On peut également imaginer des explosifs qui réagiraient direc-
THÉORIE DE VAÉROPLANE
La plupart des auteurs s'imaginent que la quantité *V est une limite inférieure du travail moteur, imposée par le Principe de la Conservation de Ténergie. Cest une erreur complète. Il n'est pas douteux a priori qu'une telle limite existe, ne fût-ce qu*à cause de la viscosité de l'air et des frottements ; mais nous sommes actuellemeiit hors d'état de la déterminer même grossièrement, et elle est vraisemblablement beaucoup plus basse. La limitation que certains théoriciens ont cru pouvoir à l'avance imposer aux vitesses des aéroplanes en admettant comme travail moteur minimum Texpression *V est donc sans fonde* ment.
tcment sur Tair, en le repoussant en arrière. Ce serait le système de la fusée, mais employé à propulser Tappareil horixontalement. Un tel système a été déjà essayé avec un bon rendement pour propulser des canots automobiles. — Quel que soit le système employé, le but à atteindre c'est que Tappareil avec ses propulseurs ébranle (en un temps donné) la masse minima d'air, ou plus précisément iccroissc réncrgic de l'air d'une quantité minima.
